第5章 计数原理 本章总结提升(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

本章总结提升 1 ◆ 知识网络 ◆ 素养提升 题型一 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 题型二 排列、组合应用问题 题型三 二项式定理及其应用 2 知 识 网 络 3 题型一 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 ［类型总述］ 利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决实际的计数问题. 例1（1） 已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到 四层不同的走法种数为( ) B A. B. C. D. [解析] 因为教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯， 所以从一层到二层，有2种走法. 同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法， 则从一层到四层共有 （种）走法．故选B. 素 养 提 升 4 （2）一个袋中放有6个球，另一个袋中放有8个球，每个球各不相同，从这两 个袋中各取一个球，共有____种不同的取法． 48 [解析] 从两个袋中各取一个球，可分为两步完成. 第一步，从第一个袋中任取一个球，共有6种取法； 第二步，从另一个袋中任取一个球，共有8种取法. 由分步乘法计数原理可得共有 （种）取法. 素 养 提 升 5 （3）某公司招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人 员不能分给同一部门，另外3名电脑编程人员也不能都分给同一部门，则不同的 分配方案种数是____． 12 [解析] ①若分配给甲部门2名电脑编程人员，则有3种方法； 2名英语翻译人员的分配方法有2种． 根据分步乘法计数原理可知，分配方案有 （种）. ②若分配给甲部门1名电脑编程人员，则有3种方法； 2名英语翻译人员的分配方法有2种． 根据分步乘法计数原理可知，分配方案有 （种）． 由分类加法计数原理可得，不同的分配方案共有（种） 素 养 提 升 6 变式（1） 甲与四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,0,2,1,5,为遵守当地 某月5日至9日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾 数为偶数的车通行）,五人商议拼车出行,每天任选一辆符合限行规定的车,但甲 的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为( ) D A.5 B.24 C.32 D.64 [解析] 5日至9日有3天奇数日,2天偶数日. 第一步,安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有 （种）选择. 第二步,安排偶数日出行,分两类: 第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有 （种）选择; 第二类,不安排甲的车,每天都有2种选择,有（种）选择. 共有 （种）选择. 根据分步乘法计数原理可得,不同的用车方案种数为 .故选D. 素 养 提 升 7 （2）某学校有一块绿化用地，其形状如图所示，为了 让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域 花卉颜色不同.现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不 同的种植方案共有_____种.（用数字作答） [解析] 将四个区域进行编号，如图， 先在区域1中种植，有5种不同的种植方法， 然后在区域2中种植，有4种不同的种植方法， 再在区域3中种植，有3种不同的种植方法， 最后在区域4中种植，有3种不同的种植方法， 所以不同的种植方案共有 （种）. 素 养 提 升 8 题型二 排列、组合应用问题 ［类型总述］（1）排列应用问题;（2）组合应用问题;（3）排列、组合的综合应用. 例2（1） 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆， 甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 ( ) C A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 [解析] 甲场馆有种安排方法，乙场馆有种安排方法， 丙场馆有 种安排方法，总共有 （种）安排方法. 素 养 提 升 9 （2）从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组 成______个没有重复数字的四位数.（用数字作答） 1260 [解析] 方法一（直接法）当所选4个数字没有0时,四位数有 （个）； 当所选4个数字有0时，四位数有 （个）. 故一共可以组成 （个）符合条件的四位数. 方法二（间接法）所有“真假”四位数有 （个）, “假”四位数是0开头的四位数，有 （个）， 故符合条件的四位数有 （个）. 素 养 提 升 10 （3）已知五名老师和五名学生站成一排. ①五名学生必须排在一起，共有多少种不同的排法? 解：先将五名学生“捆绑”在一起看作一个整体与五名老师全排列,有 种排法, 再将五名学生全排列,有种排法,故共有 （种）排法. ②五名学生不能相邻，共有多少种不同的排法? 解：先将五名老师全排列,有 种排法, 再将五名学生排在五名老师产生的六个空位上,有种排法, 故共有 （种）排法. ③老师和学生相间隔，共有多少种不同的排法? 解：老师和学生相间隔的排法有两类,老师在排头或学生在排头, 共有 （种）排法. 素 养 提 升 11 变式（1） [2023·全国甲卷]现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的 星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两 天都参加的不同安排方式共有( ) B A.120种 B.60种 C.30种 D.20种 [解析] 由题可知，参加公益活动的志愿者需要3人， 先从5人中选出3人有 种选法， 再从3人中选出1人参加两天公益活动，有 种选法， 另外2人分别安排在星期六、星期日，有种方法， 则共有 （种）安排方式.故选B. 素 养 提 升 12 （2）将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子中都有球的放法种数为 ( ) C A.840 B.35 C.20 D.15 [解析] 将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组， 因为每个盒子中都有球，所以每个盒子中至少有一个球， 不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空， 只需在这6个空中插入3个隔板将它们隔开，且每个空中最多有1个隔板， 即分成4组，则不同的插入方法共有 （种）， 所以每个盒子中都有球的放法种数为20.故选C. 素 养 提 升 13 （3）由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有 ( ) D A.360个 B.192个 C.312个 D.240个 [解析] 根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数字为2或4. 当个位数字为0时，小于50 000的偶数有 （个）； 当个位数字为2或4时，小于50 000的偶数有 （个）. 所以小于50 000的偶数共有 （个）.故选D. 素 养 提 升 14 题型三 二项式定理及其应用 ［类型总述］（1）利用二项式定理求指定项（或系数）;（2）利用赋值法求二 项式系数的和. 例3（1） 的展开式中的系数为15，则 ( ) B A.7 B.6 C.5 D.4 [解析] 二项展开式的通项为， 所以当 时，, 因为的展开式中的系数为15，所以，解得 . 故选B. 素 养 提 升 15 （2）（多选题）已知 展开式中的二项式系数和为32，若 ，则( ) ABD A. B. C. D. [解析] 由，得，A正确. 令，得，B正确. 因为 ，所以，C错误. 令 ，得，D正确. 故选 . 素 养 提 升 16 （3）[2023·天津卷] 在的展开式中， 的系数为____. 60 [解析] 的展开式的通项为 ， 令，得 ， 的系数为 . 素 养 提 升 17 变式（1） 在的展开式中, 的系数是( ) A A.84 B. C.196 D.14 [解析] 的展开式的通项为 . 令,解得,则的展开式中的常数项为 ; 令,解得,则的展开式中含的项为 . 所以的展开式中的系数为 .故选A. 素 养 提 升 18 （2）已知 ，则 ( ) C A. B.2 C.4 D.12 [解析] 令，则 ， 故 ， 因为的展开式中的系数为， 的展开式中 的系数为， 所以 .故选C. 素 养 提 升 19 （3）已知 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开 式的有理项中第项的系数最大，则 ( ) A A.5 B.6 C.7 D.8 [解析] 由已知可得,则 展开式的通项为 ， 显然当是偶数时，第 项为有理项.当时，； 当 时，； 当时，； 当 时，； 当时，；当 时，； 当时， . 经比较可得，当，即 时系数最大， 即展开式的有理项中第5项的系数最大.故选A. 素 养 提 升 20 $