第2章 09 直线与圆锥曲线的位置关系（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦“直线与圆锥曲线的位置关系”，系统涵盖椭圆、双曲线、抛物线与直线的位置判断、弦长计算、中点弦问题及切线方程等核心内容，通过复习圆锥曲线定义与方程导入，以直线与圆的位置关系为支架，逐步延伸至各类圆锥曲线的特殊性分析。 其亮点在于以“数学思维”构建分类讨论框架，如分斜率存在与否、二次项系数是否为0判断位置关系，结合“点差法”“设而不求”等思想培养推理能力；用“数学语言”规范解题步骤，典例解析详细展示方程联立、韦达定理应用等过程。学生能系统掌握解题方法，教师可直接利用结构化内容提升教学效率。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 09　直线与圆锥曲线的位置关系 疑难点 第1讲　描述运动的基本概念 1.直线与椭圆的位置关系 联立直线与椭圆的方程,根据消元后所得的方程解的情况可得直线与椭圆的公共点个数及位置关系. 以直线y=kx+m与椭圆 + =1(a>b>0)为例,具体判断方法如下:由 消去y(或x)得到一个一元 二次方程,若该一元二次方程的判别式为Δ,则 ①Δ>0⇔直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交; ②Δ=0⇔直线与椭圆有一个公共点⇔直线与椭圆相切; ③Δ<0⇔直线与椭圆无公共点⇔直线与椭圆相离. 第1讲　描述运动的基本概念 2.直线与双曲线的位置关系 将直线与双曲线的方程联立,根据消元后所得的方程解的情况可得直线与双曲线的公共点个数及位置 关系. 设直线l:y=kx+m(m≠0),双曲线C: - =1(a>0,b>0), 联立两方程,消去y,整理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当b2-a2k2=0,即k=± 时,直线l与双曲线C的渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点. (2)当b2-a2k2≠0,即k≠± 时,Δ= -4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2),则①Δ>0⇔直线与双曲线有两个公共点⇔ 直线与双曲线相交; ②Δ=0⇔直线与双曲线有一个公共点⇔直线与双曲线相切; ③Δ<0⇔直线与双曲线无公共点⇔直线与双曲线相离. 第1讲　描述运动的基本概念 3.直线与抛物线的位置关系 　　直线与抛物线也有三种位置关系:相离,相切,相交.以抛物线y2=2px(p>0)为例,判断方法如下: (1)当直线的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,代入y2=2px得k2x2+2(mk-p)x+m2=0. 当k=0时,直线平行于抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴重合,直线与抛物线只有一个公共点. 当k≠0时,若判别式Δ>0,则直线与抛物线相交,有两个公共点;若判别式Δ=0,则直线与抛物线相切,有一 个公共点;若判别式Δ<0,则直线与抛物线相离,没有公共点. (2)当直线的斜率不存在时,设直线方程为x=m,显然,当m<0时,直线与抛物线相离,无公共点; 当m=0时,直线与抛物线相切,有一个公共点;当m>0时,直线与抛物线相交,有两个公共点. 4.弦长公式 　　设斜率为k的直线与圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)相交,两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB| = ·|x1-x2|= · 或|AB|= ·|y1-y2|=  (k≠0). 第1讲　描述运动的基本概念 特别提醒     1.当直线斜率不存在时,设其方程为x=t,代入圆锥曲线方程解出y,根据解的个数来判断公共点个数及位 置关系. 2.与双曲线只有一个公共点的直线有两种,一种是与渐近线平行的直线,另一种是与双曲线相切的直线. 3.直线与抛物线只有一个公共点时,直线可能平行于或重合于抛物线的对称轴,也可能与抛物线相切. 第1讲　描述运动的基本概念 知识辨析     1.直线y=k(x-a)与椭圆 + =1(a>b>0)是否一定相交? 2.“直线与抛物线只有一个公共点”是“直线与抛物线相切”的充分必要条件吗? 不是.当直线与抛物线只有一个公共点时,直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称轴平行或重合;当 直线与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个公共点.因此“直线与抛物线只有一个公共点”是“直线 与抛物线相切”的必要不充分条件. 提示 是.易知直线y=k(x-a)恒过点(a,0),此点为椭圆的右顶点,又直线的斜率存在,所以直线与椭圆一定相交. 提示 第1讲　描述运动的基本概念 知识补充     1.过圆锥曲线的焦点且垂直于焦点所在的坐标轴的直线被圆锥曲线所截得的弦称为圆锥曲线的通径. 2.圆锥曲线的所有焦点弦中,通径最短,其中椭圆、双曲线、抛物线的通径长分别为 , ,2p. 第1讲　描述运动的基本概念 1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 (1)代数法:将直线与圆锥曲线的方程联立,消去y(或x),研究消元后的方程即可. (2)数形结合法:根据直线所过的定点或直线的斜率,通过数形结合分析直线与圆锥曲线的位置关系,要 特别关注直线与双曲线的渐近线以及抛物线对称轴的关系,必要时可对直线进行平移. 第1讲　描述运动的基本概念 2.求直线与圆锥曲线相交弦的长度的方法 (1)直接法:联立直线和圆锥曲线的方程,求出交点坐标,然后利用两点间的距离公式求弦长. (2)公式法:当交点坐标不易直接求出时,不妨设两交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).联立直线与圆锥曲线的方 程,消元后得到一个一元二次方程,假设得到的方程为mx2+nx+t=0(m≠0),则其两根分别为x1,x2,然后可利 用弦长公式|AB|= |x1-x2|=  (Δ是一元二次方程的判别式)求得弦长. 点拨:|x1-x2|=  = = = =   第1讲　描述运动的基本概念 3.与中点弦有关的三种常见解题方法 (1)利用根与系数的关系求中点坐标 联立直线和圆锥曲线的方程,消去x(或y)得到关于y(或x)的一元二次方程,利用根与系数的关系以及中点 坐标公式求中点坐标. (2)利用“点差法”求直线的斜率 因为弦的端点在圆锥曲线上,所以其坐标满足圆锥曲线的方程,将两端点坐标分别代入圆锥曲线的方 程,然后作差得到关系式,整理即可得到直线的斜率.如: 已知椭圆 + =1(a>b>0)上两点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1+y2≠0),AB的中点为M(x0,y0),则有 两式相 减得 + =0,整理得 =- · =- · (利用“点差法”构造中点坐标和直线斜率间 第1讲　描述运动的基本概念 的代数关系),即直线AB的斜率k=- . 常用结论(O为坐标原点): ①对于椭圆 + =1(a>b>0),kAB·kOM=- =e2-1;对于椭圆 + =1(a>b>0),kAB·kOM=- = . ②对于双曲线 - =1(a>0,b>0),kAB·kOM= =e2-1;对于双曲线 - =1(a>0,b>0),kAB·kOM= = . ③对于抛物线y2=2px(p>0),kAB= ;对于抛物线x2=2py(p>0),kAB= . (3)利用中点坐标公式求直线方程 以椭圆为例:若椭圆 + =1(a>b>0)的弦AB的中点为P(x0,y0),设A(x,y),则B(2x0-x,2y0-y),将A,B的坐标分 别代入椭圆方程,可得 + =1, + =1,两式作差即可得所求的直线方程. 第1讲　描述运动的基本概念 这三种方法中“点差法”最常用,它体现了“设而不求,整体代入”的解题思想.“点差法”还可用于 解决对称问题,因为此类问题一般也与弦的中点和直线斜率有关. 4.圆锥曲线在其上一点处的切线方程 (1)椭圆 + =1(a>b>0)在其上一点P(x0,y0)处的切线方程为 + =1; (2)双曲线 - =1(a>0,b>0)在其上一点P(x0,y0)处的切线方程为 - =1; (3)抛物线y2=2px(p>0)在其上一点P(x0,y0)处的切线方程为yy0=p(x+x0). 第1讲　描述运动的基本概念 5.圆锥曲线的切点弦方程 过圆锥曲线外一点(x0,y0)作曲线的两条切线,两切点连线的方程即为切点弦方程. (1)椭圆 + =1(a>b>0)的切点弦方程为 + =1; (2)双曲线 - =1(a>0,b>0)的切点弦方程为 - =1; (3)抛物线y2=2px(p>0)的切点弦方程为yy0=p(x+x0). 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 1.针对双曲线,可求出其渐近线的斜率,作出大致图形,结合已知直线的斜率k,利用渐近线的“边界作 用”研究直线与双曲线的位置关系. 以焦点在x轴上的双曲线 - =1(a>0,b>0)和直线y=kx+m(m≠0)为例,可将其渐近线y=± x作为“直线 与双曲线交点个数”的分界线:|k|= 时直线与双曲线只有1个交点(平行于渐近线);|k|< 或|k|> 时,结合 直线所过的点分析二者的交点情况(可能有2个,也可能有0个). (3)二级结论法:对于抛物线y2=2px(p>0),若直线的倾斜角为θ,斜率为k,则弦长|AB|= =2p =2 p . 第1讲　描述运动的基本概念 2.解答直线与圆锥曲线相交的题目时,常用到“设而不求,整体代入”的方法,即联立直线和圆锥曲线的 方程,消去y(或x)得一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件,建立有关参变量的等量关 系求解. 第1讲　描述运动的基本概念 3.抛物线焦点弦的长的相关公式: 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) 焦点弦 AB的长 x1+x2+p =  -x1-x2+p =  标准 方程 x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 焦点弦 AB的长 y1+y2+p =  -y1-y2+p =  注:表中A(x1,y1),B(x2,y2)为过焦点F的弦的两端点,α为弦所在直线的倾斜角. 第1讲　描述运动的基本概念 特别提醒     1.涉及设直线方程时,不要忽略直线斜率为0和直线斜率不存在的特殊情形. 2.应用“点差法”解与双曲线有关的中点弦问题时,务必要检验判别式Δ>0. 关键点拨 “点差法”的步骤如下:   第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 1.切线方程的记忆口诀:留一换一,即变量x,y的平方项中一个x,y照抄,另一个x,y用已知点的相应坐标替 换,一次项替换为对应变量与相应坐标相加后取一半的形式 x2→x0x,y2→y0y,x→  . 2.对于其他类型的切线问题,可通过设出切线方程后与圆锥曲线方程联立,通过判别式Δ=0求解未知参数. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知椭圆 + =1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点. (1)当直线l的斜率为 时,求线段AB的长度; (2)当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程. 思路点拨    (1)写出直线方程,与椭圆方程联立后求交点,再用两点间的距离公式求解即可.(2)利用点差 法求直线斜率,利用点斜式写方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知可得直线l的方程为y-2= (x-4),即y= x. 由 得 或  不妨令A ,B , 则|AB|= =3 , 所以线段AB的长度为3 . (2)由题意知直线l的斜率存在. 设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2, 第1讲　描述运动的基本概念 则 两式相减,得 + =0, 整理,得kAB= =- . 因为P(4,2)是线段AB的中点, 所以x1+x2=8,y1+y2=4,所以kAB=- =- , 所以直线l的方程为y-2=- (x-4), 即y=- x+4. 解后反思　针对第(2)问,也可设出斜率后写出直线方程,把直线方程与椭圆方程联立,消元后利用根与 系数的关系和中点坐标公式求解,不过计算量较大,因此遇到中点弦问题优选“点差法”. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2    (1)已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),讨论双曲线与直线公共点的个数; (2)已知双曲线3x2-y2=3,直线l过双曲线的右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B两点,则A,B两点是 否在双曲线的同一支上?并求弦AB的长. 思路点拨    (1)  (2)根据条件求得直线l的方程,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与双曲线的方程,消元后得一元二次方程,根据 根与系数的关系得到x1+x2,x1x2,由x1x2的正负得出交点位置,由弦长公式求得|AB|. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)联立 消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*) ①当1-k2=0,即k=±1时,方程(*)只有一个根x= .故k=±1时,直线与双曲线有一个公共点,此时直线l与渐近 线平行. ②当1-k2≠0,即k≠±1时,易得Δ=4(4-3k2). (i)令Δ>0,得- <k< 且k≠±1,此时方程(*)有两个不相等的实数根,故直线与双曲线有两个公共点. (ii)令Δ=0,得k=± ,此时方程(*)有两个相等的实数根,故直线与双曲线只有一个公共点,此时直线l与 双曲线相切. (iii)令Δ<0,得k<- 或k> ,此时方程(*)无实数解,故直线与双曲线无公共点. 综上所述,当k=±1或k=± 时,直线与双曲线有一个公共点;当- <k<-1或-1<k<1或1<k< 时,直线 第1讲　描述运动的基本概念 与双曲线有两个公共点;当k<- 或k> 时,直线与双曲线无公共点.  易知直线y=k(x-1)恒过点(1,0),双曲线渐近线的斜率为±1,可求得直线与双曲线相切时的斜率为± , 画出简图,结合图形可得出公共点个数或位置关系.  (2)因为双曲线的方程可化为x2- =1,所以a=1,b= ,c=2,所以F2(2,0),又直线l过点F2,且斜率k=tan 45°=1, 所以l的方程为y=x-2. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去y并整理得2x2+4x-7=0,则x1+x2=-2,x1x2=- <0,所以A,B两点在双曲线 的左、右两支上,|AB|= ·|x1-x2|= · = × =6. 第1讲　描述运动的基本概念 技巧点拨　将直线与双曲线的方程联立,假设消去y后得到关于x的一元二次方程为mx2+nx+t=0,其判别 式为Δ,当Δ>0时,设方程的两根分别为x1,x2. 对直线与双曲线的两交点(x1,y1),(x2,y2)的位置分以下三种情况讨论: ①若两交点均在右支上,则 ②若两交点均在左支上,则 ③若两交点分别在左、右两 支上,则x1x2<0. 第1讲　描述运动的基本概念 典例3　已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线C上一点P(x0,1)满足|PF|=2,Q为直线l:x-y-4=0上的 动点,过Q作曲线C的两条切线QA,QB,其中A,B为切点. (1)求抛物线C的方程; (2)求证:直线AB恒过定点. 思路点拨    (1)根据定义求解. (2)思路一:表示出两切线方程,由Q在两切线上得到方程组,从而确定直线AB的方程,得定点;思路二:设 出直线AB的方程,利用根与系数的关系得Q点坐标,由Q在直线l上得到参数间的关系,代入直线AB的方 程得定点. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意及抛物线的定义得|PF|=1+ =2,故p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y. (2)证法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0), 易知直线QA的斜率存在, 故设直线QA:y-y1=k(x-x1),由  得x2-4kx+4kx1- =0,令Δ=0, 即16k2-16kx1+4 =(4k-2x1)2=0,解得k= x1(二重根), 故切线QA:y-  = x1(x-x1), 第1讲　描述运动的基本概念 即y= x1x-y1, 同理可得切线QB:y= x2x-y2, 由Q在两条切线上,得  所以A,B的坐标适合方程y0= xx0-y, 所以直线AB:y0= x0x-y, 即y= x0x-y0, 由题意知y0=x0-4, 故直线AB:y= x0x+4-x0= x0·(x-2)+4, 第1讲　描述运动的基本概念 故直线AB恒过定点(2,4). 证法二:易知直线AB的斜率存在,设直线AB:y=kx+m, 联立 消去y,得x2-4kx-4m=0, 则Δ=16(k2+m)>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0), 则x1+x2=4k,x1x2=-4m. 同证法一得切线QA:y= x1x-  , 切线QB:y= x2x-  , 第1讲　描述运动的基本概念 由Q在两切线上得  解得  故Q(2k,-m),又Q在直线l:x-y-4=0上,所以m=4-2k, 故直线AB:y=kx+4-2k=k(x-2)+4,所以直线AB恒过定点(2,4). 知识拓展　抛物线的弦与抛物线在弦的两端点处的切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形,该三角 形有着许多特殊的性质,如:①若抛物线的弦过焦点,则抛物线在弦的两端点处的切线的交点在其准线 上;②阿基米德三角形中,弦所在的边上的中线所在直线与抛物线的对称轴平行或重合. 第1讲　描述运动的基本概念 $