第2章 07 抛物线的定义与标准方程的求解（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、标准方程、几何性质及应用，课堂导入从圆锥曲线整体框架切入，先回顾椭圆、双曲线知识，再通过“一动三定”定义衔接抛物线，搭建前后知识的学习支架。 其亮点在于结构化呈现内容，用表格对比不同开口方向抛物线的方程、焦点、准线等，结合典例（如距离最值转化）培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。学生能系统构建知识体系，提升解题能力，教师可高效开展教学。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 07　抛物线的定义与标准方程的求解 重难点 第1讲　描述运动的基本概念 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线.点F叫作抛物线 的焦点,直线l叫作抛物线的准线. 第1讲　描述运动的基本概念 2.抛物线的标准方程与简单几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形         开口方向 向右 向左 向上 向下 焦点坐标         准线方程 x=-  x=  y=-  y=  第1讲　描述运动的基本概念 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点坐标 (0,0) 离心率 e=1 特别提醒    当F∈l时,动点的轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线.例如与点F(-1,0)和直线l:x=-1 的距离相等的点的轨迹是直线y=0(即x轴). 第1讲　描述运动的基本概念 深度剖析     1.从表中可知,方程的一次项中的变量决定了焦点位于x轴还是y轴,一次项系数的正负决定了开口方向. 2.抛物线标准方程中的参数p的值等于抛物线的焦点到其准线的距离(即焦准距),所以p的值一定大于0. 3.抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”:一个动点(设为M)、一个定点F(即抛物线的焦点)、一 条定直线l(即抛物线的准线)、一个定值(即点M与点F的距离与点M到直线l的距离的比值等于1). 第1讲　描述运动的基本概念 1.求抛物线标准方程的方法 (1)直接法:直接利用题中已知条件确定参数p和抛物线的开口方向. (2)待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件确定参数p.当焦点的位置不确定时,应分类讨论, 或直接设抛物线方程为y2=mx或x2=my(m≠0),再根据已知条件确定m的值. 第1讲　描述运动的基本概念 2.用定义法解决与抛物线有关的轨迹问题 利用抛物线的定义求动点的轨迹方程,关键是找到满足定义的条件:动点到定点的距离等于到定直线的 距离且定点不在该定直线上. 根据动点坐标满足的方程判断动点的轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式, 对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后结合有关曲线(椭圆、双曲线或抛物线)的定义作出判断. 第1讲　描述运动的基本概念 3.利用抛物线的定义解决与距离有关的最值问题 (1)线段长度和的最小值问题: ①如图1,F为抛物线的焦点,P为抛物线上任意一点,Q为抛物线内任意一点,P'为P在准线l上的投影,当P, Q,P'三点共线(即P为P1,P'为P'1)时,|PF|+|PQ|的值最小,且最小值为|P'1Q|=xQ+ (内部连准线).  　      ②如图2,F为抛物线的焦点,P为抛物线上任意一点,Q为抛物线外任意一点,当P,Q,F三点共线且P在Q,F 之间(即P为P1)时,|PF|+|PQ|的值最小,且最小值为|FQ|= (外部连焦点). 第1讲　描述运动的基本概念 (2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略: ①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,利用“两点之间线段最短”解决. ②将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“点与直线上的点所连的所有线段中 垂线段最短”解决. 勘破疑难 求抛物线的标准方程的关键是求p的值,要确定p值就要研究抛物线的焦点、准线及标准方程间的联系: 准线与焦点所在的坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们到原点的距离都等于标准方程中一次项 系数的绝对值的 ,即为 = ,且垂足与焦点的距离为p. 第1讲　描述运动的基本概念 技巧点拨 1.抛物线的定义主要应用于抛物线上的点到焦点的距离及其到准线的距离之间的转化,通过这种转化 可以解决点的轨迹方程、线段长度之和(或之差)的最值、求参数等问题. 2.抛物线最值问题的解题关键: ①内部一点连准线,外部一点连焦点; ②构造三点共线. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　根据下列条件求抛物线的标准方程. (1)经过点(-3,-1); (2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上一点M(x0,x0)(x0≠0)满足|MF|=5. 思路点拨　根据题意设出标准方程或根据所给方程,结合抛物线的定义和性质进行求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为点(-3,-1)在第三象限内, 所以设抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0). 若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0), 则(-1)2=-2p1×(-3),解得p1= ; 若抛物线的标准方程为x2=-2p2y(p2>0), 则(-3)2=-2p2×(-1),解得p2= . 故所求抛物线的标准方程为y2=- x或x2=-9y. (2)依题意得 =2px0,因为x0≠0,所以x0=2p. (由点在抛物线上可知点的坐标适合抛物线的方程,解题时要注意隐含条件的运用)又|MF|=x0+ =5, 所以2p+ =5,解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x. 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　抛物线上一点(x0,y0)与焦点所连线段称为抛物线的焦半径,相关公式如下表: 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 焦半径的长 x0+   -x0 y0+   -y0 第1讲　描述运动的基本概念 典例2    (1)已知P为抛物线y2=4x上的一个动点,直线l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则P到直线l1,l2的距离之和的最小 值为 ( ) A.2 　　　    B.4　　　    C. 　　　    D. +1 (2)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_____________.     x2=-12y         A     第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由y2=4x,知2p=4,即p=2,因此抛物线的焦点为(1,0),准线为l1:x=-1,记F(1,0). 如图,连接PF,分别作PM⊥l1,PN⊥l2,则本题即求|PM|+|PN|的最小值.   根据抛物线的定义,将点P到直线l1:x=-1的距离转化为点P到焦点F(1,0)的距离,则转化为求|PF|+|PN|的 最小值.(关键点:利用抛物线的定义进行转化,最终转化为焦点到直线的距离) 过点F作直线l2的垂线FN',交抛物线于点P',且P'在F,N'之间,则点P'即为取得最小值时的点P, 即(|PF|+|PN|)min=|FN'|, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴P到两条直线的距离之和的最小值为|FN'|= =2 . (2)设动圆M的半径为r(r>0),动圆圆心M到直线y=2的距离为d1,到直线y=3的距离为d,易知定圆C的圆心 为C(0,-3), 依题意得动圆在直线y=2下方,且d1=r,d=d1+1=r+1,|MC|=r+1,因此d=|MC|, 设M(x,y),则点M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.(关键点:消去参数r,寻找距离间的关系) 由抛物线的定义可知,动圆圆心M的轨迹是以C(0,-3)为焦点,直线y=3为准线的抛物线,其方程为x2=-12y  点拨:抛物线开口向下,∴可设方程为x2=-2py,又 =3,∴x2=-12y . 解题模板　利用抛物线的定义和方程解题时注意平面几何知识的应用,结合平面图形的特征转化求解. 步骤如下:分析几何约束条件→识别出抛物线的定义特征(或转化为距离相等)→建立与距离有关的等 式→结合定义和方程求解. 第1讲　描述运动的基本概念 $