01-§1 02-1.2 椭圆的简单几何性质（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦椭圆的简单几何性质，涵盖方程、几何量关系、离心率等核心知识点，通过基础题组（由方程研究性质）导入，逐步过渡到离心率计算、综合应用（如圆柱截面、鸟巢模型），构建递进式学习支架衔接前后知识。 其亮点在于题组分类清晰，结合高考真题与创新题型（如相似椭圆定义），注重规律总结（焦比定理、通径）。通过实际情境题培养数学眼光，离心率推导训练数学思维，极线等概念发展数学语言，助力学生提升解题能力，教师可高效开展教学。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §1　椭圆 1.2　椭圆的简单几何性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　由椭圆方程研究其简单几何性质 1.[多选题][2026浙江台州十校联盟期中联考]已知椭圆C: + =1,则 ( ) A.椭圆C的长轴长为10 B.椭圆C的一个顶点为(0,5) C.椭圆C的焦距为8 D.椭圆C的离心率为      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析    由题意可得a=5,b=3,c= =4. 对于A,长轴长为2a=10,故A正确; 对于B,顶点为(0,±3)或(±5,0),故B错误; 对于C,焦距为2c=8,故C正确; 对于D,离心率e= = ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河北承德实验中学期中]在椭圆C1: + =1与椭圆C2: + =1中,下列结论正确的是( ) A.长轴长相等　　    B.短轴长相等 C.焦距相等　　    D.离心率相等          C 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设椭圆C1的长半轴长为a1,短半轴长为b1,半焦距为c1, ∴a1=2,b1= ,c1= =1, ∴椭圆C1的长轴长2a1=4,短轴长2b1=2 ,焦距2c1=2,离心率e1= = ; 设椭圆C2的长半轴长为a2,短半轴长为b2,半焦距为c2, ∴a2= ,b2= , c2= =1, ∴椭圆C2的长轴长2a2=2 ,短轴长2b2=2 ,焦距2c2=2,离心率e2= = , ∴两个椭圆的焦距相等. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江西上饶德兴第六高级中学期中]如图所示,一个底面半径为 的圆柱被与其底面的夹角为45 °的平面所截,截面是一个椭圆,则下列结论错误的是 ( )   A.椭圆的长轴长为4 B.椭圆的离心率为  C.椭圆的方程可以为 + =1 D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c, 由题图可得2acos 45°=2 , ∴a=2,又b= ,c2=a2-b2, ∴c= ,故椭圆的方程可以为 + =1或 + =1, 所以椭圆的长轴长为4,离心率为 ,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c=2- ,故A,C,D中结论正 确,B中结论错误. 规律总结　椭圆上到焦点的距离最大和最小的点是长轴的两个端点,距离的最大值为a+c,距离的最小 值为a-c(a为长半轴长,c为半焦距). 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026上海中学阶段练习]已知点A(3,0),椭圆B: + =1(a>0)的右焦点为F,若线段AF的中点C恰好在 椭圆B上,则椭圆B的长轴长为_________.     4     解析　由题意知A(3,0),F( ,0), 因为点C是AF的中点, 所以C . 因为点C在椭圆B上, 所以 =1, 化简得2 =a-2,两边平方得4a-12=a2-4a+4,解得a=4(二重根). 所以椭圆B的长轴长为2 =4. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　椭圆的离心率 5.[2026湖南永州期末]已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆E上位于第一 象限的一点,若|PF1|=3|PF2|,|OP|=|OF2|(O为坐标原点),则椭圆E的离心率为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     解析　如图, 由|OP|=|OF2|,|OF1|=|OF2|得∠PF1F2=∠F1PO,∠OPF2=∠OF2P,又∠PF1F2+∠F1PO+∠OPF2+∠OF2P=π, 所以∠F1PO+∠OPF2= ,可得△PF1F2为直角三角形,由|PF1|=3|PF2|,|PF1|+|PF2|=2a, 得|PF1|= ,|PF2|= ,由勾股定理得 + =4c2, 即 = ,∴e= = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026云南昭通第一中学开学考试]已知F1,F2是椭圆的左、右焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|= |PF2|,则 该椭圆离心率的取值范围是 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a, 又|PF1|= |PF2|, 故|PF1|= ,|PF2|= , 由|PF1|-|PF2|= ≤2c, 得e= ≥ , 又0<e<1,所以e∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西南昌期中]国家体育场(鸟巢)位于北京奥林匹克公园中心区南部,为2008年北京奥运会的 主体育场,也是2022年北京冬奥会开幕式、闭幕式举办地.某近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看 成两个大小不同、扁平程度相同的椭圆,已知小椭圆的短轴长为8 cm,长轴长为16 cm,大椭圆的短轴长 为16 cm,则大椭圆的长轴长为 ( )   A.32 cm　　    B.64 cm　　    C.16  cm　　    D.32  cm     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设小椭圆的短轴长为2b1 cm,长轴长为2a1 cm,大椭圆的短轴长为2b2 cm,长轴长为2a2 cm, 所以2b1=8,2a1=16,解得b1=4,a1=8, 则c1= =4 , 所以小椭圆的离心率e1= = , 依题意可知大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率,所以 = , 又2b2=16, = + ,所以a2=16, 所以大椭圆的长轴长为32 cm. 规律总结　椭圆的离心率e决定着椭圆的扁平程度,e越大,椭圆越扁,e越小,椭圆越圆. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2025江西新余第十六中学月考]已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2且|F1 F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,则C的离心率可以是 ( ) A.0.3　　    B.0.6　　     C.0.9　　    D.0.95     AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为|F1F2|=2c=2,所以c=1,则a>1, 因为点P(1,1)在椭圆内部, 所以 + <1,则a2+b2<a2b2, 即a2+(a2-1)<a2(a2-1), 即a4-3a2+1>0, 令t=a2,t>1,则t2-3t+1>0, 所以t> ,即a2> ,所以a> , 所以e= = ∈ , 即e∈ ,结合选项知A,B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[教材习题改编][易错题]已知椭圆 + =1的离心率为 ,则实数m=___________.      或      解析　由椭圆 + =1, 得-1<m<2,且m≠ , 当焦点在x轴上时,2-m>m+1>0, 即-1<m< , 此时e= = , 所以m= ; 当焦点在y轴上时,m+1>2-m>0,即 <m<2, 第1讲　描述运动的基本概念 此时e= = ,所以m= , 所以m= 或m= . 易错警示　若椭圆的标准方程含参,要先判断焦点的位置,若无法判断,则分焦点在x轴上和y轴上两种情 况讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江西鹰潭第一中学月考]已知A为椭圆 + =1(a>b>0)上一点,它关于原点的对称点为B,点F 为椭圆的右焦点,且以AB为直径的圆过F,当∠ABF= 时,该椭圆的离心率是___________.      -1     解析　以AB为直径的圆过F,且点F为椭圆的右焦点, ∴∠AFB=90°,且|AB|=2c, ∵∠ABF= , ∴|AF|=c,|BF|= c, 设椭圆的左焦点为E,连接AE,由椭圆的对称性可得|AE|=|BF|, 由椭圆的定义得|AE|+|AF|=|AF|+|BF|=2a,∴c+ c=2a, 即 = = -1,所以e= -1.   第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025江苏南通启东中学月考]如图,A,B都是椭圆C: + =1(a>b>0)的顶点,C上一点P满足OP∥AB (O为坐标原点),过点P向x轴引垂线,垂足恰为焦点F. (1)求C的离心率; (2)若△PAB的面积比△POA的面积大 ,求C的方程.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知O(0,0),A(a,0),B(0,b),F(-c,0),P , 因为AB∥OP,所以kAB=kOP, 即 = ,即b=c, 所以a= = c, 故离心率e= = . (2)由AB∥OP可得△PAB的面积与△OAB的面积相等, 即△PAB的面积为 ab= × c×c= , 又△POA的面积为 a× = b2= c2,且△PAB的面积比△POA的面积大 , 第1讲　描述运动的基本概念 所以 - = , 即c2= = +1, 因此a2=2 +2,b2= +1, 故C的方程为 + =1. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　椭圆简单几何性质的综合应用 12.[2026湖北武汉华中师范大学第一附属中学期中]已知A(-1,0),B(1,0),P是椭圆 +y2=1上一点,若△ ABP为直角三角形,则满足条件的点P的个数为 ( ) A.2　　    B.4　　    C.6　　    D.8     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由椭圆方程知长半轴长a= ,短半轴长b=1,半焦距c= =1, 则点A,B分别为该椭圆的左、右焦点, 当A或B是Rt△ABP的直角顶点时,直线AP:x=-1或直线BP:x=1, 此时符合条件的点P有4个; 当点P为Rt△ABP的直角顶点时,|PO|= |AB|=c=1=b(O为坐标原点), 此时以原点O为圆心,1为半径的圆与椭圆有两个交点,即短轴的两个端点,故点P有2个. 综上,满足条件的点P有6个. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[多选题][2026江西赣州第三中学月考]已知点A(-1,1),F1(-1,0),F2(1,0),若动点P(x,y)满足 +  =4,则( ) A.|PA|+|PF2|<5 B.点P的轨迹方程为 + =1 C.|PA|+|PF1|>1 D.存在2个点P,使得△PAF1的面积为1     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由 + =4, 得|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|=2, 所以点P的轨迹为以F1,F2分别为左、右焦点的椭圆,且2c=2,2a=4, 即c=1,a=2,则b= = , 故点P的轨迹方程为 + =1,故B正确; 将(-1,1)代入椭圆方程的左边,得 + <1, 所以点A(-1,1)在椭圆内部,如图所示,   第1讲　描述运动的基本概念 连接AF1并延长,交椭圆于P1,连接F2A并延长,交椭圆于P2, 则|PA|+|PF2|=|PA|+2a-|PF1|≤2a+|AF1|=4+1=5,当且仅当点P运动到点P1处时,等号成立,故A错误; |PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=4+|PA|-|PF2|,因为||PA|-|PF2||≤|AF2|, 所以- ≤|PA|-|PF2|≤ , 所以|PA|+|PF1|=4+|PA|-|PF2|≥4- >1,当且仅当点P运动到点P2处时等号成立,故C正确; 易知 = |AF1|h= ×1×h= ,其中h为点P到直线AF1的距离, 若 = =1,则h=2, 当点P为椭圆的右顶点时,h取得最大值3,当点P为椭圆的左顶点时,h的值为1,结合椭圆的对称性,可知满 足条件的点P有两个,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026福建泉州南安检测]已知椭圆C: + =1(0<b2<8,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 , 过F2的直线与椭圆交于A,B两点,点O为坐标原点,点P在椭圆C上,且OP⊥AB,求 的取值范围. 解析　因为a2=8,e= = , 所以c2=4,b2=4, 当AB⊥x轴时,|AB|= =2 ,|OP|=a=2 , 此时 =2 ; 当AB为长轴时,|AB|=2a=4 ,|OP|=b=2, 此时 = ,所以 的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 二级结论　　　过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆 + =1(a>b>0)所截得的线段叫作椭圆的通径,其 长度为 ,它是所有过焦点的弦中长度最小的. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025江西南昌师大附中期中]给定椭圆C: + =1(a>b>0),称原点O是圆心,半径是 的圆为 椭圆C的准圆.已知椭圆C的一个焦点为F( ,0),其短轴的一个端点到点F的距离为 . (1)求椭圆C和其准圆的方程; (2)若A,B是C的准圆与x轴的两个交点,P是C上的一个动点,求 · 的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题知c= , 且a= = ,得b=1, 故椭圆C的方程为 +y2=1, 其准圆方程为x2+y2=4. (2)设P(m,n)(- ≤m≤ ), 则 +n2=1, 不妨设A(2,0),B(-2,0), 所以 =(m-2,n), =(m+2,n), 所以 · =m2-4+n2=m2-4+1- = -3,又- ≤m≤ , 所以 -3∈[-3,-1],所以 · 的取值范围是[-3,-1]. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §1　椭圆 1.2　椭圆的简单几何性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　椭圆的离心率 1.[2026河南南阳六校联考]已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A,B在该椭圆上, 四边形AF1F2B是等腰梯形,且|AF1|=|F1F2|,∠AF2B= ,则C的离心率为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　不妨设A在第二象限内,B在第一象限内,设椭圆C的半焦距为c,依题意知AB∥F1F2,∴∠BAF2=∠ AF2F1, ∵|AF1|=|F1F2|,∴∠AF2F1=∠F1AF2, 设∠BAF2=∠AF2F1=∠F1AF2=θ, ∵四边形AF1F2B为等腰梯形, ∴∠AF1F2=∠BF2F1, 即π-2θ=θ+ ,∴θ= , 由椭圆定义知|AF2|=2a-2c, ∴cos∠F1AF2= = =cos = ,∴e= = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025广东梅州期中]小明同学发现,在某时刻阳光的照射下,篮球在地面上留下的影子如图所示,设篮 球的球心为O,球心O在地面上的影子为点O',过篮球的球心O且与太阳平行光线垂直的平面为α,地面所 在平面为β,篮球与地面的切点为H.已知太阳平行光线与地面的夹角为θ,AB为球O的一条直径,A',B'分别 为A,B在地面上的影子,点H在线段A'B'上.小明同学经过研究资料发现,当θ≠ 时,篮球的影子为一个椭 圆,且点H为椭圆的一个焦点,线段A'B'为椭圆的长轴,则该椭圆的离心率为(用θ表示)( )   A.cos θ　　    B.sin θ　　    C.cos2θ　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设篮球的半径为R,显然平面ABB'A'⊥平面β,连接OH,OB',则OH⊥平面β, 过B'作B'C∥AB交AA'于点C,则B'C⊥AA',|B'C|=|AB|=2R, 则椭圆的长轴长为2a=|A'B'|= = , 由题图可知∠B'OH= ∠BOH= , 且0<θ< , 则a-c=|B'H|=Rtan  = = = =a(1-cos θ), 所以 =cos θ,即该椭圆的离心率为cos θ. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏南京外国语学校月考]已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C 上不与左、右顶点重合的动点,设I,G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运 动而变化时,椭圆C的离心率为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 或 　　    D. 或      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当P在上顶点(或下顶点)处时,I和G均在y轴上,此时直线IG的倾斜角为 , 若直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化,则直线IG的倾斜角恒为 . 当P不为上、下顶点时, 设P(x0,y0),不妨取y0>0, 易知F1(-c,0),F2(c,0),G , 故xI= ,设内切圆半径为r, 则 ×2c×y0= r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|), 即cy0=r(a+c),则r= ,故yI= , 设PF1和PF2与内切圆分别相切于D和E,连接DI,EI,PI, 第1讲　描述运动的基本概念 则|PD|=|PE|= (2a-2c)=a-c, 在△PDI中,|PD|2+|DI|2=|PI|2, 即(a-c)2+ = + , 整理得 + =1, 故 (a-c)2=a2, 即a= (a-c), 故e= = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026湖北武汉重点中学期中联考]从椭圆C: + =1(a>b>0)外一点P(x0,y0)向椭圆引两条切线,切点 分别为A,B,则称直线AB为点P关于椭圆C的极线,其方程为 + =1.现有如图所示的两个椭圆C1,C2, 离心率分别为e1,e2,C2内含于C1,椭圆C1上的任意一点M关于C2的极线为l,若原点O到直线l的距离为1,则  - 的最大值为 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设M(x0,y0),椭圆C1的方程为 + =1(a1>b1>0),椭圆C2的方程为 + =1(a2>b2>0), 则有 + =1①, 由极线的定义得直线l的方程为 + =1, 所以原点O到直线l的距离d= =1, 化简得 + =1②, 由①②得 = , = , 故 =1- =1- =  = (2- ), 第1讲　描述运动的基本概念 所以 - = (1- )≤ = = , 当且仅当 =1- ,即e2= 时取等号, 此时e1= , 故 - 的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026江西多校联考]已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,直线 AF2与C的另一个交点为B,则下列结论正确的是 ( ) A.若|AF2|=2|BF2|,则C的离心率为  B.若|BF1|=3|BF2|,则C的离心率为  C.若|AB|=|BF1|,则C的离心率为  D.若AF1⊥BF1,则C的离心率为      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由椭圆C的方程可得F1(-c,0),F2(c,0),且A(0,b),则|AF1|=|AF2|=a. 对于A,若|AF2|=2|BF2|,则|BF2|= , 由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=2a, 所以|BF1|=2a-|BF2|= , 在△ABF1中,由余弦定理得cos∠ABF1= = , 在△BF1F2中,由余弦定理得cos∠F1BF2=  = = , 因为cos∠ABF1=cos∠F1BF2, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 = ,整理得 = , 所以椭圆的离心率e= = ,故A正确; 对于B,因为|BF1|=3|BF2|,|BF1|+|BF2|=2a, 所以|BF1|= ,|BF2|= , 即|AF2|=2|BF2|, 同A可知,椭圆的离心率e= = ,故B正确; 对于C,由|AB|=|BF1|,结合椭圆的定义得|BF1|=2a-|BF2|, 又|AB|=|AF2|+|BF2|=a+|BF2|, 第1讲　描述运动的基本概念 所以a+|BF2|=2a-|BF2|, 可得|BF2|= ,即|AF2|=2|BF2|, 同A可知,椭圆的离心率e= = ,故C错误; 对于D,设|BF2|=n,则|BF1|=2a-n, 由勾股定理得|AB|2=|AF1|2+|BF1|2, 即(a+n)2=a2+(2a-n)2, 解得a= 或a=0(舍去),故n= ,所以|BF2|= ,|BF1|= ,由A(0,b),F2(c,0),且A,F2,B三点共线,可得B , 代入椭圆C的方程,可得 + =1,整理得 = , 所以椭圆C的离心率e= = ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 二级结论 焦比定理 　　设椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F,过F的直线l与椭圆相交于A,B两点,直线l的倾斜角为θ,且  =λ (λ>0),则e,θ,λ满足|ecos θ|= . 　　对于本题易得 =- , 　　由焦比定理得e= ·  = ·  第1讲　描述运动的基本概念 = ·  = · = · , 　　所以e2= . 　　对于A,易知 =2 ,所以λ=2, 　　所以e2= ,故e= = ,故A正确; 　　对于B,由|BF1|=3|BF2|,|BF1|+|BF2|=2a, 　　可得4|BF2|=2a,所以|BF2|= , 　　又|AF2|=a,所以|AF2|=2|BF2|, 　　所以 =2 ,即λ=2, 第1讲　描述运动的基本概念 　　所以e2= ,故e= = ,故B正确; 　　对于C,同题中解法知|BF2|= , 　　所以|AF2|=2|BF2|, 　　所以 =2 ,即λ=2, 　　所以e2= ,故e= = ,故C错误. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　椭圆几何性质的综合应用 6.[2026河南南阳阶段考试]已知F1,F2为椭圆C的两个焦点,若椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=120°,则椭 圆C的方程可以是 ( ) A. + =1　　    B. + =1 C. + =1　　    D. + =1     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　不妨设椭圆C的焦点在x轴上,其方程为 + =1(a>b>0),B为椭圆C上一点, 设|BF1|=m,|BF2|=n,则m+n=2a①, 在△F1BF2中,由余弦定理得|F1F2|2=m2+n2-2mncos∠F1BF2=(m+n)2-2mncos∠F1BF2-2mn,又|F1F2|=2c, 所以4c2=4a2-2mncos∠F1BF2-2mn, 整理得cos∠F1BF2= -1, 又∠F1BF2∈(0,π),mn≤ =a2,当且仅当m=n=a时取等号, 所以当m=n=a时,cos∠F1BF2取到最小值,此时∠F1BF2最大,B为椭圆的上顶点或下顶点,不妨设B为椭圆C 的上顶点,因为椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=120°,则∠F1BF2≥120°, 所以∠F1BO≥60°(O为坐标原点), 第1讲　描述运动的基本概念 所以sin∠F1BO= ≥sin 60°= , 即3a2≤4c2,得3a2≤4a2-4b2,则a2≥4b2. 椭圆C的焦点在y轴上时,也可得a2≥4b2, 对于A,25<4×9;对于B,25>4×6;对于C,9<4×4;对于D,16<4×9,故B正确. 二级结论　　    F1,F2为椭圆C的两个焦点,P为椭圆上任意一点,若焦点在x轴上,当P为上、下顶点时, ∠F1PF2最大;若焦点在y轴上,当P为左、右顶点时,∠F1PF2最大. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025江西上饶新实中学月考]设椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别 为F1,F2,上、下顶点分别为B1,B2.关于该椭圆,有下列四个命题: 甲:|A1F1|=1;乙:△B1F1F2的周长为8; 丙:离心率为 ;丁:四边形A1B1F2B2的面积为3 . 如果只有一个假命题,则该命题是 ( ) A.甲　　    B.乙　　    C.丙　　    D.丁     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　若甲为真命题,则|A1F1|=a-c=1; 若乙为真命题,则△B1F1F2的周长为2a+2c=8,即a+c=4; 若丙为真命题,则离心率e= = ; 若丁为真命题,则四边形A1B1F2B2的面积为(a+c)b=3 . 若甲、乙都为真命题,则  解得  则b= = =2, 第1讲　描述运动的基本概念 此时 = ≠ ,(a+c)b=4×2=8≠3 , 即丙和丁都是假命题, 所以甲、乙不可能同时为真命题,且必有一真一假,故丙和丁都为真命题. 若甲、丙和丁为真命题, 则 解得  此时满足a2=b2+c2,a>b,a>c,且a+c=3≠4,符合题意; 若乙、丙和丁为真命题, 第1讲　描述运动的基本概念 则 解得  此时a2≠b2+c2,即乙、丙和丁不能同时为真命题,假设不成立. 综上,乙为假命题. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2026江苏南京金陵中学月考]椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭 圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C: +y2=1,其左、右焦点分别是F1,F2,P为椭圆C上 任意一点,直线l与椭圆C相切于点P,过点P与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M,∠F1PM=∠F2PM,点Q (0, ),给出下列四个结论,其中正确的是 ( ) A.△PF1F2面积的最大值为  B.|PQ|+|PF2|的最大值为8     ACD     C.若|PM|=|F2M|,则|F1P|=3|F2P| D.若F2R⊥l,垂足为R(x0,y0),则 + =4 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由椭圆方程可知a=2,b=1,c= = . 对于A,当点P为短轴端点时,△PF1F2的面积最大,为 ×2 ×1= ,故A正确; 对于B,因为|PF1|+|PF2|=2a=4, 所以|PF2|=4-|PF1|, 则|PQ|+|PF2|=4+|PQ|-|PF1|≤4+|F1Q|=4+ =7, 当且仅当P为射线QF1与椭圆的交点时取等号, 所以|PQ|+|PF2|的最大值为7,故B错误; 对于C,由题意得PM平分∠F1PF2, 则 = = , 设 = =k, 第1讲　描述运动的基本概念 则|F1P|=k|F2P|,|F1M|=k|F2M|, 可得|F2M|= ,|F1M|= ,|F1P|= ,|F2P|= , 由∠F1PM=∠F2PM, 可得cos∠F1PM=cos∠F2PM, 所以  = , 整理得k2-4k+3=0,解得k=1或k=3, 第1讲　描述运动的基本概念 当k=1时, = =1,M与原点O重合,不合题意, 所以k=3,即|F1P|=3|F2P|,故C正确; 对于D,如图,延长F2R,F1P交于点G,   在△PF2G中,PR⊥GF2,∠F2PR=∠GPR,则|F2P|=|PG|,R为F2G的中点,连接OR, 易得在△F1F2G中,|OR|= |F1G|= (|F1P|+|PG|)= (|F1P|+|F2P|)=a=2, 所以点R在以原点为圆心,2为半径的圆上,即 + =4,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026湖北孝感安陆第一高级中学期中] 已知A(-4,0),B(4,0),直线AP,BP相交于点P(x,y),且它们的斜率之积是- ,则代数式|3x-4y-24|的最大值为 ______________.     12 +24     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得kAP= ,kBP= (x≠±4), 则 · =- , 整理得 + =1(x≠±4), 令x=4cos θ,y=3sin θ,θ≠kπ,k∈Z, 则|3x-4y-24|=|12cos θ-12sin θ-24|= ≤12 +24, 当且仅当θ+ =(2k+1)π,k∈Z, 即θ= +2kπ,k∈Z时取等号, 即代数式|3x-4y-24|的最大值为12 +24. 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　椭圆的第三定义:平面内与两定点A(-a,0),A2(a,0)的斜率之积等于常数- 的点的轨迹为椭圆 (不含两定点),该椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,故本题可由题意直接得出点P的轨迹方程为 + =1 (x≠±4). 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025广东佛山H7教育共同体联考]已知P是椭圆C: + =1(a>b>0)上的一点,F1,F2分别为C的左、 右焦点,若PF1⊥PF2,|PF1|=3|PF2|,∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q ,则C的长轴长为_________.           第1讲　描述运动的基本概念 解析　在△PF1F2中,因为PF1⊥PF2, 所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, 又|PF1|=3|PF2|,所以10|PF2|2=4c2, 解得|PF2|= c(舍负), 所以|PF1|=3|PF2|= c. 在△PF1Q中,由正弦定理得 = ,即 = , 在△PF2Q中,由正弦定理得 = ,即 = , 因为∠F1PF2的平分线与x轴交于点Q ,所以∠F1PQ=∠F2PQ, 所以sin∠F1PQ=sin∠F2PQ, 第1讲　描述运动的基本概念 因为∠PQF1+∠PQF2=π, 所以sin∠PQF1=sin∠PQF2, 所以 = ,即 = , 解得c=1或c=0(舍去), 所以2a=|PF1|+|PF2|= c= , 即C的长轴长为 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　利用相似椭圆的定义考查椭圆的几何性质 11.[2026江西赣抚吉十二校联考]定义:由椭圆的一个焦点、长轴的一个端点(焦点与端点在同一侧)、 短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”,如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似,则 称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆C1: + =1(a>b>0), 椭圆C2: + =1(a'>b'>0),C1的离心率为e,C2的离心率为e',下列问题中,C1对应图1,C2对应图2.  　      第1讲　描述运动的基本概念 (1)判断椭圆C1: + =1与椭圆C2: + =1是不是“相似椭圆”,若是,求出相似比;若不是,请说明理 由; (2)证明:椭圆C1与C2是“相似椭圆”的充要条件是椭圆C1与C2的离心率相等; (3)已知C1与C2是“相似椭圆”,且C1与C2的相似比为k∶1,若△AF2B的面积为S,求△A'F'1F'2的面积(用e', k,S表示). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)这两个椭圆是“相似椭圆”,相似比为1∶2,理由如下: 椭圆C1: + =1中,|BF2|=2-1=1,|AF2|=2,|AB|= = ; 椭圆C2: + =1中,|B'F'2|=4-2=2,|A'F'2|=4,|A'B'|= =2 , 则 = = = , 所以这两个椭圆的“焦顶三角形”相似, 则这两个椭圆是“相似椭圆”,且相似比为1∶2. (2)证明:①充分性:若椭圆C1与C2的离心率相等,即 = , 则 = , = . tan∠ABO= = ,tan∠A'B'O'= = = , 第1讲　描述运动的基本概念 则∠ABO=∠A'B'O', 即∠ABF2=∠A'B'F'2, tan∠AF2O= = ,tan∠A'F'2O'= = = , 则∠AF2O=∠A'F'2O', 所以∠AF2B=∠A'F'2B', 所以C1与C2的“焦顶三角形”相似,所以C1与C2是“相似椭圆”. ②必要性:若椭圆C1与C2是“相似椭圆”,则它们对应的两个“焦顶三角形”的对应角相等. 若∠ABF2=∠A'B'F'2, 即∠ABO=∠A'B'O', 则tan∠ABO=tan∠A'B'O', 第1讲　描述运动的基本概念 又tan∠ABO= = ,tan∠A'B'O'= = ,所以 = , 因为e= = = = , e'= = = = = ,所以e=e'. 故椭圆C1与C2是“相似椭圆”的充要条件是椭圆C1与C2的离心率相等. (3)由题意及(2)可知e=e', 易得 = ·2c·b=bc,S= (a-c)b, 所以 ∶S=2c∶(a-c),所以 = .因为C1与C2的相似比为k∶1, 所以 ∶ =k2∶1,所以△A'F'1F'2的面积为 = = . 第1讲　描述运动的基本概念 $