1.1.2空间向量的数量积运算 课时同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量数量积运算，以基础题为主，通过选择、填空、解答题的梯度设计，实现从概念辨析到综合应用的知识巩固，培养空间观念与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念与性质|选择题1-8辨析数量积定义、运算律等基础考点| |提升层|简单应用与运算|填空题12-14强化模长、夹角计算及垂直条件应用| |综合层|综合情境应用|解答题15-16结合空间几何体解决向量表示与数量积综合问题|

1.1.2空间向量的数量积运算 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中是真命题的是(　　) A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B.若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D.若a·b＝a·c，则b＝c 【答案】B 【解析】对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0； 对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b； 对于D，a·b＝a·c可以移项整理得a·(b－c)＝0，故a＝0或b＝c或a⊥(b－c)．故选B. 2.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（    ） A.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影为. 故选：B. 3.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）已知，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】已知，， 那么. 答案为B. 4.（2024-2025·广东深圳高二上期中）已知，，且，则（） A. B. C.1 D.2 【答案】C 【解析】已知，， 则， 令其等于，即， 解得. 5.在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】C 【解析】由题意，可得＝， 所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. 6.已知非零向量a,b不平行,并且其模相等,则a+b与a-b之间的关系是( ) A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可能 【答案】A 【解析】由题意知|a|=|b|, ∵(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0, ∴(a+b)⊥(a-b).故选A. 7.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【答案】B 【解析】因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋，所以(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0，所以||＝||，所以△ABC是等腰三角形．故选B. 8.（2024-2025·上海浦东高二下期末）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 【答案】C 【解析】由，，得，. 因为平面，平面，，所以平面. 因为为的中点，所以平面，进而平面. 故. 由此可得是直角三角形. 故选：C 二、多选题（共3小题） 9.以下说法正确的是(　　) A.设a，b是两个空间向量，则a，b一定共面 B.设a，b是两个空间向量，则a·b＝b·a C.设a，b，c是三个空间向量，则a，b，c一定不共面 D.设a，b，c是三个空间向量，则a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【答案】ABD 【解析】对于A选项，任意两个空间向量都共面，A对； 对于B选项，由空间向量数量积的定义可知a·b＝·cos〈a，b〉＝·cos〈b，a〉＝b·a，B对； 对于C选项，在△ABC中，＝a，＝b，＝c，则a，b，c共面，C错； 对于D选项，由空间向量数量积的运算性质可得a·(b＋c)＝a·b＋a·c，D对．故选A、B、D． 10.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有(　　) A.·＝a2   B.·＝－a2 C.·＝a2   D.·＝a2 【答案】AC 【解析】连接A1D，易得△A1BD为等边三角形， 则·＝·＝||||cos〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2，A正确． ·＝·(＋＋)＝2＋·＋·＝a2＋0＋0＝a2，故B错误． ·＝·＝a2，C正确． ·＝·(－)＝·－·＝0－a2＝－a2．D错误．故选AC. 11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与   B.与 C.与   D.与 【答案】AD 【解析】对于A，AC∥A1C1，所以与的夹角即与的夹角，显然为45°；对于B，与的夹角为135°；对于C，与的夹角为135°；对于D，与A同理，即与的夹角为45°.故选AD. 三、填空题（共3小题） 12.如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3.若·＋·＝7，则与的夹角的余弦值等于                  ． 【答案】 【解析】由题意得2＝9＝(－)2＝2＋2－2·＝9＋4－2·，所以·＝2.由·＋·＝7，可得·(＋)＋·(＋)＝2＋·＋·＋·＝4＋·(－)＋2＋·＝6＋·(－)＝6＋·＝7.所以·＝2，即4×3×cos〈，〉＝2，所以cos〈，〉＝. 13.已知空间向量a,b,c中每两个向量的夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=                  . 【答案】10 【解析】∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且<a,b>=<a,c>=<b,c>=,∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos<a,b>+2|a||c|cos<a,c>+2|b||c|cos<b,c>=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴|a+b+c|=10. 14.已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ＝                  ． 【答案】－ 【解析】由m⊥n得(a＋b)·(a＋λb)＝0，即a2＋(1＋λ)·a·b＋λb2＝0，所以18＋(λ＋1)×3×4×cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，解得λ＝－． 四、解答题（共2小题） 15.在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点，G在线段AE上，且AG＝2GE. (1)试用，，表示向量； (2)若OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，∠AOB＝90°，求·的值及||. 【答案】解(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋ ＝＋×(＋)＝＋＋. (2)·＝(＋＋)·(－) ＝(－＋·－·) ＝(32－22＋3×4cos 60°－4×2cos 60°)＝， ||＝＝ ＝ ＝＝. 16.如图，在空间四面体OABC中，2＝，点E为AD的中点，设＝a，＝b，＝c． (1)试用向量a，b，c表示向量； (2)若OA＝OC＝3，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求·的值． 【答案】解(1)∵2＝， ∴＝＝(－)＝(c－b)， 故＝＋＝b＋(c－b)＝b＋c， ∵点E为AD的中点， 故＝(＋)＝a＋b＋c． (2)由题意得a·c＝，a·b＝3，c·b＝3，＝c－a， 故·＝(a＋b＋c)·(c－a) ＝－a2＋c2＋a·c＋b·c－b·a ＝－×9＋×9＋×＋×3－×3＝－． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2空间向量的数量积运算 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中是真命题的是(　　) A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B.若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D.若a·b＝a·c，则b＝c 2.已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（    ） A.2 B. C. D. 3.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）已知，则（） A. B. C. D. 4.（2024-2025·广东深圳高二上期中）已知，，且，则（） A. B. C.1 D.2 5.在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 6.已知非零向量a,b不平行,并且其模相等,则a+b与a-b之间的关系是( ) A.垂直 B.共线 C.不垂直 D.以上都可能 7.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 8.（2024-2025·上海浦东高二下期末）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 二、多选题（共3小题） 9.以下说法正确的是(　　) A.设a，b是两个空间向量，则a，b一定共面 B.设a，b是两个空间向量，则a·b＝b·a C.设a，b，c是三个空间向量，则a，b，c一定不共面 D.设a，b，c是三个空间向量，则a·(b＋c)＝a·b＋a·c 10.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有(　　) A.·＝a2   B.·＝－a2 C.·＝a2   D.·＝a2 11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与   B.与 C.与   D.与 三、填空题（共3小题） 12.如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3.若·＋·＝7，则与的夹角的余弦值等于                  ． 13.已知空间向量a,b,c中每两个向量的夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,则|a+b+c|=                  . 14.已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ＝                  ． 四、解答题（共2小题） 15.在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点，G在线段AE上，且AG＝2GE. (1)试用，，表示向量； (2)若OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，∠AOB＝90°，求·的值及||. 16.如图，在空间四面体OABC中，2＝，点E为AD的中点，设＝a，＝b，＝c． (1)试用向量a，b，c表示向量； (2)若OA＝OC＝3，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求·的值． 学科网（北京）股份有限公司 $