第2章 10 圆锥曲线中的定值、定点与定直线问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦圆锥曲线中的定值、定点与定直线问题，从概念本质出发，通过“不变量分析-消参方法总结-常见类型策略”的脉络，衔接圆锥曲线基础与高频考点，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于以“参数变化中的不变性”为核心，结合先猜后证的探究思路，通过典例中联立方程、韦达定理等代数运算，培养学生的数学思维与模型表达能力。资料含详细解析与技巧点拨，学生能提升逻辑推理与运算能力，教师可直接用于高频考点教学，提高效率。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 10　圆锥曲线中的定值、定点与 定直线问题 高频考点 第1讲　描述运动的基本概念 1.定值问题 (1)本质:在运动变化的过程中寻找不变量的问题.在解析几何中,有时某些量(如直线的斜率、三角形的 面积、线段长的比值等)和动点坐标或动线方程中的参变量无关,这类问题统称为定值问题.解决这类 问题常通过分离参数,等价替换或对参数赋特殊值来确定“定值”是多少,或将问题涉及的几何式转化 为代数式或三角式,然后证明该式的值是恒定不变的. (2)定值问题中的常用消参方法:①参数无关消参:当表达式中与参数相乘的因式的取值恒为0时,该式与 参数的取值就无关,比如表达式为y-2+kg(x)=0,则只要g(x)=0,该式就和参数k无关,或者说参数k不起作 用.②分式相除消参:将两个含参数的式子相除,消掉分子和分母中所含的参数,从而得到定值.③因式相 减消参:将两个含参数的因式相减,消掉所含参数. (3)圆锥曲线中定值问题的常见类型及解题策略 第1讲　描述运动的基本概念 ①求代数式的值为定值.依据题设条件,得出与代数式有关的参数表达式,将其代入代数式,化简即可得 出定值. ②求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的表达式,再利用题设条件进行化简、 变形即可求得. ③求某线段的长度为定值.利用长度公式求得表达式,再依据条件对表达式进行化简、变形即可求得. 2.圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线方程中的系数为参数,用参数表示变化的量,再研究此变化的量 与参数何时没有关系,从而找到定点.或借助已知曲线上的点来引进参数,设点P(x1,y1)在曲线f(x,y)=0上, 则f(x1,y1)=0,然后解方程来进行消参. (2)从特殊到一般:采用先猜后证的思路,可先考虑运动图形是否具有对称性或存在特殊(或极端)位置,由 此猜想可能经过的定点,再证一般情况下仍然经过此定点. 第1讲　描述运动的基本概念 3.圆锥曲线中定直线问题的求解策略 (1)设点法:设出动点坐标,建立其与已知点坐标间的联系,通过已知点的轨迹方程消去参数,从而得到轨 迹方程,确定定直线. (2)待定系数法:设出含参数的直线方程,利用待定系数法求解出系数,确定定直线. (3)从特殊到一般:面对复杂问题时,可从特殊情况入手,以确定可能的定直线,然后验证该直线对一般情 况也成立,即先猜后证. 技巧点拨 定值、定点与定直线问题,本质均为挖掘“参数变化中的不变性”,均可考虑从特殊情况入手,先找出 定值、定点、定直线,再用一般的解题思路证明其与参变量无关,即先猜后证. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 1.代数运算要准确:圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题往往涉及大量的代数运算,如联立方程、消 元、化简等,容易出现运算错误.解决方法是熟练掌握代数运算技巧,如因式分解、配方、换元等,同时 注意运算的准确性,必要时进行验算. 2.选取参数要恰当:在解决这类问题时,参数的选取至关重要.如果参数选取不当,可能会导致运算复杂, 甚至无法解决问题.应根据问题的特点,合理选择参数,如令直线的斜率、截距,点的坐标等为参数,以简 化运算. 3.几何性质应用要熟练:圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题往往与圆锥曲线的几何性质密切相关, 如焦点、准线、渐近线的性质及圆锥曲线的对称性等.如果不能熟练应用这些几何性质,就难以找到解 题的突破口,所以加强对圆锥曲线几何性质的理解和掌握是至关重要的. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,离心率为 ,且点 在椭圆上. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知点M,N是椭圆上异于A,B的不同两点,直线BN的斜率为k(k≠0),直线AM的斜率为3k,求证:直线MN 过定点,并求出此定点坐标; (3)如图,若一条斜率不为0的直线过点(-1,0),且与椭圆C交于S,T两点,直线BT的斜率为k1,直线AS的斜率 为k2,求证: 为定值.   第1讲　描述运动的基本概念 思路点拨    (1)由离心率为 及点在曲线上列出对应方程,结合a2=b2+c2求解即可.(2)确定直线AM,BN的 方程→分别与椭圆方程联立求出M,N的坐标→由xM=xN先确定定点,再研究直线MN的斜率存在时直线 MN过该定点.(3)巧设直线方程,先转化等式为两斜率之比,再就此证明斜率的比值为定值即可. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知得 = ,所以 =1- =1- = ,又点 在该椭圆上,所以 + =1,所以a2=4,b2=3, 所以椭圆C的标准方程为 + =1. (2)易得A(-2,0),B(2,0), 故直线AM的方程为y=3k(x+2), 直线BN的方程为y=k(x-2). 联立 消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,所以Δ1>0,xBxN= , 所以xN= ,从而yN=- , 即N . 第1讲　描述运动的基本概念 联立 消去y,整理得(12k2+1)x2+48k2x+48k2-4=0,所以Δ2>0,xAxM= , 所以xM= ,从而yM= , 即M . 解法一:当xM=xN时, = ,解得k=± ,此时直线MN的方程为x=-1,恒过点(-1,0). 当xM≠xN,即k≠± 时, kMN= = , 第1讲　描述运动的基本概念 所以直线MN的方程为y- = · ,整理得y= (x+1), 故直线MN过定点(-1,0). 综上可得,直线MN过定点(-1,0). 解法二:当xM=xN时,同解法一知直线MN恒过定点(-1,0),记为P. 当xM≠xN时,kPM= ,kPN= = = ,故kPM=kPN, 所以直线MN过定点P(-1,0). 综上可得,直线MN过定点(-1,0). (3)证明:设S(x1,y1),T(x2,y2), 由题知直线ST的斜率不为0,可设lST:x=my-1, 第1讲　描述运动的基本概念 联立  消去x,得(3m2+4)y2-6my-9=0, 则Δ>0恒成立,y1+y2= ,y1·y2= , 则my1·y2=- (y1+y2). 因为A(-2,0),B(2,0),所以k1= ,k2= , 则 = = = = =3, 所以 = + = +3= ,为定值. 解后反思　对于本例(3),可由直线ST垂直于x轴时的特殊情况进行计算,得到k2与k1的比值为3,再证其他 情况下 =3也成立. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　已知椭圆E: + =1(a>b>0),其左、右顶点分别为A1,A2,离心率为 ,点 在椭圆E上. (1)求椭圆E的标准方程; (2)若直线l:x=my+n与椭圆E交于M,N两点,直线l不过原点及椭圆的顶点,且不垂直于x轴. (i)设直线A2M和A2N的斜率分别为k1,k2,用m,n表示 + ; (ii)设点M关于原点对称的点为S,直线A1S与直线A2N交于点T,直线OT与直线l交于点Q,其中O为坐标原 点,证明:点Q在一条定直线上. 思路点拨    (1)利用椭圆的离心率及所过的点列式,结合a2=b2+c2求出a,b的值即可. (2)(i)联立直线l与椭圆的方程,利用根与系数的关系及过两点的直线的斜率公式求解.(ii)由椭圆的对称 性,结合(i)的信息求出直线OT的斜率,进而求出直线OT的方程,再求出点Q的横坐标,验证它为定值即可. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由椭圆E: + =1的离心率为 , 得 = = ,所以a=2b,则椭圆E: + =1,又点 在椭圆E上,所以 + =1, 所以b=1,a=2, 所以椭圆E的标准方程为 +y2=1. (2)(i)由 消去x得(m2+4)y2+2mny+n2-4=0,则Δ=4m2n2-4(m2+4)(n2-4)=16(m2-n2+4)>0. 设点M(x1,y1),N(x2,y2), 则y1+y2= ,y1y2= , 易得A1(-2,0),A2(2,0),依题意知n≠±2,n≠0, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 + = + = + =2m+(n-2)· = . (关键点:利用直线方程消参,结合根与系数的关系求得结果) (ii)证法一:设T(x0,y0), 由M,S两点关于原点对称,O为A1A2的中点,可得A1S∥A2M,则 = ,结合(i)知k1= ,由 = ,得k2=  ,则 + = + = , 由(i)得 = ,所以kOT= = , 则直线OT的方程为y= x, 由 消去y,得x= x+n,即(x+2)n=0, 第1讲　描述运动的基本概念 又n≠0,所以x+2=0,即x=-2, 所以点Q在定直线x=-2上. 证法二:由(i)得y1+y2= ,y1y2= ,A1(-2,0),A2(2,0),设T(x0,y0), 由M,S两点关于原点对称,得S(-x1,-y1), 由A1,S,T三点共线,得 = , 由A2,N,T三点共线,得 = , (关键点:利用三点共线,找出点的坐标之间的关系) 则 = + = + = + =2m+(n-2)· = , 解得 = ,因此直线OT的方程为y= x, 第1讲　描述运动的基本概念 由 消去y,得x= x+n,即(x+2)n=0, 又n≠0,所以x+2=0,即x=-2, 所以点Q在定直线x=-2上. 名师点津　定值、定点、定直线问题的求解核心都是通过代数运算消去可变参数,得到不变的量.其 中,参数化是前提,根与系数的关系是化简代数式的有力工具,恒成立是最终归宿. 第1讲　描述运动的基本概念 $