1.1.1空间向量及其线性运算同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习聚焦空间向量线性运算，以基础题为核心，通过选择、多选、填空、解答题的梯度设计，实现从单一知识点理解到综合应用的巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|向量线性运算、共线判定|选择题（如长方体向量表示）强化概念直观| |概念辨析|共面条件、向量表达式|多选题（如四点共面判断）深化逻辑推理| |综合应用|复杂几何体向量关系|解答题（如四点共面证明）提升模型应用能力|

1.1.1空间向量及其线性运算 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.如图，在长方体中，（ ） A. B. C. D. 2.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于(　　) A. B.3 C.3 D.2 3.在平行六面体ABCD－A′B′C′D中，若＝x＋y＋2z，则x＋y＋z等于(　　) A.   B.2   C.   D. 4.已知非零向量a，b，且＝2a＋b，＝－5a＋8b，＝9a－6b，则一定共线的三点是(　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 5.设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝(　　) A.－1 B.3 C.－ D. 6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是(　　) A.，， B.，， C.，， D.，， 7.在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C四点共面，则λ等于(　　) A. B. C. D. 8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必(　　) A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 二、多选题（共3小题） 9.对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是(　　) A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝2－－ 10.如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝OM，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　) A.＝b－c   B.＝b＋c－a C.＝b－c－a   D.＝a＋b＋c 11.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,下列各式运算结果为的是(  ) A.-- B.+- C.-- D.-+ 三、填空题（共3小题） 12.已知a与b不共线，若向量2a－b和3a＋mb共线，则实数m＝                  . 13.如图，在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD -A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，＝2，则＝                  ． 14.已知空间向量a，b，c，化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝                  ． 四、解答题（共2小题） 15.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 16.如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点.化简下列表达式，并在图中标出化简结果： 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1空间向量及其线性运算 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.如图，在长方体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】在长方体中由空间向量的运算可知. 所以选择D. 2.已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于(　　) A. B.3 C.3 D.2 【答案】B 【解析】－＋＝－(－)＝－＝＋＝＋2＝3. 3.在平行六面体ABCD－A′B′C′D中，若＝x＋y＋2z，则x＋y＋z等于(　　) A.   B.2   C.   D. 【答案】A 【解析】由空间向量的线性运算，得＝＝(＋)＋， 由题可知，＝x＋y＋2z， 则x＝1，y＝1，2z＝1， 所以x＝y＝1，z＝， ∴x＋y＋z＝1＋1＋＝.故选A． 4.已知非零向量a，b，且＝2a＋b，＝－5a＋8b，＝9a－6b，则一定共线的三点是(　　) A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 【答案】A 【解析】∵＝＋＝－5a＋8b＋9a－6b＝4a＋2b＝2，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线． 5.设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝(　　) A.－1 B.3 C.－ D. 【答案】D 【解析】由a与b共线，知存在实数k，使a＝kb， ∴e1＋λe2＝－e2－ke1，即k＝－1，λ＝. 6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是(　　) A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】C 【解析】由正方体的性质可得，＝，由图形(图略)易知，，共面． 7.在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C四点共面，则λ等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为M，A，B，C四点共面，所以＋＋λ＝1， 解得λ＝. 8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必(　　) A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内 C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内 【答案】C 【解析】＝＋7＋6－4 ＝＋＋6－4 ＝＋＋6－4 ＝＋6(－)－4(－) ＝11－6－4， 因为11＋(－6)＋(－4)＝1， 于是M，B，A1，D1四点共面. 二、多选题（共3小题） 9.对空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是(　　) A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝2－－ 【答案】BC 【解析】法一　A中，＝＋＋，不能转化成＝x＋y的形式，所以A项不正确. B中，∵＝＋＋， ∴3＝＋＋， ∴－＝(－)＋(－)， ∴＝＋， ∴＝－－， ∴P，A，B，C四点共面.故B项正确. C中，＝＋＋＝＋(＋)＋(＋) ＝＋＋， ∴－＝＋， ∴＝＋. 由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C正确. D中，＝2－－，无法转化成＝x＋y的形式，所以D项不正确.故选BC. 法二　点P与点A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求，故选BC. 10.如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝OM，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　) A.＝b－c   B.＝b＋c－a C.＝b－c－a   D.＝a＋b＋c 【答案】BD 【解析】对于A，利用向量的平行四边形法则，＝＋＝b＋c，A错； 对于B，利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得＝－＝－＝－＝＋－＝b＋c－a，B对， 对于C，因为点P在线段AN上，且AP＝3PN，所以＝＝b＋c－a，所以＝＝b＋c－a，C错； 对于D，＝＋＝a＋b＋c－a＝a＋b＋c，D对．故选BD. 11.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,下列各式运算结果为的是(  ) A.-- B.+- C.-- D.-+ 【答案】AB 【解析】A中,--=-=; B中,+-=+=; C中,--=-=-=≠; D中,-+=++=+≠.故选AB. 三、填空题（共3小题） 12.已知a与b不共线，若向量2a－b和3a＋mb共线，则实数m＝                  . 【答案】－ 【解析】因为2a－b和3a＋mb共线，故存在实数λ，使得2a－b＝λ(3a＋mb)，又a与b不共线，故3λ＝2，且λm＝－1， 解得λ＝，m＝－. 13.如图，在平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD -A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，＝2，则＝                  ． 【答案】＋－ 【解析】如图所示，取BC的中点F，连接A1F， 则A1D1∥FE且A1D1＝FE， ∴四边形A1D1EF是平行四边形， ∴A1F∥D1E且A1F＝D1E， ∴＝， 又＝＋＋ ＝－＋＋， ∴＝＋－． 14.已知空间向量a，b，c，化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝                  ． 【答案】a＋b－c 【解析】原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b－c． 四、解答题（共2小题） 15.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 【答案】证明　设＝ a，＝ b，＝ c，则＝b－a， ∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a， 又∵AN∶NC＝2∶1， ∴＝＝(b＋c)， ∴＝－＝(b＋c)－a ＝(b－a)＋(c－a) ＝＋， ∴，，为共面向量. 又∵三向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面. 16.如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点.化简下列表达式，并在图中标出化简结果： 【答案】解： 向量如图所示. 学科网（北京）股份有限公司 $