第2章 01 椭圆标准方程的求解（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦椭圆标准方程的求解，从椭圆定义的三个要点切入，衔接圆的轨迹知识，通过表格对比焦点在x轴与y轴的标准方程及几何性质，搭建从定义到方程再到性质应用的学习支架。 其亮点在于分解定义要点强化理解，表格化呈现性质便于对比，结合定义法、待定系数法等多种求解方法及典例解析，培养学生数学眼光（抽象定义本质）、数学思维（逻辑推理运算）和数学语言（符号表达方程）。助力学生系统掌握知识，教师教学更具针对性。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 01　椭圆标准方程的求解 重难点 第1讲　描述运动的基本概念 1.椭圆的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点,两焦点间的距离|F1F2|叫作椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距. 椭圆定义的三个要点: (1)F1,F2是平面内的两个定点. (2)设动点为M,则|MF1|+|MF2|=2a为定值. (3)定值2a>|F1F2|. 第1讲　描述运动的基本概念 2.椭圆的标准方程与简单几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程  + =1(a>b>0)  + =1(a>b>0) 图形     焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 顶点 (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0) 范围 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a 第1讲　描述运动的基本概念 对称性 关于x轴、y轴对称,关于原点中心对称 焦距 |F1F2|=2c 长轴 长轴为线段A1A2,且|A1A2|=2a,其中a为长半轴长 短轴 短轴为线段B1B2,且|B1B2|=2b,其中b为短半轴长 a,b,c的关系 a2=b2+c2 离心率 e= (0<e<1) 特别提醒    当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,点M的轨迹不存在. 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展     1.椭圆的第二定义:平面内到定点F的距离与到定直线l(定点F不在定直线l上)的距离的比值为常数e(0< e<1)的点的轨迹叫作椭圆,其中定点F叫作椭圆的焦点,定直线l叫作椭圆的准线,常数e叫作椭圆的离心 率.其中焦点F与准线l的对应关系如表所示: 焦点F 准线l (c,0) x=  (-c,0) x=-  (0,c) y=  (0,-c) y=-  2.与两定点A1(-a,0),A2(a,0)连线的斜率之积为- (a>b>0)或e2-1(0<e<1)的点的轨迹为椭圆(不含A1,A2两点). 第1讲　描述运动的基本概念 1.求椭圆的标准方程 (1)定义法.根据椭圆的定义确定长半轴长a、短半轴长b的值,结合焦点位置写出椭圆的标准方程. (2)待定系数法.一般步骤如下: ①定位置:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是都有可能. ②设方程:根据焦点的位置,设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0)或 + =1(a>b>0),当焦点的位置不 确定时,可设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). ③找关系:根据已知条件建立关于a,b或m,n的方程组. ④得方程:解方程组,将解代入所设方程,从而得出标准方程. 第1讲　描述运动的基本概念 2.利用椭圆的性质求标准方程 (1)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程可设为 + =k1(k1>0,a>b>0)或 + =k2(k2>0, a>b>0). (2)与椭圆 + =1(a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程可设为 + =1(k<b2<a2). 第1讲　描述运动的基本概念 3.求与椭圆有关的动点的轨迹方程 (1)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足椭圆的定义,那么可根据题目中的条件确定a,b的值,结合焦点 位置写出椭圆的标准方程. (2)直接法:当已知的几何条件不符合特殊曲线的定义时,可直接根据题目所给条件进行列式、化简、 整理,得到方程. (3)相关点法(代入法):若所求动点M的轨迹是由已知曲线上的动点P按照某种规律运动形成的,则可按 以下步骤解题: ①建立动点M的坐标与动点P的坐标满足的关系式,通常用M的坐标表示P的坐标; ②因为动点P的坐标适合已知曲线的方程,所以可将①中关系式代入已知曲线的方程,化简可得所求的 轨迹方程. (4)参数法:若所求动点M的轨迹是由某个变量t所确定的,则可按以下步骤解题: 第1讲　描述运动的基本概念 ①建立动点M的坐标(x,y)与参数t的函数关系式  ②消去参数可得所求的轨迹方程. 深度剖析 椭圆标准方程的特征: 1.椭圆标准方程的形式:等号的左边是“平方”+“平方”,右边是1. 2.椭圆的标准方程中,若x2项的分母比y2项的分母大,则焦点在x轴上;若y2项的分母比x2项的分母大,则焦 点在y轴上,可巧记为“焦点位置看分母大小,焦点跟着大的跑”. 3.方程 + =1(a>b>0)与 + =1(a>b>0)所表示的椭圆的大小、形状都相同,只是焦点的位置不同 (即图形的位置不同). 第1讲　描述运动的基本概念 特别提醒 只有以椭圆的中心为原点,两焦点所连直线为x或y轴建立平面直角坐标系时,得到的椭圆方程才是标准 方程. 勘破疑难 1.求椭圆方程时,优先用定义法,确定“与两定点间的距离之和为大于两定点间距离的常数”“到定点 与到定直线的距离的比值为大于0且小于1的常数”,则直接联想到椭圆,避免复杂的计算. 2.化简方程时,要避免产生增根,等价变形. 3.注意去掉不符合题意的点. 4.相关点法的“范围传递”:相关点在已知曲线上,其范围必须传递给要求的动点. 第1讲　描述运动的基本概念 典例    (1)求过点A(2,0)且与圆B:x2+4x+y2-32=0内切的圆M的圆心的轨迹方程; (2)已知P为椭圆 + =1上一动点,记原点为O,若 =2 ,求点Q的轨迹方程; (3)已知△ABC的两个顶点分别是B(0,6)和C(0,-6),边AB,AC所在直线的斜率的乘积是- ,求顶点A的轨迹 方程. 思路点拨    (1)画出图形,得到线段间的数量关系,然后结合椭圆的定义求解.(2)与动点Q相关的点P所在 的曲线方程已知,利用相关点法求轨迹方程.(3)将已知条件转化为代数运算,直接列式求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)将圆B的方程化成标准形式,为(x+2)2+y2=36,则圆心B的坐标为(-2,0),圆B的半径为6. 易知点A(2,0)在圆B:x2+4x+y2-32=0的内部. 设M(x,y),圆M与圆B相切于点C. 因为圆M与圆B内切,  所以|BC|-|CM|=|BM|. 因为|BC|=6, 所以|BM|+|CM|=6. 又|CM|=|AM|, 第1讲　描述运动的基本概念 所以|BM|+|AM|=6>|AB|=4. 所以根据椭圆的定义知点M的轨迹是以B(-2,0)和A(2,0)为焦点,线段AB的中点(原点O)为中心的椭圆,且 2a=6,则c=2,a2=9,b2=a2-c2=5, 所以圆心M的轨迹方程为 + =1. (2)设点Q(x,y),P(x1,y1),由 =2 得  又点P(x1,y1)为椭圆 + =1上的动点, 所以 + =1,整理得 + =1, 所以点Q的轨迹方程是 + =1. (3)设顶点A的坐标为(x,y)(x≠0), 第1讲　描述运动的基本概念 依题意得kAB·kAC=- , 又kAB= ,kAC= ,所以 · =- ,化简可得顶点A的轨迹方程为 + =1(x≠0). 技巧点拨　根据题意分析动点变化遵循的条件,先根据条件的特点选择求轨迹方程的方法,然后按对应 步骤求轨迹方程.解题时注意检验是否有要剔除的点. 第1讲　描述运动的基本概念 $