第2章 11 圆锥曲线中的最值、范围问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦圆锥曲线中的最值与范围问题，从第二章圆锥曲线基础出发，通过重点回顾三角形、四边形面积处理及面积比转化方法，搭建从基础到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融合几何法（体现数学眼光，如利用距离、截距的几何意义）与代数法（展现数学思维，如函数构建、参数方程应用），典型例题提供多种解法（如典例1用几何意义、三角代换、变量消元），培养学生数学语言表达与逻辑推理能力。学生能提升问题解决能力，教师可借助系统方法与例题优化教学。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 11　圆锥曲线中的最值、范围问题 疑难点 第1讲　描述运动的基本概念 1.直线与圆锥曲线相交所得弦和某个定点所构成的三角形面积的处理方法 (1)一般方法:S= |AB|d(其中|AB|为弦长,d为定点到直线AB的距离).若直线的斜截式方程为y=kx+m,则可 得S= |AB|d=    (其中A(x1,y1),B(x2,y2),定点为(x0,y0)). (2)拆分法:将三角形沿着x轴或y轴或平行于x,y轴的直线拆分成两个三角形,拆分时给定的顶点一般在x 轴上或在y轴上,或在与x,y轴平行的直线上,这样便于找到拆分后的两个三角形的底边长. 如图1,S△PAB=S△PQA+S△PQB= |PQ||yA-yB|= |PQ| ; 如图2,S△PAB=S△PQA+S△PQB= |PQ||xA-xB|= |PQ| . (3)坐标法:设A(x1,y1),B(x2,y2),则S△AOB= |x1y2-x2y1|.(可利用(2)中的面积拆分方法推导)                  第1讲　描述运动的基本概念 2.直线与椭圆相交所得弦的端点所围的四边形面积或其他多边形面积的处理方法 (1)特殊四边形用公式求面积.如图3,若弦AB与弦PQ所在直线互相垂直,则S四边形APBQ= |AB|·|PQ|;若弦AB 与弦PQ所在直线的夹角为θ,则S四边形APBQ= |AB||PQ|sin θ. (2)若围成平行四边形,如图4,则S▱ABDC=|AB|·d(其中d表示两平行线AB,CD之间的距离,也即点C到直线AB 的距离|CH|). (3)若围成不规则的四边形或其他多边形,则可以将其进行拆分,转化为多个三角形,再参照上述求三角 形面积的方法进行求解即可. 第1讲　描述运动的基本概念 3.两个三角形的面积比的转化 两个三角形的面积比的转化有一定的技巧性,一般的思路就是将面积比转化为线段的长度之比或者点 的横、纵坐标之比,通常有以下类型: (1)两个三角形同底,则面积之比转化为高之比,进一步转化为点到直线的距离之比. (2)两个三角形等高,则面积之比转化为底边长度之比,进一步可转化为弦长之比. (3)根据正弦形式的三角形面积公式进行转化,若夹角的正弦值相等,则可转化为两边长度的乘积之比. 第1讲　描述运动的基本概念 1.求有关圆锥曲线的最值问题的常用方法 (1)几何法:若条件或结论能明显体现出几何特征及意义,则将代数目标量转化为直观的几何图形或几何量(如距离、斜 率、截距、线段长度、角度等),再利用圆锥曲线的定义、平面几何定理、图形的对称性等,直接找到最值成立的几何 直观位置(如相切、共线、垂直、极端位置等),进而求出最值或范围,核心是“代数问题几何化,几何性质具体化”. 代数目标量 几何意义   点(x,y)与点(x0,y0)间的距离 |Ax0+By0+C| 点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离的 倍   点(x,y)与点(x0,y0)连线的斜率 Ax+By 若Ax+By=t,则其几何意义为直线Ax+By-t=0在x轴上的截距的A倍或在y轴上的截距的B倍 第1讲　描述运动的基本概念 (2)代数法:若最值目标量(距离、面积、斜率、向量数量积等)能体现一种明确的函数关系,则可先通过 “设参”建立目标函数,再利用基本不等式或求函数值域的方法,求目标函数的最值或范围. 设参类型 应用场景 操作步骤 点的坐标 动点在曲线C:f(x,y)=0上 设动点P(x,y),利用曲线方程f(x,y) =0消去一个变量,然后将目标量 转化为f(x)或f(y) 直线斜率(截距) 动直线与曲线相交 设动直线的斜率为k(或截距 为m),联立直线与曲线的方程,结 合根与系数的关系将目标量转 化为f(k)(或f(m)) 第1讲　描述运动的基本概念 曲线的参数方程 与椭圆、双曲线有关的问题 椭圆问题用 代换,双曲 线问题用 代换,将目标 量转化为f(θ) 向量关系式 涉及定比分点、线段的长度比 根据共线向量定理引入参数λ,结 合坐标运算将目标量转化为f(λ) 第1讲　描述运动的基本概念 2.有关圆锥曲线的最值问题的常见类型及求解策略 (1)圆锥曲线本身存在的最值问题,如:①椭圆上两点间的最大距离为2a;②分别在双曲线两支上的两点 间的最小距离为2a;③椭圆的焦半径的长度的取值范围为[a-c,a+c];④抛物线上的点到抛物线准线的最 小距离为   . (2)求圆锥曲线上的点到其他点的距离的最值问题,常把两点间的距离转化为对应区间上的二次函数的 最值问题,或利用三角代换转化为三角函数的最值问题解决. (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题,解法同(2)或用平行切线法求解. (4)当点在圆锥曲线上且将点的坐标代入后所得方程形式与所求代数式(或目标函数)的形式相同时,常 利用三角代换转化为三角函数的最值问题,或根据平面几何知识引入一个有几何意义的新的参数,转化 为与参数有关的函数最值问题进行处理. (5)根据直线和圆锥曲线的位置关系,求直线或圆锥曲线方程中某个参数(系数)的范围,解题方法是把所 求参数转化为关于另一变量的函数求解. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知椭圆E: + =1,点P(x,y)是椭圆上一点. (1)求x2+y2的最值; (2)若四边形ABCD内接于椭圆E,点A的横坐标为5,点C的纵坐标为4,求四边形ABCD面积的最大值. 思路点拨    (1)思路一:x2+y2的几何意义是椭圆上一点与原点间的距离的平方,结合椭圆性质求解;思路 二:利用三角代换,转化为求三角函数式的最值;思路三:利用椭圆方程减少变量,结合椭圆性质求解.(2) 连接AC,将四边形分割为两个三角形求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:x2+y2=(x-0)2+(y-0)2,它表示点P与原点O之间的距离d的平方,由椭圆E的方程可得a=5,b =4,由椭圆的性质知4≤d≤5,∴16≤d2≤25,∴x2+y2的最大值为25,最小值为16. 解法二:令x=5cos θ,y=4sin θ,θ∈[0,2π),则x2+y2=25cos2θ+16sin2θ=16+9cos2θ. 又∵cos2θ∈[0,1],∴x2+y2的最大值为25,最小值为16. 解法三:由 + =1,得y2=16 , ∴x2+y2=x2+16 =16+ . ∵x∈[-5,5], ∴16≤x2+y2≤25, ∴x2+y2的最大值为25,最小值为16. (2)易知A(5,0),C(0,4),根据题意可作图如下: 第1讲　描述运动的基本概念   设B(5cos α,4sin α),α∈ , 连接AC,易得直线AC的方程为 + =1, 即4x+5y-20=0,所以点B到直线AC的距离d1=  = ∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 同理可得,点D到直线AC的距离d2∈ . 所以四边形ABCD的面积S= |AC|(d1+d2)≤20 ,故四边形ABCD面积的最大值为20 . 素养提升　在圆锥曲线的学习中,要树立“坐标化”观点,学会借助平面直角坐标系,将图形的位置关 系和度量关系转化为代数关系,解题时一般先用图形探索求解思路,然后借助代数运算和严谨的逻辑推 理解决. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　已知抛物线Γ:y2=4x,在Γ上有一点A位于第一象限,设点A的纵坐标为a. (1)若点A到Γ的准线的距离为3,求a的值; (2)当a=4时,若x轴上存在一点B,使AB的中点在Γ上,求原点O到直线AB的距离; (3)已知直线l:x=-3,P是第一象限内位于Γ上的异于点A的一个动点,且在l上的投影为点H,直线AP与l的交 点为Q,若|HQ|>4恒成立,求a的取值范围. 思路点拨    (1)利用抛物线的定义求解. (2)设出点B的坐标,根据中点坐标公式得到AB的中点的坐标,代入抛物线方程,求出B点坐标后写出直线 AB的方程,然后利用点到直线的距离公式求解. (3)设出动点P的坐标,表示出点H和直线AP的方程,联立直线AP与l的方程求出点Q的坐标,然后表示出| HQ|,通过变形,利用基本不等式求出最小值,再解不等式即可. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易得Γ的准线方程为x=-1,因为点A到Γ的准线的距离为3,所以点A的横坐标为2, 则a2=4×2=8,解得a=2 (舍负). (2)当a=4时,A(4,4),设B(b,0),则AB的中点坐标为 ,由题意可得22=4× ,解得b=-2,所以B(-2,0), 则kAB= = ,所以直线AB的方程为y= (x+2),即2x-3y+4=0, 所以原点O到直线AB的距离为 = . (3)设P (t>0且t≠a),则H(-3,t), 易知A ,则kAP= = , 故直线AP的方程为y-a=  ,令x=-3,得y=a- · , 第1讲　描述运动的基本概念 即Q ,(关键点:联立直线AP与直线l的方程,求出点Q的坐标) 则|HQ|= >4恒成立, 又t+a+ · -2a≥4 -2a>0,(关键点:变形,利用基本不等式求出最小值) 当且仅当t+a=2 时等号成立, 所以4 -2a>4,即 >2+a,所以0<a<2. 当a=2时,t+2+ -4≥2 -4=4,当且仅当t=2时等号成立,而a≠t,所以当a=2时也符合题意. 综上可得,实数a的取值范围为(0,2]. 解后反思　圆锥曲线中的范围与最值问题,展现了圆锥曲线与三角函数、不等式、方程、平面向量等 代数知识之间的紧密联系. 第1讲　描述运动的基本概念 $