04-§4 04-专题强化练6 圆锥曲线中的最值与范围问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦圆锥曲线中的最值与范围问题，从椭圆、抛物线、双曲线的定义及性质出发，通过专题专项练衔接，构建从基础概念到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握相关问题的解题思路。 其亮点在于结合阿波罗尼斯圆、椭圆光学性质等实例，引导学生用数学眼光观察问题，通过方程思想、几何转化等数学思维分析问题，总结解题技法培养数学语言表达。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助典型例题优化教学，提高课堂效率。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 专题强化练6　圆锥曲线中的最值与范围问题 专题专项练 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026江西南昌外国语学校期中]已知点P(0,1),椭圆 +y2=m(m>1)上两点A,B满足 =2 ,则当点B的 横坐标的绝对值最大时,m=( ) A.2　　    B.3　　    C.4　　    D.5     D     解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),由 =2 得(-x1,1-y1)=2(x2,y2-1),则-x1=2x2,1-y1=2y2-2,则x1=-2x2,y1+2y2=3, 又A,B在椭圆上,所以 将x1=-2x2代入得  两式相减得4( -4 )=-12m,即(y1-2y2)(y1+2y2)=-3m,又y1+2y2=3①,所以y1-2y2=-m②, 由①+②得2y1=3-m,则y1= , 则m= + = + = + ,则 =m- = = , 当m=5时, 取得最大值,故点B的横坐标的绝对值取得最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025河南部分学校期中]已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,△ABC的三个顶点都在E上,且F为△ ABC的重心.若|FA|+|FB|的最大值为10,则p= ( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,作抛物线的准线l:y=- , 分别过点A,B作AA1⊥l,BB1⊥l,垂足为A1,B1,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 则|FA|+|FB|=|AA1|+|BB1|=y1+ +y2+ =y1+y2+p, 因为点F 为△ABC的重心, 所以 = ,即y1+y2= -y3, 所以|FA|+|FB|= -y3+p= -y3, 因为点C在抛物线E上,所以y3≥0, 故|FA|+|FB|≤ ,则 =10,解得p=4. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026上海复旦大学附属中学期中]古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面上到两定点 的距离之比为定值λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆,后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯 圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-4,1),B(-4,4),若P是满足 = 的阿氏圆上的动点,Q为 双曲线C: - =1右支上的动点,F,M分别为双曲线C的左、右焦点,则|PB|+2|PQ|+2|QF|的最小值为  ( ) A.18+2 　　    B.16+2  C.18+2 　　    D.16+2      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设P(x,y),则 = = ,化简整理得(x+4)2+y2=4, 所以点P的轨迹是以(-4,0)为圆心,2为半径的圆, 由双曲线C的方程得a=4,b=3,c=5, 则F(-5,0),M(5,0), 由双曲线的定义得|QF|-|QM|=2a, 则|QF|=|QM|+2a, 则|PB|+2|PQ|+2|QF|=2|PA|+2|PQ|+2|QF|=2(|PA|+|PQ|+|QM|+2a)≥2|AM|+4a=2 +16, 当且仅当A,P,Q,M(P,Q两点在A,M两点中间)四点共线时取等号, 所以|PB|+2|PQ|+2|QF|的最小值为2 +16. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025重庆巴蜀中学期中]如图,曲线C由三部分构成:半圆F1:(x+1)2+y2=1(y≥0),半圆F2:(x-1)2+y2=1(y≥ 0),半椭圆Γ: + =1(y<0),直线AB:y= (x-1)交C于A,B两点,动点P在曲线C上,则△PAB面积的最大值为 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.4     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得F1(-1,0),F2(1,0). 联立  解得 即A , 则|AB|=|AF2|+|F2B|= +1= . 显然当点P在半圆F1上且PF1⊥AB时,△PAB的面积最大,过F1作AB的垂线,交半圆F1于点P, 因为点F1(-1,0)到直线AB的距离d= = ,所以点P到直线AB的距离h≤d+|PF1|= +1= , 故S△PAB≤ × × = .故△PAB面积的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026福建福州第三中学期中]已知O为坐标原点,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线l交抛物线于A, B两点,若 · =-48,则 - 的最小值为( ) A.- 　　    B. 　　     C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易得F ,设直线l的方程为x=ty+ ,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 消去x得y2-2pty-p2=0,则y1y2=-p2,则x1x2= · = , 由 · =-48,得x1x2+y1y2=- =-48,解得p=8,则抛物线方程为y2=16x,抛物线的准线方程为x=-4, 则|AF|=x1+4,|BF|=x2+4,x1x2=16, 于是 + = + = = = , 则 = - , 因此 - = -4 = + -1≥2 -1= ,当且仅当 = ,即|BF|=6时 取等号,所以当|BF|=6,|AF|=12时, - 取得最小值,为 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026江西抚州崇仁第一中学阶段测试]已知双曲线E: - =1(a>0)的渐近线与圆C:x2+(y-2)2 =1相切,F1,F2分别为E的左、右焦点,动点P在E的左支上,则 ( ) A.a=1 B.△CF1F2为等腰直角三角形 C.△CF2P的周长的最小值为4  D.|CP|的最小值为      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　双曲线E的渐近线的方程为y=± x,即 x±ay=0, 圆C的圆心为C(0,2),半径r=1. 因为双曲线E的渐近线与圆C相切, 所以 =1,解得a=1,故A正确; c2=a2+b2=4,则c=2, 所以F1(-2,0),F2(2,0), 则|CF1|=|CF2|=2 ,|F1F2|=4, 故|CF1|2+|CF2|2=|F1F2|2, 则CF1⊥CF2,所以△CF1F2为等腰直角三角形,故B正确; △CF2P的周长为|CF2|+|PC|+|PF2|=2 +|PC|+2a+|PF1|=2 +2+|PC|+|PF1|≥2 +2+|CF1|=4 +2, 第1讲　描述运动的基本概念 当且仅当P,C,F1三点共线时等号成立, 则△CF2P的周长的最小值为4 +2,故C不正确; 设P(x0,y0),x0≤-1,y0∈R, 则 - =1,则 =1+ , 所以|CP|=  =  = , 当y0= 时,|CP|取得最小值,为 ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026山东济南第一中学期中]“若P为椭圆上的一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,则椭圆在点P处的切线 平分∠F1PF2的外角”,这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆C: + =1,P是椭圆上的点,在点P处的切线 为直线l,过左焦点F1作l的垂线,垂足为M,O为坐标原点,则|MF1|的最小值为____________.     4-2      解析　由椭圆C的方程知a=4,b=2,c= =2 , 如图,延长F1M,F2P交于点N,由题意可知∠F1PM=∠NPM, 又PM⊥F1N,故M为F1N的中点, 且|PF1|=|PN|,所以|F2N|=|PN|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a=8, 因为O为F1F2的中点, 所以|OM|= |F2N|= ×8=4, 故点M的轨迹是以O为圆心,r=4为半径的圆,其方程为x2+y2=16, 易知点F1到圆心O的距离|OF1|=c=2 ,所以|MF1|min=r-|OF1|=4-2 . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏泰州第二中学期中]已知曲线E: + =1,P(x0,y0)是曲线E上任意一点,则| x0+y0|的最 大值为__________. 思路分析 　　分类讨论确定曲线E的形状,利用| x0+y0|的几何意义确定其取得最大值时点P(x0,y0)的位置,再利用 三角换元求出最大值.     2 第1讲　描述运动的基本概念 解析　当x≤0,y>0时,曲线E的方程为 - =1,表示焦点在y轴上的双曲线在y轴及y轴左侧、x轴上方的 部分; 当x>0,y≥0时,曲线E的方程为 + =1,表示焦点在y轴上的椭圆在y轴右侧、x轴及x轴上方的部分; 当x>0,y<0时,曲线E的方程为 - =1,表示焦点在x轴上的双曲线在第四象限内的部分; 当x<0,y≤0时,曲线E的方程为- - =1,方程无解,不表示任何图形. 曲线E: + =1的图象如图所示,直线l是双曲线 - =1的一条渐近线,其方程为y=- x,即 x+y=0, 第1讲　描述运动的基本概念   | x0+y0|可视为曲线E上的点P(x0,y0)到直线 x+y=0的距离的 倍, 由图知,当点P(x0,y0)位于第一象限时,点P(x0,y0)到直线 x+y=0的距离最大, 设P( cos θ,2sin θ),0≤θ≤ , 则 x0+y0=2cos θ+2sin θ=2 sin ,当θ= 时,| x0+y0|max=2 , 所以| x0+y0|的最大值为2 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江西景德镇乐平第一中学期中]已知双曲线C: - =1的左顶点为A(-1,0),渐近线方程为y=±  x,直线l经过点B(-1,2),与C交于不与A重合的两点P,Q, (1)求双曲线C的方程; (2)求直线AP,AQ的斜率之和; (3)设在射线AQ上的点R满足∠APQ=∠ARP,求直线PR的斜率的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由双曲线的左顶点为A(-1,0),得a=1, 由双曲线的渐近线为y=± x, 得 = ,即b= , 所以双曲线C的方程为x2- =1. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由题意知直线PQ的斜率存在, 可设直线PQ的方程为y=k(x+1)+2, 联立 消去y可得(3-k2)x2-(2k2+4k)x-(k2+4k+7)=0, 则x1+x2= ,x1x2=- , 第1讲　描述运动的基本概念 设直线AP的斜率为k1,直线AQ的斜率为k2,则k1= ,k2= , 所以k1+k2= + =  = =  =-3,所以直线AP,AQ的斜率之和为-3. (3)设直线PR:y=t(x+1)+r(r≠0),AQ:y=k2(x+1),AP:y=k1(x+1), 联立 得P , 同理可得Q , 第1讲　描述运动的基本概念 联立  得P , 同理可得R , 所以|AP|2= ,|AQ||AR|= , 易得△PAR∽△QAP,则 = , 所以|AP|2=|AQ||AR|,所以 = ,又k1≠k2,k1+k2=-3, 所以t= ≤- ,当 时取等号, 所以直线PR的斜率的最大值为- . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025山东A7联盟开学考试]已知抛物线C:y2=2px(p>0),过抛物线的焦点F作直线l1分别在第一、四 象限交C于点K,P,过原点O作直线l2与抛物线的准线交于点E,设两直线的交点为S.当点P的纵坐标为-2 时,|OP|= . (1)求C的方程; (2)若EP平行于x轴,证明:S在抛物线C上; (3)在(2)的条件下,记△SEP的重心为R,延长ER交SP于点Q,直线EQ交C于N,T两点(T在右侧),设NT的中点 为G,求△PEG与△ESQ的面积的比值n的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意设P(a,-2)(a>0), 则|OP|= = ,得a=1,即P(1,-2), 代入抛物线方程得4=2p,解得p=2, 所以C的方程为y2=4x. (2)证明:由(1)知F(1,0),C的准线方程为x=-1, 不妨设P(x1,y1),K(x2,y2)(y1<0,y2>0),l1:x=my+1, 若EP∥x轴,则E(-1,y1), 所以l2:y= x,即y=-y1x, 联立 得  第1讲　描述运动的基本概念 所以S , 又P在C和l1上,所以  则S , 此时 = = = ,即 =4xS, 所以S在抛物线C上. (3)在(2)的条件下可知S,K两点重合,由重心的性质知Q为SP的中点, 同(2),设P(x1,y1),S(x2,y2)(y1<0,y2>0),l1:x=my+1, 则E(-1,y1),Q , 第1讲　描述运动的基本概念 由 得y2-4my-4=0, 则y1+y2=4m,所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,且y1= =2m-2 ,则Q(2m2+1,2m), 易知lEQ:y= (x+1)+y1, 整理得x= (y-y1)-1. 设N(xN,yN),T(xT,yT), 则G , 由 得y2- y+ y1+4=0,则yN+yT= =2yG, 第1讲　描述运动的基本概念 即yG= =2 , 因为Q是线段SP的中点,所以S,P到直线EQ的距离相等, 则n= = = = = =2- , 设f(m)=2- , 若m>0,则f(m)=2- , 显然 >1,所以2>2- >1; 若m=0,则f(m)=2; 第1讲　描述运动的基本概念 若m<0,则f(m)=2+ , 所以3>2+ >2. 综上,n的取值范围为(1,3).   第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江西赣州厚德外国语学校月考]已知椭圆E的方程为 + =1,F是椭圆E的右焦点. (1)点M(x1,y1)(x1>0,y1>0)在椭圆E上,椭圆E在点M处的切线l: + =1交x轴于点P,求|FP|-2 |FM|的最 小值; (2)以坐标原点O为圆心, 为半径的圆记为圆O.平行四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在椭圆E上, 圆O内切于平行四边形ABCD. (i)证明:四边形ABCD为菱形; (ii)求四边形ABCD的面积的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由椭圆方程知F(2,0). 因为切线l: + =1交x轴于点P, 所以P ,0<x1<2 , 则|FP|= -2, 因为点M(x1,y1)在椭圆E上, 所以 + =1,即 =4- , 则|FM|=  =  第1讲　描述运动的基本概念 = = |x1-4|, 因为0<x1<2 ,所以x1-4<2 -4, 故|FM|= (4-x1), 所以|FP|-2 |FM|= -2-2 × ×(4-x1)= +2x1-10≥2 -10=8-10=-2,当且仅当 =2x1, 即x1=2时等号成立, 所以|FP|-2 |FM|的最小值为-2. (2)(i)证明:当直线AB的斜率不存在或为0时,圆O:x2+y2= 内切于正方形ABCD,正方形的四个顶点为  ,满足椭圆E的方程,符合题意,此时四边形ABCD为菱形; 当直线AB的斜率存在且不为0时, 第1讲　描述运动的基本概念 设其方程为y=kx+t(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立  得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-8=0, 则Δ=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-8)=8(8k2-t2+4)>0,x1+x2=- ,x1x2= , 所以y1y2=(kx1+t)(kx2+t)= , 因为圆O内切于平行四边形ABCD, 所以O到直线AB的距离d= , 则 = ,整理得t2= (1+k2), 第1讲　描述运动的基本概念 所以 · =x1x2+y1y2= + = = =0,则OA⊥OB,此时四边形ABCD 为菱形. 综上可知,四边形ABCD为菱形. (ii)由(i)知,当四边形ABCD为正方形时,S四边形ABCD=2 ×2 = ; 当四边形ABCD不为正方形,为菱形时, 因为|AB|= =2 × , 所以S△AOB= ×|AB|×d= × , 令m=1+2k2,则m>1,k2= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以S△AOB= ×  = ×  = × , 当 = ,即m=2时,S△AOB取得最大值,为2 . 因为S菱形ABCD=4S△AOB,所以菱形ABCD的面积的最大值为8 , 因为8 > ,所以菱形ABCD的面积的最大值为8 . 第1讲　描述运动的基本概念 解题技法　破解解析几何中的最值与范围问题的常用方法 1.用定义与性质:利用抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离相等,椭圆或双曲线上的点到两焦点 的距离之间的固定规律,以及圆锥曲线的性质,将所求问题进行合理转化; 2.建立目标关系式:利用已知条件与圆锥曲线的定义、几何性质,建立目标关系式; 3.建立目标函数:求最值(范围)问题时,根据平面几何中的最值的结论(如两点间线段最短等)或基本不等 式,建立目标函数,利用函数的知识求解. 第1讲　描述运动的基本概念 $