第5章 07-高考真题练（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学单元复习课件聚焦计数原理单元，以高考真题为载体系统整合排列组合、二项式定理核心内容，通过“考点梳理-真题解析-考教衔接”的逻辑链条串联知识点内在联系，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于创新设计“真题情境-分类突破-素养提升”复习路径，如通过志愿者安排、排队问题等真实情境培养数学眼光，利用二项式定理系数求解训练数学思维，配套“关键点拨”“思路探究”等工具，分层设置高考题、竞赛题满足不同需求，有效巩固知识，助力教师精准教学。

第五章 计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 高考真题练 第1讲　描述运动的基本概念 考点1　排列、组合及其应用 1.[2023全国甲理,9]现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5 人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 ( ) A.120种　　    B.60种　　    C.30种　　    D.20种     B     解析　从5人中选1人两天都参加,有 种安排方式,从剩下4人中选2人进行排列,有 种安排方式,则共 有  =60种安排方式. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2024全国甲文,5]甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　甲、乙、丙、丁四人排成一列共有 =24种可能,丙不在排头,且甲或乙在排尾的情况有    =8种,故所求概率为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025上海,9]4个家长和2个儿童去爬山,6个人需要排成一个队列,要求队列的头和尾均是家长,则不 同的排列方式有___________种.     288     解析　先选两位家长排在首尾有 =12种排法;再排队中的四人有 =24种排法,故有12×24=288种排列 方式. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2023新课标Ⅰ,13]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门 或3门课①,并且每类选修课至少选修1门②,则不同的选课方案共有__________种(用数字作答). ①关键点拨　“或”想到分类加法计数原理 ②关键点拨　类中分步;对点突破    P418疑难1 考教衔接 本题依附于教材第五章3.2节P173练习T3,都是以学生选课为背景考查排列、组合知识,教材的习题比 较简单,没有限制条件,单纯考查组合知识,而高考题在此基础上增加限制条件,需要分类讨论,解题的关 键是确定分类标准,保证不重不漏. 思路探究     64     第1讲　描述运动的基本概念 解析　根据题意,选课情况如下: ①选择1门体育类选修课和1门艺术类选修课,共有  =16种方案; ②选择2门体育类选修课和1门艺术类选修课,共有  =24种方案; ③选择1门体育类选修课和2门艺术类选修课,共有  =24种方案. 所以不同的选课方案共有16+24+24=64(种). 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2024上海,10]设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则 集合中元素个数的最大值为___________.     329     解析　由题意知集合A中至多有一个奇数,其余均是偶数(关键点). 讨论三位数中的偶数: ①当个位为0时,百位和十位在1~9中选两个进行全排列,共有 =72种选法; ②当个位不为0时,个位从2,4,6,8中选一个,有 种选法,百位有 (易错点)种选法,十位有 种选法,根据 分步乘法计数原理,共有   =256种选法, 最后加上单独的奇数,则集合中元素个数的最大值为72+256+1=329. 易错警示　与数字0有关的排列组合问题,要注意数字0不能在首位,可以以它为特殊元素进行分类讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2024新课标Ⅱ,14]在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共 有__________种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是___________.       112         24     第1讲　描述运动的基本概念 解析　第一步,先选4个方格,每行和每列均恰有一个方格被选中,则第一列有4个方格可选,第二列有3个 方格可选,第三列有2个方格可选,第四列有1个方格可选, 所以共有4×3×2×1=24种选法; 第二步,用列举法可将每种选法标记为(a,b,c,d),a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字,则所有可 能的结果为 (11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42), (12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40), (13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40), (15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40), 所以选中的方格中,(15,21,33,43)的4个数之和最大,为15+21+33+43=112. 第1讲　描述运动的基本概念 考场速决　注意到表格中每一列中的两位数的十位数字是相同的,每一行中的个位数字均有2个不同 的数,在每行中选个位数字较大的数,再结合题意可知选出的4个数分别为21,33,43,15,其和为21+33+43 +15=112. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2024全国甲理,16]有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球. 设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大 于 的概率为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设前3次取出的三个球上的数字分别为a,b,c, 则共有 =120种不同的取法, 又m= ,n= , ∴|m-n|= = ≤ , ∴|a+b-2c|≤3,即2c-3≤a+b≤2c+3. ①当c=1时,-1≤a+b≤5,又5≤a+b≤11, ∴a+b=5,∴a=2,b=3或a=3,b=2,有2种不同的取法, 由对称性知当c=6时,也有2种不同的取法. ②当c=2时,1≤a+b≤7,又4≤a+b≤11, ∴4≤a+b≤7,∴a+b的可能取值为4,5,6,7, 第1讲　描述运动的基本概念 若a<b,则a=1,b=3或a=1,b=4或a=1,b=5或a=1,b=6或a=3,b=4,共有5种不同的取法, 同理,当a>b时也有5种不同的取法,故共有10种不同的取法. 由对称性知,当c=5时,也有10种不同的取法. ③当c=3时,3≤a+b≤9,又3≤a+b≤11且a+b≠4, ∴a+b的可能取值为3,5,6,7,8,9, 若a<b,则a=1,b=2或a=1,b=4或a=1,b=5或a=1,b=6或a=2,b=4或a=2,b=5或a=2,b=6或a=4,b=5,共8种不同的 取法, 同理,当a>b时也有8种不同的取法,故共有16种不同的取法. 由对称性知,当c=4时,也有16种不同的取法. 综上,满足条件的基本事件共有2+2+10+10+16+16=56个, ∴所求概率P= = . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2024新课标Ⅰ,14]甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1, 3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片 中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置①此轮 所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2②的概率为_____. ①关键点拨　不放回选取 ②心中有“数”　直接求甲得2分,3分的情况;间接求甲得0分,1分的情况 思路探究 直接法:甲得3分时,经分析只有一种情况,甲得2分时,分选3和5,3和7,5和7三种情况,每种情况再具体列 举,应用了分类加法计数原理,最后求概率. 　　间接法:甲得0分时,经分析只有一种情况,甲得1分时,可通过列举写出所有情况,最后由对立事件的 概率得结果. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一(直接法):记标有数字i的卡片为i(i=1,2,…,8). 甲选1时一定会输,所以最多得3分. 要得3分,就只有1种情况:1对8,3对2,5对4,7对6. 要得2分,可有三类情况,分别列举如下: (1)甲选3和选5时赢,选其他时输,有: 1对6,3对2,5对4,7对8,共1种情况. (2)甲选3和选7时赢,选其他时输,有: ①1对4,3对2,5对8,7对6; ②1对8,3对2,5对6,7对4; ③1对6,3对2,5对8,7对4,共3种情况. (3)甲选5和选7时赢,选其他时输,有: 第1讲　描述运动的基本概念 ①1对2,3对8,5对4,7对6; ②1对4;3对8,5对2,7对6; ③1对8,3对4;5对2,7对6; ④1对6,3对8,5对2,7对4; ⑤1对8,3对6,5对2,7对4; ⑥1对6,3对8,5对4,7对2; ⑦1对8,3对6,5对4,7对2,共7种情况. 所以共有1+1+3+7=12种情况满足要求, 而甲、乙四轮比赛所有的情况共有 =24种, 所以甲得分不小于2的概率为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 解法二(间接法):甲、乙选卡片共有 =24种可能,四轮结束后甲的总得分小于2分,则甲得0分或1分. 若甲得0分,则甲选1,3,5,7,分别对应着乙选2,4,6,8,只有一种情况; 若甲得1分,则甲选1,3,5,7时,乙有以下11种情况与之对应: 所以四轮结束后甲的得分小于2的情况有12种,概率为 = , 所以四轮结束后甲的得分不小于2的概率为1- = . 第1讲　描述运动的基本概念 考点2　二项式定理 9.[2025天津,11]在(x-1)6的展开式中,x3的系数为________. 　-20     解析    Tr+1= x6-r·(-1)r,令6-r=3,则r=3,T4= x3·(-1)3=-20x3,所以x3的系数为-20. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2022新高考Ⅰ,13] (x+y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答). 考教衔接 该题是在教材第五章4.1节P176练习的基础上加工而成的,都是求系数.教材习题是单因式的系数求解, 而高考题是两个因式展开的系数求解,二者的解题思路是一致的,高考题需找到所求项的来源,借助合 并同类项的思想求解,难度更大一些. 　-28     解析　由题意得展开式中含x2y6的项为1× x2y6+ × x3y5= x2y6- x2y6=28x2y6-56x2y6=-28x2y6.故x2y6 的系数为-28. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2024上海,6]在(x+1)n的二项展开式中,若各项系数和为32,则x2项的系数为__________.     10     解析　由题意知,展开式中各项系数的和是(1+1)n=32,所以n=5, 则(x+1)n=(x+1)5,其二项式通项为Tr+1= ·x5-r, 令5-r=2,解得r=3,故x2项的系数为 =10. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2024全国甲理,13] 的展开式中,各项系数中的最大值为_________.     5     解析     的二项式通项为Tr+1=  xr, 设第(r+1)项的系数最大, 则  即 即  解得 ≤r≤ ,又r∈N,∴r=8,∴各项系数中的最大值为  =45× =5. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025北京,12]已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0=_________;a1+a2+a3+a4=__________.     15         1     解析　令x=0,得a0=(1-0)4=1. a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4=a0+a1·(-2x)1+a2(-2x)2+a3(-2x)3+a4(-2x)4, 结合(1-2x)4= + (-2x)1+ (-2x)2+ (-2x)3+ (-2x)4, 可得a1+a2+a3+a4= + + + =15. 第1讲　描述运动的基本概念 学科竞赛 14.[2024全国中学生奥林匹克竞赛重庆联赛初赛]将1,2,…,9这九个正整数排成圆圈,任意相邻两数之 积均不超过60的圆排列的个数为______________.     21 600     解析　设由1,2,…,9这九个正整数构成的所有圆排列有N0个, 则N0= =8!, 因为任意相邻两数之积均不超过60,则该排列中8,9与7,9这两对数均不能相邻. 设满足8,9相邻的圆排列有N1个,满足7,9相邻的圆排列有N2个,满足8,9相邻且7,9相邻的圆排列有N3个, 则N1=N2= = ·7!,N3= = ·6!, 所以满足要求的排列的个数为N0-(N1+N2-N3)=8!-(2×7!+2×7!-2×6!)=21 600. 第1讲　描述运动的基本概念 强基计划 15.[2024清华大学强基计划]点集S={(x,y)|x≤5,y≤4,x,y∈N+},则由S中的点可组成_____________个不同 的三角形.     1 056     解析　随意选三个点,共有 种情况,如图所示, 三点共线有8组(图中虚线),四点共线有9组(图中粗线加上5条竖线), 五点共线有4组(图中4条横线), 故一共能组成 -8 -9 -4 =1 140-8-36-40=1 056个不同的三角形. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2025山东大学强基计划]将10个不同的球放入编号为1,2,3的3个盒子中,要求每个盒子内球的个数 不少于盒子的编号,则放法种数为______________.     34 800     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:设盒子1中放入x1个球,盒子2中放入x2个球,盒子3中放入x3个球,由已知得x1≥1,x2≥2,x3≥ 3,且x1+x2+x3=10, 令m1=x1-1≥0,m2=x2-2≥0,m3=x3-3≥0,则m1+1+m2+2+m3+3=10, 即m1+m2+m3=4. 列举(m1,m2,m3)的情况如下: (4,0,0),(3,1,0),(3,0,1),(2,2,0),(2,0,2),(2,1,1),(1,3,0),(1,0,3),(1,2,1),(1,1,2),(0,0,4),(0,4,0),(0,1,3),(0,3,1),(0,2, 2),共15种, 因为球是不同的,所以对应每个解(m1,m2,m3)的放法种数为 , 其中m1+m2+m3=4(m1,m2,m3≥0),计算15次并求和,可得放法种数为34 800. 解法二:总的放法有310种, 第1讲　描述运动的基本概念 盒子1中的球数为0时,有210种放法, 盒子2中的球数为0,1时,有210+ 29=6 144种放法, 盒子3中的球数为0,1,2时,有210+ ·29+ 28=17 664种放法, 盒子1中的球数是0且盒子2中的球数小于2时,有1+ =11种放法, 盒子1中的球数是0且盒子3中的球数小于3时,有1+ + =56种放法, 盒子2中的球数小于2且盒子3中的球数小于3时,有1+ + + +  +  =516种放法, 三个盒子中的球数都小于对应编号时,有0种放法, 故满足题意的放法种数为310-(210+6 144+17 664)+(11+56+516)-0=34 800. 第1讲　描述运动的基本概念 $