04-§4 03-专题强化练9 (a+b)n(c+d)m与(a+b+c)n 的展开式问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦计数原理中的二项式定理，系统呈现(a+b)ⁿ、(a+b+c)ⁿ及多项式乘积展开式问题，从基础二项式展开逐步过渡到复杂三项式、乘积形式，构建从简单到复杂的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合各地联考真题实例，通过特定项系数计算培养数学思维中的推理与运算能力，用符号语言精确表达展开过程体现数学语言严谨性。学生能提升解题技巧，教师可通过专项训练提高教学针对性。

第五章 计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 专题强化练9　(a+b)n(c+d)m与(a+b+c)n 的展开式问题 专题专项练 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026广东部分学校联考] (x-y)6的展开式中,x4y2的系数为( ) A.60　　    B.30　　    C.45　　    D.15     A     解析    (x-y)6的二项式通项为Tr+1= ·x6-r(-y)r=(-1)r x6-ryr,令6-r=4,得r=2,令6-r=2,得r=4,故x2y4的系数为3(-1)2  +(-1)4 =60. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西景德镇一中期中](x2-x+y)6的展开式中x5y3的系数为 ( ) A.60　　    B.20　　     C.-20　　    D.-60     D     解析    (x2-x+y)6=[(x2-x)+y]6,其二项式通项为Tr+1= (x2-x)6-ryr,r=0,1,…,6, 令r=3,得T4= (x2-x)3y3, (x2-x)3的二项式通项为Sk+1= ·(x2)3-k(-x)k=(-1)k x6-k,k=0,1,2,3, 令6-k=5,得k=1, 故x5y3的系数为 (-1)1 =-60. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025山东济南第一中学学情检测]已知(3x-1)·(x+1)n的展开式中所有项的系数之和为64,则展开式中 含x4的项的系数为 ( ) A.20　　    B.25　　    C.30　　    D.35     B     解析　∵展开式中所有项的系数之和为64, ∴令x=1,得(3-1)(1+1)n=64,∴n=5, ∴(3x-1)(x+1)n=(3x-1)(x+1)5, (x+1)5的二项式通项为Tr+1= x5-r, 当r=2时,T3= x3=10x3,3x·10x3=30x4, 当r=1时,T2= x4=5x4,(-1)·5x4=-5x4, 30x4-5x4=25x4,故展开式中含x4的项的系数为25. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2025江西质量检测]关于(1+x)(1-2x)7,下列结论正确的是 ( ) A.展开式中的常数项为1 B.展开式中x3的系数为-196 C.展开式中所有项的系数的和为-2 D.展开式中x5的系数为392     ABC     解析    (1-2x)7的二项式通项为Tr+1= (-2x)r=(-2)r xr,r=0,1,…,7. 对于A,令r=0,得展开式中的常数项为1,A正确; 对于B,展开式中x3的系数为1× ×(-2)3+1× ×(-2)2=-196,B正确; 对于C,令x=1,得展开式中所有项的系数的和为-2,C正确; 对于D,展开式中x5的系数为1× ×(-2)5+1× ×(-2)4=-112,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025河北保定博野中学月考]在(x+y2-1)(x2-y-1)6的展开式中,x2y4的系数为( ) A.-60　　    B.-30　　    C.-20　　    D.20     B     解析　先求(x2-y-1)6的展开式中含xy4,x2y2,x2y4的项, (x2-y-1)6的二项式通项为Tr+1= ·(x2-y)6-r(-1)r,0≤r≤6,r∈N, (x2-y)6-r的二项式通项为Tk+1= ·(x2)6-r-k(-y)k= (-1)kx12-2r-2kyk,0≤k≤6-r≤6,k∈N,r∈N. 令 无解, 令 解得  令 解得  所以在(x+y2-1)(x2-y-1)6的展开式中,x2y4的系数为 (-1)3× (-1)2- ×(-1)1× (-1)4=-30. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025广东珠海第二中学月考]已知(x2-x+2)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2nx2n,若|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2n|=4 096, 则a3= ( ) A.-640　　    B.-200　　    C.-160　　    D.-40     A     解析    (x2-x+2)n=[(x2+2)-x]n,其二项式通项为Tr+1= (x2+2)n-r(-x)r,0≤r≤n,r∈N, 因为 (x2+2)n-r>0,且(x2+2)n-r的展开式中x的指数均为偶数, 所以当r为偶数时,对应项的x的次数为偶次,且对应项的系数大于0, 当r为奇数时,对应项的x的次数为奇次,且对应项的系数小于0, 所以a0,a2,a4,…,a2n为正数,a1,a3,a5,…,a2n-1为负数,又(x2-x+2)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2nx2n, 所以令x=-1,则4n=a0-a1+a2-a3+…+a2n=|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2n|=4 096, 所以n=6,则(x2-x+2)6=[(x2+2)-x]6,其二项式通项为Tr+1= (x2+2)6-r·(-x)r,0≤r≤6,r∈N,(x2+2)6-r的二项式通项 为Tk+1= (x2)6-r-k·2k=2k ·x12-2r-2k,0≤k≤6-r,k∈N, 要使(x2-x+2)6的展开式中x的次数为3,则r=1,k=4或r=3,k=3,则a3=-24  -23  =-640. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025江西宜春模拟]记(x+t)3(x+t+1)2(x+t-1)(t∈R)的展开式中x5的系数为a,常数项为b,则下列说法正 确的是 ( ) A.若a>0,则b>0　　    B.若b<0,则a>0 C.若a<0,则b<0　　    D.若b>0,则a>0     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    (x+t)3的二项式通项为 trx3-r,(x+t)3展开式中x3的系数为 t0=1,x2的系数为 t1=3t,x的系数为 t2=3 t2,常数项为 t3=t3, (x+t+1)2=x2+2(t+1)x+(t+1)2, x+t-1中x的系数为1,常数项为t-1, 要想得到x5,有以下几种情况: ①(x+t)3中取x3,(x+t+1)2中取x2,x+t-1中取常数项t-1,此时系数为1×1×(t-1)=t-1; ②(x+t)3中取x3,(x+t+1)2中取x,x+t-1中取x,此时系数为1×2(t+1)×1=2(t+1); ③(x+t)3中取x2,(x+t+1)2中取x2,x+t-1中取x,此时系数为3t×1×1=3t. 故a=(t-1)+2(t+1)+3t=6t+1. b=t3×(t+1)2×(t-1)=t6+t5-t4-t3. 第1讲　描述运动的基本概念 对于A,若a>0,即6t+1>0,解得t>- ,当t=0时,b=0,A错误; 对于B,若b<0,即t6+t5-t4-t3=t3(t-1)·(t+1)2<0,解得t∈(0,1), 则a=6t+1>0,故B正确; 对于C,若a<0,即6t+1<0,解得t<- ,当t=-1时,b=0,C错误; 对于D,若b>0,即t3(t-1)(t+1)2>0, 解得t∈(-∞,-1)∪(-1,0)∪(1,+∞), 当t=-2时,a=-11<0,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026湖北随州曾都第一高级中学开学考试]在(x-y)(x+2y+z)6的展开式中,x2y3z2的系数为___________.     120     解析    [(x+2y)+z]6的展开式中,含z2的项为 (x+2y)4z2, (x+2y)4的展开式中,含xy3的项为 x(2y)3=32xy3,含x2y2的项为 x2(2y)2=24x2y2, 因此x2y3z2的系数为 ×[32+(-1)×24]=120. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025河北承德名校联考]已知(3x-y+2z)n的展开式中有一项是kxy3z3,则n-k=_____________.     3 367     解析　因为(3x-y+2z)n的展开式中每一项的次数均为n,所以n=1+3+3=7, 展开式中含有xy3z3的项为 (3x) ·(-y)3 (2z)3=-3 360xy3z3, 所以k=-3 360,故n-k=3 367. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2024四川绵阳期末]求 的展开式中的常数项. 解析　求展开式中的常数项,需x2的指数是 的指数的 ,据此分类讨论,再考虑y4与 的指数. ①当x2的指数为1时, 的指数为2, 此时只需 的展开式中出现y2项,即 ·(y4)2· , 因此常数项为 · ·x2· · ·(y4)2· =1 680; ②当x2的指数为2时, 的指数为4,此时只需 的展开式中出现y4项,显然不可能. 故所求常数项为1 680. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025山东青岛实验高级中学月考]已知 的展开式中所有项的二项式系数和为128,各项系 数和为-1. (1)求n和a的值; (2)求  的展开式中的常数项. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可得  解得  (2)由(1)可知  =(2x-x-2)·(-2x2+x-1)7. (-2x2+x-1)7的二项式通项为Tk+1= ·(x-1)k=(-2)7-k· x14-3k,k=0,1,…,7, 令14-3k=-1,则k=5,令14-3k=2,则k=4, 故所求的常数项为2x·(-2)2 x-1-x-2·(-2)3 x2=168+280=448. 第1讲　描述运动的基本概念 $