第1章 03-1.2 空间向量基本定理（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，系统涵盖基底概念理解、空间向量表示及立体几何应用，通过从平面向量基本定理过渡，以题组形式构建“概念辨析—向量分解—问题解决”的学习支架，帮助学生逐步掌握空间向量工具。 其亮点在于融合数学眼光与数学思维，通过《九章算术》阳马、堑堵等古代模型实例，结合基底共面判断、向量分解推导等方法总结，培养学生空间观念与推理能力。学生能提升用数学语言表达空间关系的能力，教师可借助结构化题组与解析高效开展教学。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.2　空间向量基本定理 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　空间向量基本定理及相关概念的理解 1.[多选题][2026广东清远第二中学月考]设{a,b,c}是空间的一个基底,下列说法正确的是 ( ) A.a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面 B.有且仅有一对实数λ,μ,使得c=λa+μb C.对空间中任一向量p,总存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc D. a, b, c一定能构成空间的另一个基底     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由空间向量是自由向量知a,b,c两两共面,由基底的定义知a,b,c不可能共面,故A正确; 由A知a,b,c不共面,所以不存在实数λ,μ,使得c=λa+μb,故B不正确; 因为{a,b,c}是空间的一个基底,所以由空间向量基本定理可知C正确; 因为a,b,c不共面,且 a与a平行, b与b平行, c与c平行,所以 a, b, c也不共面,因此它们一定能构成空 间的另一个基底,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026福建福州期中]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,能构成空间的一个基底的一组向量为  ( ) A. , , 　    B. , , 　     C. , , 　    D. , ,  AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　作出正方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示,   对于A,直线AB,AC同在平面ABCD内,而直线AA1与平面ABCD相交,所以 , , 不共面,因此A正确; 对于B, , , 满足 + = ,所以这三个向量共面,因此B错误;对于C,连接BC1,可知直线AC1,BD1 同在平面ABC1D1内,而直线CB与平面ABC1D1相交,所以 , , 不共面,所以C正确;对于D,连接CD1, 因为 = + = + ,所以 , , 共面,所以D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[教材习题改编]已知{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各组向量中能构成空间的另一个基底的是      ( ) A.a+b,c+b,a-c　     B.a+2b,b,a-c C.2a+b,2c+b,a+b+c　    D.a+b,a+b+c,c     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,设a+b=x(c+b)+y(a-c),即a+b=ya+xb+(x-y)c,解得x=y=1, 所以a+b,c+b,a-c共面,不能构成空间的另一个基底,因此A错误; 对于B,设a+2b=xb+y(a-c),即a+2b=ya+xb-yc,此时y无解, 所以a+2b,b,a-c不共面,能构成空间的另一个基底,因此B正确; 对于C,设2a+b=x(2c+b)+y(a+b+c),即2a+b=ya+(x+y)b+(2x+y)c,解得  所以2a+b,2c+b,a+b+c共面,不能构成空间的另一个基底,因此C错误; 对于D,易知a+b=a+b+c-c, 所以a+b,a+b+c,c共面,不能构成空间的另一个基底,因此D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 方法总结 判断三个向量能否构成基底的 基本思路及方法 (1)判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底. (2)先假设三个向量共面,运用平面向量基本定理写成a=λb+μc的形式,然后建立关于λ,μ的方程组,若有 解,则共面,不能构成基底;若无解,则不共面,能构成基底. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　用空间的基底表示空间向量 4.[2026吉林长春东北师大附中开学考试]我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱 垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示,已知四棱锥P-ABCD是阳马,PA⊥平面ABCD,且PE= PC,若  =a, =b, =c,则 =( )   A.- a+ b+ c　    B.- a- b+ c　     C. a+ b- c　    D. a- b- c     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由PE= PC且E在PC上可得 =  = ( + + )= (- + + )= (a+b-c), 所以 = - = + - =c+ (a+b-c)-a=- a+ b+ c. 名师点睛　利用由已知条件所确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四 边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026四川广元川师大万达中学月考]如图,在四面体OABC中, =a, =b, =c,点M是OA的中点,点N 在BC上,且 =2 ,设 =xa+yb+zc,则x,y,z的值为 ( )   A. , , 　    B. , , 　     C.- , , 　    D.- , ,      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接ON.依题意得, = - =( + )-  = +  -  = + ( - )-  =-  +   +  ,又 =a, =b, =c, =xa+yb+zc,所以x=- ,y= ,z= . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026湖北孝感汉川第一高级中学月考]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1与B1D1相 交于点O,记 =a, =b, =c,G为△A1BC1的重心,则 ( )   A. =c-b　    B. = a+ b+c C. =- a+ b+c　    D. = a+ b+ c     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接AD1,由题知 = = + =c+b,故A错误; 连接AC,易知 = +  = + ( + )= a+ b+c,故B正确;  = +  = + ( - )= + ( - )=- a+ b+c,故C正确; 连接A1G,易知 = + = + × ( + )= + ( - )+ ( + )=  +  +  = a+  b+ c,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026广东河源龙川第一中学月考]《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种 形状图形体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,M,N分别是 A1C1,BB1的中点,AB=2AA1=2AC,动点G在线段MN上运动,若 =x +y +z ,则x+y+z=_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　由动点G在线段MN上运动,可设 =λ ,0≤λ≤1, 连接AM,AN,因为M,N分别是A1C1,BB1的中点, 所以 = + + = +  +λ = +  +λ( - )= +  +λ  +  - -   =   +λ +  , 又 =x +y +z ,故x+y+z=1- +λ+ - = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用空间向量基本定理解决立体几何问题 8.[多选题][2026湖南长沙第一中学月考]如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,| |=| |=| |=1,且∠A1 AD=∠A1AB=∠BAD= ,M为A1C1与B1D1的交点,设 =a, =b, =c,则下列结论正确的是  ( ) A. =a+b+c　    B.AC1⊥BD1　     C.| |= 　    D.cos< , >=      ACD 第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A, = + + = + + =a+b+c,故A正确; 对于B,连接AD1,则 = - = + - =b+c-a,∴ · =(a+b+c)·(b+c-a)=b2+c2-a2+2b·c=1+1-1+2 × =2≠0,∴ 与 不垂直,即AC1与BD1不垂直,故B错误; 对于C,| |= =  = = ,故C正确; 对于D,cos< , >= = = = ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025河南郑州一中质检]在正三棱锥P-ABC中,PA=AB=3,点M满足 =x +y +(2-x-y) ,则AM的 长的最小值为 ( ) A. 　    B. 　     C. 　    D.2      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图所示,分别延长PA,PB,PC至点D,E,F,使得 =2 , =2 , =2 ,连接DE,DF,EF,   (解题关键:题目条件“ =x +y +(2-x-y) ”中,x+y+(2-x-y)=2,故作将基向量伸长为原来的2倍的 变换) 则 =x +y +(2-x-y) =  +  +  , 又 + + =1,且 , , 不共面,故M,D,E,F四点共面, ∴AM的长的最小值即为点A到平面DEF的距离. 第1讲　描述运动的基本概念 由已知可得,△DEF是等边三角形,且DE=DF=EF=6, 设等边三角形DEF的中心为O,连接PO,DO,可求得DO=2 , 在直角△POD中,PO= = =2 ,即点P到平面DEF的距离为2 , 则AM的长的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026河南九师联盟质检]如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,BC=2AD, = , =2 , =2 ,H 在棱PD上,若E,F,G,H四点共面,则 =_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题可设 =λ ,λ∈[0,1], 则 = - =λ -  , 易得 = - =  -  , 连接EG,则 = + =  -  + - =  -  +  -  =-  +  , 因为AD∥BC,BC=2AD,所以 =  ,即 - = ( - ),所以 =2 -2 + , 所以 =  -  =  +  -  , 因为E,F,G,H四点共面,所以 =x +y ,x,y∈R, 所以λ -  =x +y = - x- y  +  + y , 第1讲　描述运动的基本概念 所以 解得 故 =  ,所以 = . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025安徽阜阳月考]如图,在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,底面ABCDEF是正六边形,设 =a, = b, =c. (1)用a,b,c表示 , ; (2)若cos∠BAA1=cos∠FAA1= ,AB=2,AA1=4,求: (i) · ; (ii)AE1的长.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)如图所示,连接AD,   因为六边形ABCDEF为正六边形, 所以 + =  ,则 =2a+2b, 所以 = - =2a+2b-c, = + = - =2a+b-c. (2)因为六边形ABCDEF为正六边形,所以∠BAF= , 第1讲　描述运动的基本概念 又cos∠BAA1=cos∠FAA1= ,AB=2,AA1=4, 所以|a|=|b|=2,|c|=4,a·b=|a||b|·cos  =-2,a·c=b·c=|a||c|× =2. (i) · =(2a+b-c)·(2a+2b-c)=4a2+2b2+c2+6a·b-3b·c-4a·c=16+8+16-12-6-8=14. (ii)由(1)知 =2a+2b.因为 = + + = - + =2a+2b-a+c=a+2b+c, 所以AE1=| |=  =  = =2 . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025天津河西月考]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1, D,F,G分别为棱CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.求证: (1)B1D⊥平面ABD; (2)平面EFG∥平面ABD.   第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为矩形,又∠ABC=90°,所以A1B1⊥BB1,AB⊥BC,A1B1⊥B1 C1,易得 = + = +  , = + = -  , ∴ · = · =0,  · = ·  -   = -  =0, ∴B1D⊥BA,B1D⊥BD,又BA,BD⊂平面ABD,BA∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD. (2)连接B1G.易得 = - = ( + )-  =  +  -  , =  , ∴ · =  +   ·   +  -   =  -  =0, · =  +   ·  =0, ∴B1D⊥EG,B1D⊥FG,又EG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G, ∴B1D⊥平面EFG.又由(1)知B1D⊥平面ABD,且易知平面ABD与平面EFG不重合,∴平面EFG∥平面 ABD. 第1讲　描述运动的基本概念 $