第6章 08-高考真题练（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学概率单元复习课件系统整合了条件概率与全概率公式、离散型随机变量的均值与方差、二项分布与超几何分布、正态分布等核心内容，通过考点分类串联高考真题，构建“概念-公式-应用”的逻辑脉络，帮助学生形成完整的概率知识网络。 其亮点在于以高考真题为载体融入强基计划拓展题，通过“真题解析-方法对比-变式应用”的复习活动，如条件概率结合农业实践情境培养数学眼光，均值方差用两种解法训练数学思维，分层设计满足不同学生需求，有效提升知识巩固效果，为教师提供精准复习教学支持。

第六章 概率 第1讲　描述运动的基本概念 高考真题练 第1讲　描述运动的基本概念 考点1　条件概率与全概率公式 1.[2024上海,8]某校举办科学竞技比赛,有A,B,C 3种题库,A题库有5 000道题,B题库有4 000道题,C题库 有3 000道题.小申已完成所有题,他A题库的正确率是0.92,B题库的正确率是0.86,C题库的正确率是0.72. 现他从所有的题中随机选一题,正确率是_________. 解析　由题可知,A题库占比为 ,B题库占比为 ,C题库占比为 , 因此所求概率P= ×0.92+ ×0.86+ ×0.72= . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2024天津,13]某校组织学生参加农业实践活动,期间安排了劳动技能比赛,比赛共5个项目,分别为整 地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建,规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个 项目的可能性相同,则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为_________;已知乙同学参加的3个项目中有 “整地做畦”,则他还参加“田间灌溉”项目的概率为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　用M表示事件“甲同学参加的3个项目中有‘整地做畦’”, 则P(M)= = . 用A表示事件“乙同学参加的3个项目中有‘整地做畦’”,用B表示事件“乙同学参加的3个项目中有 ‘田间灌溉’”.依题意,P(AB)= = ,而P(A)= = , 所以已知乙同学参加的3个项目中有“‘整地做畦’”,则他还参加“‘田间灌溉’”项目的概率为P (B|A)= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2022新高考Ⅱ,19]在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的 样本数据的频率分布直方图: 第1讲　描述运动的基本概念 (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率; (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从 该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年 龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1). 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)平均年龄 =(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.00 6+85×0.002)×10=47.9(岁). (2)设A为事件“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)”, 由题易知P(A)=(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89. (3)设B为事件“任选一人,此人年龄位于区间[40,50)”,C为事件“任选一人,此人患这种疾病”, 由条件概率公式,得P(C|B)= = = =0.001 437 5≈0.001 4,所以此人患 这种疾病的概率为0.001 4. 第1讲　描述运动的基本概念 考点2　离散型随机变量的均值与方差 4.[2025全国一卷,14]有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球.记X 为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)=_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:由题意得,X的可能取值为1,2,3, P(X=1)= = (3次抽取的是同一个小球), P(X=2)= = (3次抽取出2个编号不同的小球), P(X=3)= = (3次抽取出的小球编号均不相同), 则X的分布列为 X 1 2 3 P       第1讲　描述运动的基本概念 E(X)=1× +2× +3× = . 解法二:假设随机变量Xi(i=1,2,3,4,5)=  则X= Xi, 故E(X)=E = E(Xi)=5E(Xi), 由题意可知,数字标号为i的球在单次抽取中未被取出的概率为 , 由于抽取独立,则数字标号为i的球三次均未被取出的概率P(Xi=0)= = , 因此数字标号为i的球至少被取出一次的概率P(Xi=1)=1- = , 故E(Xi)= , 所以E(X)=5E(Xi)=5× = . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025北京,18]某次考试中,只有一道单项选择题考查了某个知识点,甲、乙两校的高一年级学生都参 加了这次考试,为了解学生对该知识点的掌握情况,随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题 的答题数据,其中甲校学生选择正确的人数为80,乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相 互独立,用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p; (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名,设X为这2名学生中该题选择正确的人数,估计X=1的 概率及X的数学期望; (3)假设:如果没有掌握该知识点,学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案;如果掌握该 知识点,甲校学生选择正确的概率为100%,乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学 生掌握该知识点的概率估计值分别为p1,p2,判断p1与p2的大小.(结论不要求证明) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)甲校高一年级学生该题选择正确的概率p= = . (2)乙校高一年级学生该题选择正确的概率为 = ,X的可能取值为0,1,2, 所以P(X=0)= × = ,P(X=1)= × + × = , P(X=2)= × = , 则EX=0× +1× +2× = . (3)p1<p2. 由题意得,p1×100%+(1-p1)×25%= ,即 p1+ = ,解得p1= ; p2×85%+(1-p2)×25%= , p2+ = ,解得p2= ,又 = < = ,所以p1<p2. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2024新课标Ⅱ,18]某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一 阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该 队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛 成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互 独立. (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分①的概率. (2)假设0<p<q. (i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?② (ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛? ①关键点拨　第一阶段甲至少投中一次,第二阶段乙至少投中一次.用对立事件求解概率 ②心中有“数”　作差法比较大小 第1讲　描述运动的基本概念 思路探究 本题来源于教材P219习题6-4A组第3题,均以投篮比赛为背景,求相互独立事件的概率、离散型随机变 量的数学期望,教材习题比较简单直观,是求投篮的命中次数的期望,而高考题还以参赛队、参赛队员 为背景,并添加比赛成绩得分,比赛具体规则变化等,比较复杂,难度也比较大,加强了对学生的建模能 力、理性思维能力、数学应用的考查. 第1讲　描述运动的基本概念 思路导引     (1)成绩不少于5分,即第一阶段甲至少投中1次,第二阶段乙至少投中1次,用对立事件的概率公式、独立 事件的乘法公式可得结果. (2)(i)成绩为15分的概率最大,可根据“由谁参加第一阶段比赛”分两类求概率,再用作差法比较大小. (ii)先得到X和Y的所有可能取值,再求出期望,最后用作差法比较大小,做出决策.(1)由于甲参加第一阶 段比赛,故要使甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分, 则第一阶段甲至少要投中1次,第二阶段乙也要至少投中1次. 故所求概率P=(1-0.63)×(1-0.53)=0.686. (2)(i)若甲参加第一阶段比赛, 则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率P甲=[1-(1-p)3]q3, 第1讲　描述运动的基本概念 注意 甲、乙两人都要考虑,不要只考虑甲而忽视乙,漏乘q3.(易错点) 若乙参加第一阶段比赛, 则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率P乙=[1-(1-q)3]p3, P甲-P乙=[q3-q3(1-p)3]-[p3-p3(1-q)3] =(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(q-pq)2+(p-pq)2+(p-pq)·(q-pq)] =(p-q)(3p2q2-3pq2-3p2q) =3pq(p-q)(pq-q-p) =3pq(p-q)[(1-q)(1-p)-1]. 通过作差与0比较大小进行判断,对代数式化简时注意提取公因式.(关键点) 因为0<p<q<1,所以p-q<0,(1-p)(1-q)<1, 所以3pq(p-q)[(1-q)(1-p)-1]>0, 第1讲　描述运动的基本概念 故P甲>P乙,因此应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)当由甲参加第一阶段比赛时,比赛成绩X=0,5,10,15, P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3, P(X=5)=[1-(1-p)3]· q(1-q)2, P(X=10)=[1-(1-p)3]· q2(1-q)1, P(X=15)=[1-(1-p)3]· q3, 故EX=0×{(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3}+5×[1-(1-p)3]· q(1-q)2+10×[1-(1-p)3]· q2(1-q)1+15×[1-(1-p)3] · q3=15 ×[1-(1-p)3]q=15q(p3-3p2+3p), 当由乙参加第一阶段比赛时,比赛成绩Y=0,5,10,15, 同理可得EY=15p(q3-3q2+3q),EX-EY=15[(p+q)(p-q)pq-3(p-q)pq]=15(p-q)pq·(p+q-3), 第1讲　描述运动的基本概念 因为0<p<q<1,所以p-q<0,p+q-3<0, 所以EX-EY>0,即EX>EY, 故应该由甲参加第一阶段比赛. 高考风向　以实际问题为背景的相互独立事件的概率、互斥事件和对立事件的概率、条件概率与全 概率、离散型随机变量的分布列、期望与方差需重视,是高考的热点,常与排列组合、统计等知识综合 命题.题型以大题为主,难度中等或中等偏上.要加强对本讲知识概念的理解与应用及与其他知识(如数 列(后期学习)、函数等)的综合训练. 第1讲　描述运动的基本概念 考点3　二项分布与超几何分布 7.[2022浙江,15]现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上 数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)= ,Eξ= . 第1讲　描述运动的基本概念 解析　所抽取的3张卡片上数字的最小值为2可分两种情况: (1)3张卡片中恰有1张卡片上数字为2; (2)3张卡片中恰有2张卡片上数字为2, 所以P(ξ=2)= + = = . 而P(ξ=1)= = , P(ξ=3)= = , P(ξ=4)= = , 所以Eξ=1× +2× +3× +4× = = . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025天津,13]某同学每周在操场跑圈2次,一次跑5圈或6圈.已知:该同学第一次跑5圈或6圈的概率均 为0.5.若第一次跑5圈,则第二次跑5圈的概率为0.4,跑6圈的概率为0.6;若第一次跑6圈,则第二次跑5圈的 概率为0.6,跑6圈的概率为0.4. (1)该同学一周跑11圈的概率为___________; (2)若该同学一周至少跑11圈为运动量达标,连续跑4周.记达标的周数为随机变量X,则X的期望E(X)= ___________. 3.2         0.6     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设该同学一周跑11圈为事件A,第一次跑5圈为事件B,第二次跑5圈为事件C. (1)P(A)=P(B)P( |B)+P( )P(C| )=0.5×0.6+0.5×0.6=0.6. (2)设至少跑11圈为事件D, 则P(D)=P(A)+P( )P( | )=0.6+0.5×0.4=0.8, 易知X~B(4,0.8),则E(X)=4×0.8=3.2. 第1讲　描述运动的基本概念 考点四　正态分布 9.[多选题][2024新课标Ⅰ,9]随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出 口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本 均值 =2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的 亩收入Y服从正态分布N( ,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3)( ) A.P(X>2)>0.2　　     B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5　　     D.P(Y>2)<0.8     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12), 因为2=1.8+2×0.1, 所以P(X>2)<P(X>1.8+0.1)=1-P(X<1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7. 故P(X>2)<0.2,P(X>2)<0.5,故A错误,B正确. P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)>P(Y>2.1)=0.5,故C正确. P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.8,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2022新高考Ⅱ,13]已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=_______.     0.14     解析　因为X~N(2,σ2), 所以P(X<2)=P(X>2)=0.5, 故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14. 第1讲　描述运动的基本概念 强基计划 11.[2025中国科技大学强基计划招生考试]n个球装进m个盒中,则装有球的盒子的个数的期望是 _______________.     m 第1讲　描述运动的基本概念 解析　引入随机变量Xi(i=1,2,…,m),定义Xi=1时,表示第i个盒子中有球,Xi=0时,表示第i个盒子中没有球, 则X=X1+X2+…+Xm, P(Xi=0)= , P(Xi=1)=1- , 故EXi=1- , 所以EX= EXi=m , 即装有球的盒子的个数的期望是m . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2024南京大学强基计划测试]已知a∈{1,3,7,9},b∈{2,4,6,8},X为ab的个位数,则EX=_________.     3     解析　当a=1时,ab=1,个位数为1,有4个,当a=3,b=2时,ab=9,个位数为9, 当a=3,b=4时,ab=81,个位数为1,当a=3,b=6时,ab=27×27,个位数为9, 当a=3,b=8时,ab=81×81,个位数为1,当a=7,b=2时,ab=49,个位数为9, 当a=7,b=4时,ab=49×49,个位数为1,当a=7,b=6时,ab=49×49×49,个位数为9, 当a=7,b=8时,ab=49×49×49×49,个位数为1,当a=9,b=2时,ab=81,个位数为1, 当a=9,b=4时,ab=81×81,个位数为1,当a=9,b=6时,ab=81×81×81,个位数为1, 当a=9,b=8时,ab=81×81×81×81,个位数为1. 综上所述,X可取1,9,且P(X=1)= = ,P(X=9)= = ,所以EX=1× +9× =3. 第1讲　描述运动的基本概念 $