第1章 01-1.1.1 空间向量及其线性运算（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的基本概念、线性运算及共线共面问题，通过复习平面向量概念过渡到空间向量，构建从二维到三维的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于例题涵盖多地区联考真题，解析分点明晰错误原因与思路，结合正方体、四面体等几何体培养数学眼光与空间观念，通过归纳提升和解题模板强化数学思维与推理能力，助力学生理解空间关系，方便教师高效教学。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　空间向量的基本概念 1.[2026山东德州夏津第一中学开学考试]下列关于空间向量的说法中正确的是 ( ) A.单位向量都相等 B.向量的模是一个正实数 C.若向量 , 满足| |>| |,则 >  D.存在某一向量与它的相反向量相等     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　单位向量的模都相等,但方向是任意的,故A错误; 向量的模是一个非负实数,故B错误; 向量的模是实数,可以比较大小,但向量不能比较大小,故C错误; 零向量的相反向量还是零向量,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026河南新乡联考]给出下列命题,其中正确的是 ( ) A.空间中共线的向量必在同一条直线上 B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b| C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中, =  D.数乘运算中,λ只能决定大小不能决定方向     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析    空间中共线的向量不一定在同一条直线上,有可能在平行直线上,故A错误; 相反向量的方向相反但模相等,所以|a|=|b|,故B正确; 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为四边形BDD1B1是矩形,所以 = ,故C正确; 向量数乘运算中,λ既决定大小(|λa|=|λ||a|)又决定方向(λ>0则同向,λ<0则反向,λ=0则方向任意),故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026广东惠州第八中学月考]给出下列命题:①若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;②空间中,a∥b, b∥c,则a∥c;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 与 是相等向量;④在空间四边形ABCD中, 与 是 相反向量;⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中,与 的模一定相等的向量一共有4个.其中正确命题的序号为 _______. 　①③     解析　①正确,向量的相等满足传递性;②错误,平行向量不一定具有传递性,当b=0时,a与c不一定平行; ③正确, 与 的模相等,方向相同;④错误,空间四边形ABCD中, 与 的模不一定相等,方向也不 是相反的;⑤错误,在三棱柱ABC-A1B1C1中,与 的模一定相等的向量是 , , , , ,一共有5 个. 第1讲　描述运动的基本概念 归纳提升　空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的相关概念,如向量的模、相等向量、 平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念,但应注意从二维平面到三维空 间的转变. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　空间向量的线性运算 4.[教材习题改编][多选题]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为 的是( )   A. - -  B. + -  C. - -  D. - +      AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析    A中, - - = - = ; B中, + - = + = ; C中, - - = - = - = ≠ ; D中, - + = + + = + ≠ . 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛    化简空间向量的常用思路 ①分组:结合具体图形将向量合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简. ②利用多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则、相反向量等 将若干个向量的和转化为首尾相接的向量求和. ③“走边路”:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量“走边路”(即沿几何体的棱选择化简途径). 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026北京师范大学附属中学月考]如图,在四面体OABC中, =a, =b, =c,D为BC的中点,E为AD 的中点,则 可用向量a,b,c表示为( )   A. a+ b+ c　    B. a+ b+ c　     C. a+ b+ c　    D. a+ b+ c     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接OD.因为D是BC的中点,E是AD的中点,所以 = ( + ),(中线的向量表示) 且 = ( + )=  + ( + )= a+ b+ c. 第1讲　描述运动的基本概念 名师点睛    空间向量线性运算的技巧 (1)数形结合:结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量. (2)巧用相反向量:运用相反向量可使向量首尾相接,构成闭环. (3)巧用平移:通过相等向量实现向量的平移,将目标向量转化到共顶点,降低运算的难度. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏镇江重点高中学情调查]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD的中点,若 =a,  =b, =c,则 = ( )   A. a+ b+ c　    B. a- b- c C. a- b+ c　    D. a+ b- c     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接BD,∵E为PD的中点,∴ = ( + )= (- + + )=-  + ( - + - )=  -   +  = a- b+ c. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026河南洛阳四校联考]如图,在四面体OABC中,设 =a, =b, =c,G为△OAB的重心,H为AC的中 点,则 = ( )   A. a- b+ c　    B.- a- b- c C. a- b+ c　    D.- a- b+ c     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:利用 = - 求解. 如图,连接OH,∵H为AC的中点,∴ = ( + )= (a+c).   连接OG并延长,交AB于点D,则D为AB的中点,且 =  , ∴ = × ( + )= (a+b), ∴ = - = (a+c)- (a+b)= a- b+ c. 解法二:取AB的中点D,在△ODH中,利用分点恒等式得 =  +  ,进而求解. 第1讲　描述运动的基本概念 取AB的中点D,连接OH,DH,OD. 由题意得 = = , =  = = ,由分点恒等式可知 =  +  ,∴ =   -  = - = - + . 第1讲　描述运动的基本概念 知识积累    分点恒等式 我们在学习平面向量时有如下结论:如图,在△ABC中,D为BC上一点(不包含端点),若 = ,则 =   +  .   第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026福建莆田一中月考]在四面体OABC中, =a, =b, =c, =λ (λ>0),N为BC的中点,若 =-  a+ b+ c,则λ=( ) A. 　    B.3　    C. 　    D.2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    连接ON.∵ =λ (λ>0),N为BC的中点,∴ =  , =  +  ,∴ = - =   +  -  =- a+ b+ c,又∵ =- a+ b+ c,∴- =- ,解得λ=3. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[多选题][2026陕西咸阳阶段测试]如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为CD1的中点,Q为CA1上靠近 点A1的五等分点,则 ( )   A. = +  +  　     B.2 = +2 +  C. =  +  +  　     D.5 = + +4      BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题得 = + + = + + ( + )= + -  +  =  + +  ,即2 =  +2 + ,故A错误,B正确;  = + = +  = + ( + + )= + ( + - )=  +  +  ,即5 = +  +4 ,故C错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　四个选项都是用 , , 表示另外的向量,故可将 , , 看作已知向量,将 , 看 作未知向量,用已知向量表示未知向量的方法大致如下:与已知向量不共线的用向量加法的三角形法则 表示;用数乘运算将向量的起点或终点转化到边界上或定点处;连接两已知向量终点的用减法法则;有 平行四边形或出现中点时用向量加法的平行四边形法则. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026湖南长沙一中入学考试]已知四面体ABCD,P为空间中一点,且满足3 + + + =0,若四面 体ABCD的体积为4,则四面体PBCD的体积为_________.     2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　先将3 + + + =0进行转化,找到P点位置,再利用体积关系求解. 取BC的中点E,连接PE,则 + =2 ,∴结合已知得3 +2 + =0, ∴2 +2 + + =0,∴2( + )+( + )=0, 连接AE,取AE的中点M,AD的中点N,连接MN,则 + =2 , + =2 , ∴4 +2 =0,∴ =-2 , ∴P是线段MN的靠近M的三等分点, 连接DE,易知MN为△AED的中位线,∴MN∥ED, ∴A到平面BCD的距离是P到平面BCD的距离的2倍, ∴V四面体PBCD= V四面体ABCD= ×4=2. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　空间向量共线、共面问题 11.[多选题][2026山东威海月考]若O为空间中任意一点,在下列条件中,不能使M与A,B,C四点共面的是 ( ) A. =2 - - 　     B. =  +  +   C. + + =0　     D. + + + =0     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　空间四点A,B,C,M共面的充要条件是 =x +y +z ,其中O为空间中任意一点,且x+y+z=1. 对于A,因为2-1-1=0≠1,所以A,B,C,M不共面;对于B,因为 + + = ≠1,所以A,B,C,M不共面;对于C,  =- - ,若 , 共线,则易知M,A,B,C四点一定共面,若 , 不共线,则由共面向量定理可知 ,  , 为共面向量,所以M与A,B,C一定共面;对于D,因为 + + + =0,所以 =- - - ,因 为-1-1-1=-3≠1,所以A,B,C,M不共面. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026海南华中师范大学顺湖中学月考]对于下列说法:(1)若P,A,B,C为空间中不重合的四点,且有  =α +β ,则α+β=1是A,B,C三点共线的充要条件;(2)对于空间中的任意三个向量3a,2b,2a-b,它们一定 是共面向量;(3)已知点M在平面ABC内,并且对空间中任意一点O,有 =x +  +  ,则x的值为 . 其中正确说法的个数为 ( ) A.0　    B.1　    C.2　    D.3     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于(1),若α+β=1,则 =α +β =α +(1-α) = +α( - ),所以 - =α( - ),即 = α ,说明C在直线BA上,故A,B,C三点共线,充分性成立; 若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使得 =λ ,所以 - =λ( - ),整理得 =λ +(1-λ) ,又 =α  +β ,所以α+β=λ+1-λ=1,必要性成立,故(1)正确. 对于(2),因为2a-b= ×3a- ×2b,所以3a,2b,2a-b是共面向量,故(2)正确. 对于(3),由题知 =x +  +  =x + ( - )+  =  +  +  ,因为点M在平面 ABC内,所以x- + + =1,解得x= ,故(3)错误. 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　由向量的表示求参类问题,先将已知条件化成共起点向量间的关系,然后利用四点共面的结 论(已知P∈平面ABC,若 =x +y +z ,则x+y+z=1)列出方程求解. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江苏镇江第一中学开学考试]已知M,A,B,C为空间中四点,任意三点不共线,且 =x +y -  (x>0,y>0),若M,A,B,C四点共面,O不在该平面上,则 + 的最小值为 ( ) A.4　    B.5　    C. 　    D.9     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为M,A,B,C四点共面,O不在该平面上, =x +y - (x>0,y>0), 所以由四点共面的结论可得,x+y-1=1,即x+y=2,所以 + =   +  (x+y)=  ≥  5+2   = ,当且仅当 = ,即x= ,y= 时,等号成立, 所以 + 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 14.[多选题][2025安徽合肥一中月考]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设 =x +y +z ,则下列结 论中正确的是 ( ) A.若点P在直线A1D上,则x+y=1 B.若点P在直线AC1上,则x=y=z C.若点P在平面A1BD内,则x+y+z=1 D.若点P在平面B1BDD1内,则x+y=1     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,   对于A,若点P在直线A1D上,则x=0,则 =y +z ,由于A1,P,D三点共线,所以y+z=1,因此A错误; 对于B,若点P在直线AC1上,则 =λ ,λ∈R,而 = + + , 结合 =x +y +z ,得x=y=z=λ,因此B正确; 对于C,若点P在平面A1BD内,即A1,B,D,P四点共面,则由 =x +y +z ,可知x+y+z=1,因此C正确; 对于D,若点P在平面B1BDD1内,则 =m +n +s ,m,n,s∈R,且m+n+s=1, 则 =m +n +s( + )=(m+s) +n +s ,又 =x +y +z ,故x+y=m+s+n=1,因此D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 思维升华 应用共线(面)向量定理证明 点共线(面)的方法比较 三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面    =λ (λ∈R)  =x +y (x,y∈R) 对空间中任一点O, = +t (t ∈R) 对空间中任一点O, = +x  +y (x,y∈R) 对空间中任一点O, =x +(1 -x) (x∈R) 对空间中任一点O, =x +y  +(1-x-y) (x,y∈R) 第1讲　描述运动的基本概念 15.[教材习题改编]已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的动点(不与端点重合). (1)如图1,若 = =λ,求证: =  +  ; (2)如图2,若G,H,I,J分别为AD,EF,BC,AF的中点,求证:G,H,I,J四点共面.        第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)证法一(回路法):由E,F分别是AB,CD上的动点,且 = =λ,得 =λ , =λ , 所以 +λ =0, +λ =0, 易知 = + + ①, = + + ②, 由①+②×λ,得(1+λ) = + + +λ( + + )=λ + , 所以 =  +  . 证法二(分点恒等式法):设O是空间内一点,由 = =λ,以及平面向量中的分点恒等式可得 =  , = , 则 = - = - = = , 即 =  +  . 第1讲　描述运动的基本概念 (2)由E,F分别是AB,CD上的动点,设 =m , =n . 因为G,I分别为AD,BC的中点,所以 = =1, 根据(1)中的结论,得 = =  +  . 又因为J,H分别为AF,EF的中点,所以 =  , =  , 所以 =m +n , 即直线GI在平面GHJ上,所以G,H,I,J四点共面. 第1讲　描述运动的基本概念 $