第2章 06 双曲线离心率的求解（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦“双曲线离心率的求解”，围绕基本公式、特殊双曲线性质及三类求解方法展开，通过回顾离心率与“张口”关系、渐近线斜率关联等内容，搭建从定义理解到问题解决的学习支架，衔接圆锥曲线知识脉络。 其亮点在于知识体系结构化（如特殊双曲线表格归纳性质）、方法分类明确（公式法、构造法等），结合焦点三角形、直角三角形典例，培养学生数学思维（推理能力）与数学眼光（几何直观）。讲练结合助力学生掌握转化技巧，教师可依托此资料提升教学效率。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 06　双曲线离心率的求解 高频考点 第1讲　描述运动的基本概念 1.双曲线离心率的基本公式:e= = ,由于c>a>0,所以e>1. 2.离心率对双曲线“张口”的影响:e越大,其“张口”就越大. 　　由e= = = ,可知e越大, 越大,即渐近线y= x的斜率越大,从而双曲线的“张口”越大. 第1讲　描述运动的基本概念 3.特殊双曲线 特殊双曲线 定义 性质 等轴双曲线 中心为原点,以坐标轴为对称轴, 实半轴长与虚半轴长相等的双 曲线叫作等轴双曲线 (1)a=b; (2)e= ; (3)两条渐近线互相垂直 共轭双曲线 如果一个双曲线的实轴和虚轴 分别是另一个双曲线的虚轴和 实轴,那么这两个双曲线互为共 轭双曲线 (1)它们有共同的渐近线; (2)它们的四个焦点共圆; (3)它们的离心率的倒数的平方 和等于1 第1讲　描述运动的基本概念 4.双曲线 - =1(a>0,b>0)的焦点(±c,0)到渐近线y=± x的距离d= =b. 关键点拨    对于共轭双曲线,设它们的实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为a1,b1,c1和a2,b2,c2,离心率分 别为e1,e2,则由定义知a1=b2,a2=b1. ①因为 = + , = + ,所以 = ,所以原点O到四个焦点的距离相等,即四个焦点在以O为圆心,c1(或 c2)为半径的圆上. ② + = + = + = =1. 第1讲　描述运动的基本概念 1.求双曲线离心率的方法 (1)公式法:直接求出a,c的值或找出a,b,c中任意两个的关系式,代入公式e= = 计算. (2)构造法:根据已知条件,结合c2=a2+b2,构造关于a,c的方程,然后两边同时除以a的最高次幂,将其转化为 关于e的关系式,再结合e>1得出结果. (3)特例法:通过特殊值或特殊位置求解. 2.求双曲线离心率的取值范围 　　利用题设中的条件,结合c2=a2+b2,构造关于a,c的齐次不等式,然后两边同时除以a的最高次幂,将其 转化为关于e的关系式,再结合e>1确定离心率的范围.解题时注意利用图形中的隐含关系(如三角形中 的边角关系,曲线上的点到焦点的距离的范围等). 第1讲　描述运动的基本概念 3.双曲线的渐近线及其与离心率的关联 (1)双曲线的渐近线方程:求解的关键是求出a,b的值或者得到a,b的比值,再代入双曲线的渐近线方程即 可,求解时要注意双曲线焦点的位置.当已知双曲线方程求其渐近线方程时,可以把双曲线方程中等号 右侧的“1”用“0”替换,得到的两条直线方程即为所求,如求双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线方程 时,可令 - =0,即得渐近线方程为 ± =0. (2)渐近线的斜率与离心率的代数关系:双曲线的离心率与c,a的比值有关,渐近线的斜率与b,a的比值有 关,解题时可借助c2=a2+b2实现离心率与渐近线的斜率之间的转化.如对于双曲线 - =1(a>0,b>0),其 渐近线的斜率为± ,则由离心率e= ⇒c2=e2·a2=a2+b2⇒e2=1+ ,可得e= , =± . 第1讲　描述运动的基本概念 4.与双曲线离心率有关的结论 (1)焦点三角形PF1F2中,设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则e= (α≠β). (2)设斜率为k的直线l与双曲线的某支交于A,B两点,A在B的上方,且该直线分焦点弦上、下两段的长度 的比值为λ,则双曲线的离心率e满足:e=   .详细推导可参考P379【核 心精讲】. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 题目条件的常见形式及求解方向: 1.若已知焦点三角形中某个角的大小或某条边的长,则可以考虑结合正、余弦定理求其他量. 2.若已知焦点三角形为直角三角形或两条焦点弦平行,则可以考虑结合双曲线的中心对称性将其补形 成平行四边形来解题. 3.若双曲线上某三点构成的三角形有一条边过双曲线的焦点,则可以考虑将三角形进行拆补,用邻补角 的余弦值的和为零来得到等式. 4.已知点在双曲线上,则可将点的坐标代入双曲线方程,结合c2=a2+b2转化为关于e的关系式. 5.已知渐近线的斜率、夹角等,可由渐近线斜率k=±  ,结合k的已知值,代入e= 求解. 第1讲　描述运动的基本概念 6.已知焦点到渐近线的距离,可利用焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b,再结合其他条件进行转化. 7.已知双曲线上一点到焦点的距离,可利用焦半径的取值范围建立不等关系. 8.已知椭圆与双曲线共焦点F1,F2,P为它们的一个交点,且∠F1PF2=2θ,椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2, 则 + =1,可以应用此结论知一求一. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)如图,已知双曲线C: - =1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是C上位于第一象限的一点,且 直线F2M与y轴的正半轴交于点A,△AMF1的内切圆与边MF1的切点为N,若|MN|=1,则双曲线C的离心率 为 ( )   A. 　　　    B. 　　　    C.2　　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 (2)已知F1,F2分别是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B 两点,若△ABF1是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是 ( ) A.( +1,+∞)　　　    B.(1- ,1+ )　　　     C.(1,1+ )　　　     D.( ,+∞)     C     思路点拨    (1)利用圆的切线长相等,结合双曲线的定义、对称性,寻找线段长度间的关系,求出a即可. (2)由条件得角度关系,转化为不等关系进行求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设△AMF1的内切圆与边AF1,AM的切点分别为E,G,则|AE|=|AG|,|EF1|=|F1N|,|MN|=|MG|,又|MF1|-| MF2|=2a,∴|EF1|+|MN|-|MF2|=2a, 由A为y轴上一点及双曲线的对称性可知|AF1|=|AF2|,则|EF1|=|GF2|=|MG|+|MF2|=|MN|+|MF2|, (关键点:利用双曲线的定义和对称性进行转化) ∴|EF1|+|MN|-|MF2|=|MN|+|MF2|+|MN|-|MF2|=2|MN|=2a, ∴|MN|=a,即a=1, 则双曲线C的方程为x2-y2=1, ∴其离心率为 . (2)由题知∠F1AB=∠F1BA,则∠F1AB,∠F1BA均为锐角, ∵△ABF1是锐角三角形,∴∠AF1B为锐角,则∠AF1F2<45°, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴tan∠AF1F2= <1. 由题得|AF2|= ,  点拨:把x=c代入双曲线方程可得y=±   ∴ = <1,即c2-a2<2ac, 因此e2-2e-1<0,解得1- <e<1+ , 又e>1,∴1<e<1+ . 名师点津　求解双曲线的离心率问题时要特别注意双曲线的几何特点,利用其特点来寻求不等关系以 简化运算,通常从图形的对称关系,三角形中的勾股定理、角度关系、面积关系等方面来思考. 第1讲　描述运动的基本概念 $