04-§4 02-4.2 二项式系数的性质（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质，从计数原理过渡，通过对称性与和、增减性与最值、赋值法求系数和、杨辉三角四个题组构建知识支架，逐步深化对二项式定理的理解。 其亮点在于精选各地月考真题，分层设计基础与能力题组，解析注重推理过程（如组合数性质应用）和易错提示（二项式系数与项的系数区别），培养学生数学思维与表达能力，助力教师高效教学，提升学生解题与探究能力。

第五章 计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §4　二项式定理 4.2　二项式系数的性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　二项式系数的和与对称性 1.[2025河北保定唐县第一中学月考]在(a+b)n的展开式中,若第4项与第5项的二项式系数之和等于第10 项与第11项的二项式系数之和,则n= ( ) A.16　　    B.15　　    C.14　　    D.13     D     解析　由题意可得 + = + , 则 = ,所以n+1=14,解得n=13. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026福建福州第四中学月考]在(x-y)5的展开式中,下列说法正确的是 ( ) A.一共有6项 B.第3项为-10x3y2 C.所有项的系数之和为0 D.所有项的二项式系数之和为32     ACD     解析　易知A正确; 对于B,(x-y)5的二项式通项为Tr+1= x5-r(-y)r,r=0,1,…,5, 令r=2,得T3= x3(-y)2=10x3y2,故B不正确; 对于C,令x=y=1,得所有项的系数之和为0,故C正确; 对于D,所有项的二项式系数之和为25=32,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026广东广州第七中学月考]若 的展开式的二项式系数之和为32,且x-2的系数为80,则实数a 的值为_______. 　-2     解析　由题意得2n=32,解得n=5.  的二项式通项为Tk+1= ·( )5-k = (-a)k ,k=0,1,2,3,4,5,令 =-2,得k=3, 所以x-2的系数为 (-a)3=-10a3=80,解得a=-2. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河北部分示范性高中联考]若 的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256,且常 数项为a,则a+n=___________.     681     解析　展开式中所有项的二项式系数之和为 + + +…+ =2n, 故所有奇数项的二项式系数之和为2n-1, 由题可知2n-1=256,解得n=9.  的二项式通项为Tk+1= ·(2x)9-k = 29-k(-1)k , 令9- =0,得k=6,所以展开式中的常数项为 23(-1)6=672, 即a=672,所以a+n=672+9=681. 干货总结　在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即 + +  +…= + + +…=2n-1. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025山西百师联盟联考]已知( + )n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数之和是 第10项的二项式系数的2倍. (1)求n的值; (2)写出该二项式的展开式中所有的有理项. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)( + )n(其中n<15)的展开式中第9项,第10项,第11项的二项式系数分别是 , , . 依题意得 + =2 ,即 + =2× , 化简得90+(n-9)(n-8)=20(n-8), 即n2-37n+322=0, 解得n=14或n=23. 因为n<15,所以n=14. (2)由(1)知n=14,( + )14的二项式通项为Tr+1=   =  ,0≤r≤14,r∈N. 当 是整数,即r是6的倍数时,该项是有理项, 所以展开式中的有理项共3项,分别是:当r=0时,T1= x7=x7; 当r=6时,T7= x6=3 003x6;当r=12时,T13= x5=91x5. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　二项式系数的增减性与最值 6.[2025湖北智学联考]若 的展开式中,第5项是二项式系数最大的项,则其展开式中 的系数 为 ( ) A.8　　    B.28　　    C.70　　    D.252     D     第1讲　描述运动的基本概念 干货总结　当k< 时, 随k的增加而增大;当k> 时, 随k的增加而减小.当n是偶数时,中间的一项  取得最大值;当n是奇数时,中间的两项 与 相等,且同时取得最大值. 解析　因为第5项是二项式系数最大的项,即 最大, 所以由二项式系数的性质可知,展开式中共9项,故n=8,  =(3 -x-1)8的二项式通项为Tr+1= (3 )8-r(-x-1)r= (-1)r38-r ,r=0,1,2,…,8. 令 =-5,得r=6,所以其展开式中 的系数为 ×32=252. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026广东广州测试]在 的展开式中,下列说法正确的是 ( ) A.常数项为15 B.各项的系数之和为26 C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项的系数之和为16     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析     的二项式通项为Tr+1= ·( )6-r = (-1)r ,r=0,1,…,6. 令 =0,得r=2, 则常数项为 (-1)2=15,故A正确; 令x=1,得各项的系数之和为(1-1)6=0,故B错误; 二项式系数中, 最大,故二项式系数最大的项为第4项,故C正确; 当 为整数时,r=0,2,4,6,故有理项的系数之和为 (-1)0+ (-1)2+ (-1)4+ (-1)6=32,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025河南开封高级中学质量检测]已知 (n≥4,n∈N+)的展开式中,第5项与第3项的二项式系 数之比为15∶2,则展开式中系数最大的项是_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析     的二项式通项为Tr+1= xn-r = ·2-rxn-3r, 因为第5项与第3项的二项式系数之比为15∶2,所以 = , 即 = , 所以n2-5n-84=0, 解得n=12或n=-7(舍).  的二项式通项为Tr+1= ·2-rx12-3r,r=0,1,…,12, 设展开式中第(r+1)项的系数最大, 则  第1讲　描述运动的基本概念 即  解得 ≤r≤ ,又因为r∈N,所以r=4, 所以系数最大的项为T5= ·2-4x0= . 解题模板　求二项展开式中系数最大的项,先设展开式中第(k+1)项的系数ak+1最大,再利用 求 出k的取值范围,结合k∈N,确定k的值,进而解决问题. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[易错题][2026浙江杭州学军中学开学考试]在 的展开式中,若仅有第5项的二项式系数最大, 则展开式中系数最大的项是第___________项.     3和4     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为 的展开式中,仅第5项的二项式系数最大,所以展开式共有9项,则n=8,  的二项式通项为Tr+1= x8-r· =  x8-2r,r=0,1,…,8, 设展开式中第(r+1)项的系数最大, 则  即  解得2≤r≤3,又r∈N,所以r=2或r=3,所以展开式中系数最大的项是第3项和第4项. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　“二项式系数最大”和“项的系数最大”是两个概念.“二项式系数最大”:当n是偶数时,  最大,当n是奇数时, , 相等且最大.“项的系数最大”:第(r+1)项的系数大于第r项的系数,也大 于第(r+2)项的系数. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　赋值法求系数和 10.[2026北京清华大学附属中学开学考试]若 =a0+ x+ x2+ x3+ x4+ x5,则a0-a1+a2-a3+a4-a5 =( ) A.-1　　    B.0　　    C.1　　    D.32     D     解析　令x=-2,得 =a0+ ×(-2)+ ×(-2)2+ ×(-2)3+ ×(-2)4+ ×(-2)5,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=25=32. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江苏镇江两校联考]已知(1+2x)4=a0+2a1x+4a2x2+8a3x3+16a4x4,则a1+a2+a3+a4= ( ) A.15　　    B.16　　    C.80　　    D.81     A     解析　令x=0,得a0=1,令x= ,得a0+a1+a2+a3+a4= =24, 所以a1+a2+a3+a4=24-1=15. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025河南洛阳第一高级中学期中]若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=  ( ) A.243　　    B.27　　    C.1　　    D.-1     D     解析    (1-2x)5的二项式通项为Tk+1= ·(-2x)k(k=0,1,2,…,5), 则a0,a2,a4为正数,a1,a3,a5为负数, 所以|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=(1-2)5=-1. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[易错题][多选题][2026黑龙江绥化新时代高中教育联合体联考]已知(3+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,(3 +x)n的展开式中只有第五项的二项式系数最大,则下列说法正确的是( ) A.n=8 B.展开式中偶数项的二项式系数的和为28 C.展开式中各项系数的和为49 D.展开式中奇数项的系数的和为      AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为展开式中只有第五项的二项式系数最大,所以展开式中共有9项,故n=8,故A正确; 展开式中所有项的二项式系数的和为28, 所以展开式中偶数项的二项式系数的和为27(偶数项的二项式系数的和与奇数项的二项式系数的和相 等),故B错误; 令x=1,得展开式中各项系数的和为(3+1)8=48,故C错误; 令x=1,得a0+a1+a2+…+a8=48, 令x=-1,得a0-a1+a2-…+a8=28, 所以2(a0+a2+a4+a6+a8)=48+28, 则a0+a2+a4+a6+a8(易错点)= , 所以展开式中奇数项的系数的和为 ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　本题注意B,D选项的区别.B是求偶数项的二项式系数的和,利用性质“偶数项的二项式系 数的和与奇数项的二项式系数的和相等”求解;D是求奇数项的系数的和,即求a0+a2+a4+a6+a8,而不是求 a1+a3+a5+a7,利用赋值法求解. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026山东潍坊部分学校期中]已知(x2+1)(2x-1)9=a0+a1x+a2x2+…+a11x11,则a1+a2+…+a11=_________.     3     解析　令x=1,得2(2-1)9=a0+a1+a2+…+a11,即a0+a1+a2+…+a11=2, 令x=0,得a0=-1, 故a1+a2+…+a11=2-a0=2-(-1)=3. 方法技巧在使用赋值法求展开式中各项系数的和时,令a,b等于多少,应视具体情况而定,一般取1,-1,0.如: (1)形如(ax+b)n(a,b∈R)的式子,求其展开式中各项系数之和,只需令x=1即可; (2)形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子,求其展开式中各项系数之和,只需令x=y=1即可. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025北京昌平期末]设(2x-1)6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,求: (1)a6+a5+a4+a3+a2+a1; (2)a6+a4+a2+a0; (3)64a6+32a5+16a4+8a3+4a2+2a1+a0; (4)|a6|+|a5|+|a4|+|a3|+|a2|+|a1|. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)令x=0,得a0=(-1)6=1,令x=1,得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=(2-1)6=1, 所以a6+a5+a4+a3+a2+a1=1-1=0. (2)令x=-1,得a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-2-1)6=729, 由(1)知,a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=1, 两式相加得2(a6+a4+a2+a0)=1+729=730,所以a6+a4+a2+a0=365. (3)令x=2,得64a6+32a5+16a4+8a3+4a2+2a1+a0=(4-1)6=729. (4)设(2x+1)6=b6x6+b5x5+b4x4+b3x3+b2x2+b1x+b0,令x=0,得b0=16=1, 令x=1,得b6+b5+b4+b3+b2+b1+b0=36, 所以|a6|+|a5|+|a4|+|a3|+|a2|+|a1|=b6+b5+b4+b3+b2+b1=36-1=728. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　杨辉三角 16.[多选题][2026黑龙江哈尔滨第三中学月考]我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》 一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角进行了广泛的研究.下列结论正确的是 ( ) A.第48行的所有数之和被7除的余数为1 B.第20行第7个数和第8个数的比值为  C.从第4行起到第19行,每一行的第4个数之和为 -1 D.第n行所有数的平方和等于第2n行最中间的数     ACD 第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,第48行的所有数字之和为248=816=(7+1)16,(7+1)16= ·716+ ·715+…+ ·71+ =7( ·715+  ·714+…+ )+1, 故第48行的所有数之和被7除的余数为1,故A正确; 对于B,第20行第7个数为 ,第8个数为 , = = = ,故B错误; 对于C,第i(i≥3,i∈N)行的第4个数为 ,则从第4行起到第19行,每一行的第4个数之和为 + +…+ =  + + +…+ -1= + +…+ -1= + +…+ -1=…= -1,故C正确; 对于D,第n行所有数的平方和为( )2+( )2+…+( )2,第2n行最中间的数为 ,(1+x)2n=[(1+x)n]2=( + x +…+ xn)2=( + x+…+ xn)·( xn+…+ x+ ),则(1+x)2n的展开式中xn的系数为( )2+( )2+…+( )2, (1+x)2n的二项式通项为Tr+1= ·xr,则其展开式中xn的系数为 ,则( )2+( )2+…+( )2= ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[2025上海浦东期中]杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家,杨辉三角是杨辉的一项重 要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角的部分 内容的改写形式如图所示. (1)求图中第11行的各数之和; (2)从图中第2行开始,取每一行的第3个数,一直取到第100行的第3个数,求取出的所有数之和; (3)在杨辉三角中是否存在某一行,使该行中三个相邻的数之比为3∶8∶14?若存在,试求出这三个数;若 不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)题图中第11行的各数之和为 + + +…+ =211=2 048. (2)题图中第2行到第100行,各行第3个数之和为 + + +…+ = + + +…+ = + +…+ =  = =166 650. (3)存在,理由如下: 设第n行存在三个相邻的数 , , ,其中k,n∈N+,且k+1≤n,n≥2, 使得 , , 之比为3∶8∶14, 则 = , = , 化简得 = , = ,即  解得 所以这三个数为 =45, =120, =210. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §4　二项式定理 4.2　二项式系数的性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　二项式系数的性质及应用 1.已知(1+2x)6展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则sin 的最小正周期为 ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.π     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1+2x)6展开式的二项式系数为 (r=0,1,…,6),当r=3时,取得最大值a= =20,(1+2x)6展开式的系数 为 2r(r=0,1,…,6), 当满足 时,系数最大, 即  ∴ 即  解得 ≤r≤ .又∵r=0,1,…,6,∴r=4时,系数的最大值为b= 24=240, 则 = =12,所以sin =sin 3x,其最小正周期为 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026黑龙江哈尔滨第三中学阶段测试]下列说法正确的是 ( ) A.在 的展开式中,常数项为60 B.(1+x)(1-x)5的展开式中,x2的系数为5 C.若(a+b)n的展开式中,第3项的二项式系数最大,则n=5 D.若(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+a3+…+a8=0     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A, 的二项式通项为Tr+1= (2x)6-r = (-1)r×26-r ,令6- =0,解得r=4, 所以常数项为 (-1)4×22=60,故A正确; 对于B,(1-x)5的二项式通项为Tk+1= ·(-x)k,故T2= (-x)=-5x,T3= (-x)2=10x2,故(1+x)(1-x)5的展开式中x2的 系数为10-5=5,故B正确; 对于C,当n为偶数时,最中间项只有一项,又第3项的二项式系数最大,所以展开式中共有5项,所以n+1=5, 解得n=4, 当n为奇数时,中间项有两项,又第3项的二项式系数最大,所以可能第2项与第3项二项式系数相同且最 大或第3项与第4项二项式系数相同且最大, 所以展开式中共有4项或6项,所以n+1=4或n+1=6,解得n=3或n=5,故n的值为3或4或5,C错误; 对于D,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a8=(1-2)8=1,令x=0,可得a0=(1-0)8=1,所以a1+a2+a3+…+a8=0,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江苏无锡检测]在 的展开式中,二项式系数的和为64,把展开式中所有的项重新排成 一列,奇次项(未知数x的指数为奇数的项)都互不相邻的概率为( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.      A     解析　在 的展开式中,二项式系数的和为2n=64=26,所以n=6.  的二项式通项为Tr+1= ·  =(-1)r26-r x3-r,r=0,1,2,…,6,展开式共有7项, 当r=0,2,4,6时,为奇次项,把展开式中所有的项重新排成一列,奇次项都互不相邻,即把3个偶次项先任意 排,再把这4个奇次项插入形成的4个空中,共有  种排法,故奇次项都互不相邻的概率为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2025江西期末] ,n∈N+,则( ) A.若S的展开式中存在常数项,则n是7的倍数 B.若S的展开式中存在常数项,则n是6的倍数 C.若n是奇数,则第 项一定是S的展开式中系数最大的项 D.若n是偶数,则第 项是S的展开式中二项式系数最大的项     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析     的二项式通项为Tr+1= (x-5)n-r(-x2)r=(-1)r x7r-5n. 对于A,B,若S的展开式中存在常数项,则x7r-5n是常数,即5n=7r, 因为r,n为正整数,故n是7的倍数,故A正确,B错误; 对于C,若n是奇数,设n=2k+1(k∈N),则 =k+1, 所以第 项为(-1)k x-3k-5,其系数为(-1)k ,不能确定正负,故C错误; 对于D,若n是偶数,设n=2k+2(k∈N),则 +1=k+2, 所以第 项为(-1)k+1 x-3k-3,其二项式系数 最大,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026湖北黄冈黄梅第一中学周测]已知(1+3x)n(n为正整数)的展开式中,末三项的二项式系数的和等 于67. (1)求n的值,从集合A={1,2,…,n}中任取一个元素a,求该元素满足|a-5|<1的概率; (2)若x=4,求[(1+3x)n]185除以7所得的余数; (3)求(1+3x)n的展开式中系数最大的项. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)(1+3x)n展开式末三项的二项式系数分别为 , , , 则 + + =67, 即 + + =67,整理得n2+n-132=0, 而n为正整数,因此n=11, 故集合A={1,2,…,11},从集合A中任取一个元素a的试验有11个样本点,当a=5时,满足|a-5|<1,则满足|a-5| <1的事件有一个样本点,所以所求概率为 . (2)当x=4时,[(1+3x)11]185=132 035=(14-1)2 035=142 035- 142 034+ ·142 033- 142 032+…+ 14-1=14(142 034-  142 033+ 142 032- 142 031+…+ -1)+13, 所以[(1+3x)11]185除以7所得的余数等于13除以7所得的余数6. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)(1+3x)11的二项式通项为Tr+1= ·3rxr,r=0,1,…,11. 设第(r+1)项为展开式中系数最大的项, 则 解得8≤r≤9, 所以r=8或r=9,所以展开式中系数最大的项为T9= ·38x8和T10= ·39x9. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　赋值法求系数和 6.[多选题][2026河北百师联盟摸底联考]设(2-3x)12=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则下列说法正确的有( ) A.(2-3x)12的展开式中所有项的二项式系数的和为212 B.a0=212 C.a0+a2+a4+…+a12=  D.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a12|=1     ABC 第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,(2-3x)12的展开式中所有项的二项式系数的和为212,A正确; 对于B,令x=0,得a0=212,B正确; 对于C,令x=1,得a0+a1+a2+…+a12=(2-3)12=1①, 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a11+a12=(2+3)12=512②, ①+②得2(a0+a2+a4+…+a12)=512+1, 即a0+a2+a4+…+a12= ,C正确; 对于D,(2-3x)12的二项式通项为Tr+1= 212-r(-3x)r= 212-r(-3)rxr, 故a0,a2,…,a12为正数,a1,a3,…,a11为负数,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a12|=a0-a1+a2-…+a12=512,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026湖南益阳质量监测]若(x+1)(x-2)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则 ( ) A.a0=-64 B.a7=64 C.a0+a1+a2+…+a7=2 D.a1+a3+a5+a7=a2+a4+a6     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,令x=0,得1×(-2)6=a0, 即a0=64,故A错误; 对于B,(x-2)6的二项式通项为Tr+1= x6-r(-2)r,r∈{0,1,2,3,4,5,6}, 令6-r=6,得r=0, 所以a7= (-2)0=1,故B错误; 对于C,令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=2×(-1)6=2①,故C正确; 对于D,令x=-1,得a0-a1+a2-…-a7=0②,  得a0+a2+a4+a6=1, 所以a2+a4+a6=1-64=-63,  得a1+a3+a5+a7=1, 所以a1+a3+a5+a7=a2+a4+a6不成立,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2026湖北十一校质量检测]若 (n∈N+)的展开式中所有项的系数之和为an,所有项的 系数的绝对值之和为bn,所有项的二项式系数之和为cn,则 ( ) A.bn=  B.∃n∈N+,使得an>bn>cn C. + ≥  D.对任意n∈N+,均有an+bn≤cn     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　令x=1,得an= , 求所有项的系数的绝对值之和等价于求 的所有项的系数之和, 令x=1,得bn= ,故A正确; 所有项的二项式系数之和cn=2n, 当n∈N+时, < <2n, 所以an<bn<cn,故B错误;  + =3n+ ,因为3n≥3,且y=3n+ 在n∈N+上单调递增,所以3n+ ≥3+ = ,所以 + ≥ ,故C正确; 因为 + = + 在n∈N+上单调递减, 所以 + = + ≤ + =1,即an+bn≤cn,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[多选题][2025浙江绍兴阶段检测]已知(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6+a7(x-1)7,则 ( ) A.a0=1　　　 　    B.a1+a2+a3+…+a7=37-1 C.a5=-672　　　    D. + + +…+ =127 ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,令x=1,可得a0=(2-1)7=1,故A正确; 对于B,令x=2,可得a0+a1+a2+…+a6+a7=(4-1)7=37,所以a1+a2+…+a6+a7=37-a0=37-1,故B正确; 对于C,(2x-1)7=[1+2(x-1)]7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6+a7(x-1)7, T6=T5+1= ×12×[2(x-1)]5=672(x-1)5, 所以a5=672,故C错误; 对于D,令x= ,可得 =a0+a1 +a2 +…+a6 +a7 ,所以a0+ + + +…+ = 27=128,又a0=1, 所以 + + +…+ =127,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　杨辉三角问题 10.[多选题][2025江苏连云港月考]“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,最早出现在南宋数 学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中 的一种几何排列规律,如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是 ( ) A.2 024行从左往右第1 012个数与第1 014个数相等 B. + + +…+ =330 C.记第10行的第i个数为ai,则 (i-1)ai=5 120 D.记第n行的第i个数为bi,则 4i-1bi=5n-4n     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,第2 024行从左往右第1 012个数为 ,第1 014个数为 ,  = ,故A正确; 对于B,由 + = 可得 + + +…+ = + + + +…+ - = + + +…+ - = - = 329,故B不正确; 对于C,因为i =i·  =i·  =n· =n , 所以 (i-1)ai=0× +1× +2× +…+10× =10× +10× +10× +…+10× =10×29=5 120,故C正确; 对于D,bi= , 则 4i-1bi=40× +41× +42× +…+4n-1× +4n× -4n× =(1+4)n-4n=5n-4n,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[多选题][2025江西景德镇期中质量检测]在探究(a+b)n的展开式的二项式系数性质时,借助图1发现了 二项式系数的一些规律,我们称这个图为杨辉三角.小明在学完杨辉三角之后进行类比探究,将(1+x+x2)n 的展开式按x的升幂排列,其各项系数如图2所示.     第1讲　描述运动的基本概念 若图2中第n行的第m个数用 表示,即(1+x+x2)n的展开式中xm的系数为 ,则 ( ) A. =15 B. =  C. = + + (1≤k≤2n-1,k∈N+) D.  -  +  -  +…+  =0     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题图2可知,每一行的每一个数等于其上一行头顶和左、右肩上共三个数的和(没有的用0代替), 所以 = + + (2≤m≤2n-1,m∈N+).对于A, = + + =4+10+16=30,故A错误. 对于B, =1= , =3= , =6= , =10= ,以此类推, = ,故B正确. 对于C, = + + (1≤k≤2n-1,k∈N+),故C正确. 对于D,(1+x+x2)2 024= + x+…+ x2 024+…+ x4 048, (1-x)2 024= - x+…- x2 023+ x2 024= - x+…+ x2 024, 所以(1+x+x2)2 024(1-x)2 024=( + x+…+ x2 024+…+ x4 048)·( - x+…+ x2 024), 所以(1+x+x2)2 024(1-x)2 024的展开式中x2 024的系数为  -  +  -  +…+   ,易得(1+x+x2)2 024(1-x)2 024=(1-x3)2 024,其二项式通项为Tr+1= ·(-x)3r=(-1)3r x3r(r∈Z,0≤r≤2 024), 因为2 024=3×674+2,所以(1-x3)2 024的展开式中x2 024的系数为0, 所以  -  + · -  +…+  =0,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 $