1.1.2  空间向量的数量积运算同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册  

**基本信息** 本同步练习通过基础辨析、情境应用到综合探究的三层设计，系统巩固空间向量数量积运算，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|数量积定义、性质辨析|单选题1-5聚焦概念判断，如向量相等与垂直条件，夯实数学抽象基础| |中档层|投影向量、共面条件|多选题8-9结合空间位置关系，填空题10-13融入正方体模型，发展几何直观| |提升层|综合运算与证明|解答题14-16以正三棱锥、平行六面体为情境，要求推理与计算，体现数学思维严谨性|

1.1.2  空间向量的数量积运算  同步练习   （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 3．关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 4．已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 5．若向量，，则（    ） A．12 B．8 C．5 D．1 6．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．关于空间向量，以下说法正确的有（   ） A．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B．若空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D．若空间向量，，则在上的投影向量为 9．下列命题正确的有（    ） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则； B．若非零向量，，满足，，则有； C．若是空间的一个基底，对空间任意一点，若；则，，，四点共面； D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 三、填空题 10．如图在正三棱锥中，，则________；________． 11．空间两个非零向量垂直：如果，那么向量，互相_________，记作_________. 12．如图，在棱长为1的正方体中，______． 13．在平行六面体中，，则__________. 四、解答题 14．已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 15．如图，正方体的棱长为1，设，求： (1) (2) 16．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 《1.1.2  空间向量的数量积运算  同步练习   （附解析） 》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D C C D B BD 题号 9 答案 AD 1．A 【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 2．C 【分析】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C 3．D 【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 4．C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 5．C 【分析】根据空间向量数量积的公式计算即可. 【详解】因为向量，， 所以. 6．D 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】, 故向量在向量上的投影向量为， 故选：D 7．B 【详解】由，得，即， 所以，解得. 8．BD 【分析】根据空间中线面的位置关系判断A，根据空间共面定理的推论判断B，根据空间数量积的定义判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为直线的方向向量为，平面的一个法向量为， 则，所以，所以或，故A错误； 对于B：若空间中任意一点，有， 因为，所以，，，四点共面，故B正确； 对于C：若，则， 所以与夹角为钝角或平角，故C错误； 对于D：因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD 9．AD 【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可 【详解】A：若，不共线，则在空间中取与，都垂直的非零向量， 则可作为空间向量的一组基底，与已知矛盾，故，因此本选项说法正确； B：当时， 显然， 因此，，但，所以本选项说法不正确； C：因为，所以，，，四点不共面，因此本选项说法不正确； D：假设共面，则由平面向量基本定理可知共面， 与是空间的一个基底矛盾，假设不成立， 所以也是空间的一个基底，所以本选项说法正确. 故选：AD 10． 【分析】取的中点连接、，依题意可得三棱锥为正四面体，即可证明平面，从而得到，即可求出，再由为等边三角形得到. 【详解】取的中点，连接、， 因为为正三棱锥且，所以三棱锥为正四面体， 所以、，又，平面， 所以平面， 又平面，所以，所以，所以， 又为等边三角形，所以， 所以. 故答案为：； 11． 垂直 【分析】略 【详解】略 12．2 【详解】因为，， 所以， ， . 13． 【分析】设，则，再根据向量运算求解即可. 【详解】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 14．(1)证明详见解析. (2) 【分析】（1）根据向量的数量积公式及投影向量计算公式计算即可. （2）根据向量的模及数量积公式计算即可. 【详解】（1）证明：因为，，空间向量为单位向量，所以. . 所以在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. （2）因为空间向量，均为单位向量，所以，，又， 所以，同理可得，又， 所以 . 故. 15．(1)0； (2)1. 【分析】（1）（2）根据正方体的结构特征，应用向量数量积的运算律求数量积即可. 【详解】（1）由题设，则； （2）由（1）及已知，. 16．(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $