第3章 07-思想方法练3（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了空间向量与立体几何的核心内容，包括空间向量的线性运算、数量积、坐标表示及应用，通过专题专项练将转化与化归、函数与方程思想融入立体几何证明与求值问题，构建“知识-思想-应用”的逻辑网络，帮助学生理解知识点间的内在联系。 其亮点在于采用“思想方法引领-高考真题突破-分层训练提升”的复习模式，如通过正方体翻折问题展示转化与化归思想，用向量法解决二面角最值问题培养数学思维，设计从基础选择到竞赛探究的分层练习。这种设计发展学生空间观念与创新意识，教师可依托资料精准实施个性化复习，提升学生知识巩固与解题能力。

第三章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法练3 专题专项练 第1讲　描述运动的基本概念 一、转化与化归思想在立体几何中的应用 1.[多选题][2025江西三新协同教研共同体联考]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,动点M满足  =x +y +z (x≥0,y≥0,z≥0),则下列说法正确的是 ( ) A.当x∈[0,1],y=z=1时,|B1M|+|MD|的最小值为  B.当x=z=1,y= 时,过点B,D,M的截面面积为  C.当x+y+z=1,且|C1M|= 时,点M的轨迹的长度为2π D.当y=x,z=1时,三棱锥B-CDM的体积为      BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图1所示的空间直角坐标系,   则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),C1(2,2,2), 故  =(2,0,0), =(0,2,0), =(0,0,2). 对于A,由 =x + + =(2x,2,2),得M(2x,2,2),故M在线段C1D1上, 沿C1D1将平面A1B1C1D1翻折, 使得平面DCC1D1与平面A1B1C1D1处于同一平面内(如图2所示), 第1讲　描述运动的基本概念   连接B1D,易得|B1M|+|MD|≥|B1D|= =2 ,故A错误; 将空间问题平面化,利用“两点间线段最短”求最小值. 对于B,由 = +  + =(2,1,2), 得M(2,1,2),故M为B1C1的中点,取C1D1的中点N,连接BM,MN,ND,BD, 易得MN∥BD,所以平面MNDB即为过点B,D,M的截面, 第1讲　描述运动的基本概念 易知此截面为等腰梯形, BD=2 ,MN= ,ND= , 则其高为 = , 故其面积为 ×( +2 )× = ,故B正确; 对于C,由空间向量基本定理可知,M在平面BDA1内, 由A得 =(0,2,2), =(-2,2,0), =(-2,0,2), 设n=(a,b,c)为平面BDA1的一个法向量, 则  第1讲　描述运动的基本概念 取a=1,则n=(1,1,1), 则点C1到平面BDA1的距离d= = = ,又|C1M|= , 所以M在平面BDA1内且以 =1为半径的圆上, 正△BDA1的内切圆的半径为 = = , 因为 <1,所以M的轨迹为三段圆弧(如图3所示),其长度一定小于圆的周长2π,故C错误; 第1讲　描述运动的基本概念   对于D,由 =x +x + =(2x,2x,2),得M(2x,2x,2), 故M在A1C1上,故VB-CDM=VM-BCD= ×S△BCD×|CC1|= ,利用等体积法求三棱锥的体积.故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西上饶玉山第一中学集中训练]如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD 是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,且PA=AD=2,AB=BC=1,PB= ,E为PD的中点. (1)证明:CD⊥平面PAC; (2)求点P到平面ACE的距离; (3)求二面角E-AC-D的平面角的余弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:在△PAB中,由PA=2,AB=1,PB= ,得PB2=PA2+AB2, 所以PA⊥AB, 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PA⊂平面PAB, 所以PA⊥平面ABCD, 又CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD, 在直角梯形ABCD中,AC= = ,CD= = ,AD=2, 所以AC2+CD2=AD2,所以AC⊥CD, 将证明线面垂直转化为证明线线垂直. 又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, 所以CD⊥平面PAC. (2)由(1)知PA⊥平面ABCD, 第1讲　描述运动的基本概念 因为AD∥BC,∠ABC=90°,所以AB⊥AD, 以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1), 所以 =(0,0,2), =(1,1,0), =(0,1,1). 设n=(x,y,z)为平面ACE的一个法向量, 则  取x=1,得y=-1,z=1, 所以n=(1,-1,1), 所以点P到平面ACE的距离d= = . 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由(2)可得平面ACE的一个法向量为n=(1,-1,1), 由(1)知PA⊥平面ABCD,所以平面ACD的一个法向量为 =(0,0,2), 则cos< ,n>= = , 由图知二面角E-AC-D的平面角为锐角, 将空间二面角的平面角的余弦值转化为两平面的法向量夹角的余弦值(或其绝对值). 所以二面角E-AC-D的平面角的余弦值为 . 思想方法　转化与化归思想在本章中的应用主要表现在:将立体几何中的位置关系转化为空间两向量 的关系(线性表示或数量积表示)或将空间角与空间距离的计算转化为空间两向量的相关运算,并结合 所学的相关性质与定理进行求解. 第1讲　描述运动的基本概念 二、函数与方程思想在立体几何中的应用 3.[2026河北邯郸五校期中联考]如图,在四棱锥D-OABC中,底面OABC是平行四边形,∠AOC=∠AOD= ∠COD= ,OA=OC=OD=1,E是AD的中点,F是CD的中点,过O,E,F三点的平面与BD相交于点G,则OG=  ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设 =a, =b, =c, 则|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c两两夹角为 , 所以a·b=a·c=b·c=1×1×cos = , 因为E是AD的中点, 所以 = ( + )= a+ c, 同理 = ( + )= b+ c, 易得 = - =( + )- =a+b-c, 因为点G在BD上, 所以设 =t =ta+tb-tc, 所以 = + =c+ta+tb-tc=ta+tb+(1-t)c. 第1讲　描述运动的基本概念 因为O,E,F,G四点共面, 所以存在唯一的有序实数对(λ,μ),使得 =λ +μ =λ +μ = λa+ μb+ (λ+μ)c, 由四点共面的充要条件将 用基{a,b,c}线性表示. 故 λa+ μb+ (λ+μ)c=ta+tb+(1-t)c, 所以 解得  由空间向量基本定理的唯一性列出方程组. 所以 = a+ b+ c, 第1讲　描述运动的基本概念 所以| |= =  =  = = = , 故OG= . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025山东名校检测]如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥AB且PB=PD,底面ABCD是边长为2 的菱形,∠ BAD= . (1)证明:平面PAC⊥平面ABCD; (2)若直线CP与平面ABCD夹角的正弦值为 ,Q为棱CP上的动点(不包括端点),求二面角A-BQ-C的正弦 值的最小值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:连接BD交AC于点O,连接OP, 因为PB=PD,O是BD的中点, 所以BD⊥OP, 在菱形ABCD中,BD⊥AC, 又AC∩OP=O,AC,OP⊂平面PAC, 所以BD⊥平面PAC, 又BD⊂平面ABCD, 故平面PAC⊥平面ABCD. (2)过P作PH⊥AC于点H,连接DH, 因为平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,PH⊂平面PAC, 所以PH⊥平面ABCD, 第1讲　描述运动的基本概念 因此∠PCH为直线CP与平面ABCD的夹角,故sin∠PCH= = , 由PH⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD, 知PH⊥AB, 又PD⊥AB,PD∩PH=P,PD,PH⊂平面PDH,故AB⊥平面PDH, 又DH⊂平面PDH,故AB⊥DH, 结合BD⊥AH可知H为△ABD的垂心, 因为底面ABCD是边长为2 的菱形,∠BAD= ,所以△ABD为等边三角形, 因此H为△ABD的重心, 所以AO= AB=3,AH= AO=2,OH= AO=1,OC=AO=3,OB=OD= , 以O为原点,OB,OC所在直线分别为x轴、y轴,过O作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念 因为sin∠PCH= = , 所以cos∠PCH= = ,CH=4, 故PC=5,PH=3, 则A(0,-3,0),C(0,3,0),B( ,0,0),P(0,-1,3). 设 =m =(0,-4m,3m), 故Q(0,3-4m,3m)(0<m<1), 设平面ABQ的一个法向量为m=(x,y,z), 易得 =( ,3,0), =(0,6-4m,3m), 则  第1讲　描述运动的基本概念 取y=-3m,则m=(3 m,-3m,6-4m), 设平面BCQ的一个法向量为n=(x0,y0,z0), 易得 =( ,-3,0), =(0,-4m,3m), 则  取x0= ,则n= , 设二面角A-BQ-C的平面角为θ, 则|cos θ|=|cos<m,n>|=  =  第1讲　描述运动的基本概念 = ,0<m<1, 令8+ m=t, 则m= (t-8),8<t< , |cos θ|= , < < , 因为y= - + = + ≥ , 换元法,令8+ m=t,得关于 的二次函数,由二次函数的性质求最值. 第1讲　描述运动的基本概念 所以|cos θ|= ≤ = , 当且仅当t= ,即m= 时取等号, 故|cos θ|的最大值为 , 因此sin θ的最小值为 = .   第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　函数思想在本章的应用主要体现在“运动问题”和“最值问题”中,构造出函数后一定要 注意在定义域的约束下去求最值.有时需要利用基本不等式求最值,此时要注意满足基本不等式适用的 条件;方程思想在本章中的应用主要体现在探索性问题中,通过设置参数,建立方程(组)来解决问题. 第1讲　描述运动的基本概念 五年高考练 第1讲　描述运动的基本概念 考点1　用向量法解决立体几何中的证明、求值问题 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2023全国乙理,19]如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2 ,PB=PC= ,BP,AP,BC的中点分 别为D,E,O,AD= DO,点F在AC上,BF⊥AO. (1)证明:EF∥平面ADO①; (2)证明:平面ADO⊥平面BEF; (3)求二面角D-AO-C的正弦值②. ①关键点拨　证明F是AC的中点;对点突破    P404疑难1 ②心中有“数”　结合定义转化,用向量法求解;对点突破　P405疑难2   第1讲　描述运动的基本概念 思路探究 (1)证明的关键是在平面ADO中找与EF平行的线,观察题图知可证明EF∥DO,由“中点D,E,O”可知要 证F为AC的中点,由条件不易直接证明,故联想到用向量法解决. (2)证明的关键是寻找其中一个平面内的某条直线与另一平面内的两条相交直线垂直,显然直线AO为 “目标直线”,已知AO⊥BF,再找另一垂直关系即可(AO⊥EF). (3)易在二面角的两个半平面内找到与棱垂直的直线,故考虑两直线的方向向量的夹角. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:由题可知,| |=2 , 设 =λ ,0≤λ≤1, ∵ · =| || |cos∠BAC=2×2 × =4,BF⊥AO, ∴ · =(λ - )· = | |2- | |2+  · =8λ-4=0,解得λ= ,∴F为AC的中点. 连接OF,DE,则OF∥AB,OF= AB, ∵DE∥AB,DE= AB, ∴DE∥OF,DE=OF, ∴四边形ODEF为平行四边形, ∴EF∥OD, 第1讲　描述运动的基本概念 ∵OD⊂平面ADO,EF⊄平面ADO, ∴EF∥平面ADO. (2)证明:∵O为BC的中点, ∴OB= BC= ,又AB=2,AB⊥BC, ∴AO= = =PC=2OD, 又AD= OD, ∴AD2=AO2+OD2,即AO⊥OD, ∵EF∥OD,∴AO⊥EF, ∵BF⊥AO,BF∩EF=F,BF,EF⊂平面BEF, ∴AO⊥平面BEF,∵AO⊂平面ADO, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴平面ADO⊥平面BEF. (3)设二面角D-AO-C的平面角为θ,由题图可知θ为钝角, ∵AO⊥OD,AO⊥BF, ∴θ为 和 的夹角. 由题意得| |= | |= ,| |= | |= , = ( + )= ( - +2 )= ( -3 ), · =0, 在△OBD中,BD=OD= ,OB= , 则cos∠BOD= = ,∴ · =| |·| |·cos∠BOD= × × =1, ∴cos θ= =  第1讲　描述运动的基本概念 = = =- , ∴sin θ= = , ∴二面角D-AO-C的正弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 翻页 解后反思　求二面角的方法有两种:①定义法;②向量法.对于本题,已知AO⊥OD,AO⊥BF,所以可平移 BF,然后利用定义求解,但步骤有点烦琐,从而可直接利用向量 与 的夹角解决.此外,本题也可通过 建系求解,计算相对烦琐. 第1讲　描述运动的基本概念 考点2　用坐标法解决立体几何中的证明、求值问题 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025全国一卷,17]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD. (1)证明:平面PAB⊥平面PAD; (2)设PA=AB= ,BC=2,AD=1+ ,且点P,B,C,D均在球O的球面上. (i)证明:点O在平面ABCD内; (ii)求直线AC与PO所成角的余弦值.   思路探究 (1)欲证平面PAB⊥平面PAD,只需找线面垂直,注意到题干中PA⊥平面ABCD,以及AB⊥AD,故只需证 第1讲　描述运动的基本概念 AD⊥平面PAB. (2)(i)建立空间直角坐标系得P,B,C,D的坐标,设O(x,y,z),利用点P,B,C,D均在球O的球面上,得OP=OB=OC =OD,利用两点间的距离公式得方程组,从而得到x,y,z的值,即可求出点O的坐标,判断点O的位置,即可得 点O在平面ABCD内. (ii)思路一:求直线AC和PO的方向向量,再求这两向量的夹角的余弦值,可得结论. 　　思路二:求出AC的长,过点O作AC的平行线,交BC的延长线于C1,连接AC1,PC1,利用勾股定理求出AC 1的长,进而得出PC1的长,在△POC1中由余弦定理求出cos∠POC1,即可得直线AC与直线PO所成角的余 弦值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为PA⊥底面ABCD,AD⊂底面ABCD,所以PA⊥AD, 又AB⊥AD,AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB, 所以AD⊥平面PAB,又AD⊂平面PAD,所以平面PAB⊥平面PAD. (2)由(1)知PA,AB,AD两两垂直. 以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图, 则P(0,0, ),A(0,0,0),D(0,1+ ,0),C( ,2,0),B( ,0,0).   第1讲　描述运动的基本概念 (i)证明:设O(x,y,z), 则OP= , OB= , OC= , OD= , 由OP=OB=OC=OD, 解得x=z=0,y=1, 则O(0,1,0), 故O在线段AD上, 即点O在平面ABCD内. (ii)解法一:因为 =( ,2,0), =(0,1,- ), 第1讲　描述运动的基本概念 所以cos< , >= = = , 故直线AC与PO所成角的余弦值为 . 解法二:在Rt△PAO中,PO= = , 因为AB⊥AD,BC∥AD,所以AB⊥BC, 在Rt△ABC中,AB= ,BC=2, 由勾股定理得AC= = = , 过点O作AC的平行线,交BC的延长线于C1,连接AC1,PC1,   第1讲　描述运动的基本概念 则OC1=AC= ,直线AC与直线PO所成角即为∠POC1或其补角. 在Rt△ABC1中,AB= ,BC1=BC+CC1=2+1=3,由勾股定理得AC1= = = , 因为PA⊥平面ABCD,AC1⊂平面ABCD, 所以PA⊥AC1, 在Rt△APC1中,PA= ,AC1= , 由勾股定理得PC1= = = , 在△POC1中,由余弦定理得cos∠POC1= = =- . 故直线AC与直线PO所成角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025全国二卷,17]如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD, AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A'①,使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角 为60°. (1)证明:A'B∥平面CD'F; (2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值. ①心中有“数”　翻折问题,明确翻折前后变与不变的量   第1讲　描述运动的基本概念 真题降维 第1讲　描述运动的基本概念 信息提取 信息处理 将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A' 翻折中,四边形EFDA的平行性与长度都不变 在四边形ABCD中,AB∥CD,EF∥AD 用线面平行判定定理得A'E∥平面CD'F及EB∥平 面CD'F,用面面平行判定定理得平面A'EB∥平面 CD'F,最后用面面平行的性质,即可证A'B∥平面 CD'F 求二面角的正弦值 以点F为原点建系,求平面BCD'与平面EFD'A'的法 向量,代入公式求得二面角的余弦值,再利用同角 三角函数的基本关系式,得二面角的正弦值 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:设AD=1,则AB=3,CD=2, 因为F为CD的中点,所以DF=1, 因为AB∥CD,所以AE∥DF, 所以A'E∥D'F, 又D'F⊂平面CD'F,A'E⊄平面CD'F, (避易错:由线线平行,证明线面平行,注意“面内的线与面外的线”的说明,否则,易丢分) 所以A'E∥平面CD'F, 因为FC∥EB,FC⊂平面CD'F,EB⊄平面CD'F,所以EB∥平面CD'F, 又EB∩A'E=E,EB,A'E⊂平面A'EB, (避易错:由线面平行,证明面面平行,注意“线不在多,重在相交”的说明) 所以平面A'EB∥平面CD'F, 第1讲　描述运动的基本概念 又A'B⊂平面A'EB, (避易错:由面面平行,证明线面平行,注意“线在面内”的说明) 所以A'B∥平面CD'F. (2)因为∠DAB=90°,所以AD⊥AB, 又AB∥FC,EF∥AD,所以EF⊥FC, 以F为原点,FE,FC所在直线分别为x轴、y轴,过F作垂直于平面BEFC的直线为z轴,建立空间直角坐标 系.   第1讲　描述运动的基本概念 因为D'F⊥EF,CF⊥EF,平面EFD'A'与平面EFCB所成二面角为60°, 所以∠D'FC=60°, 则B(1,2,0),C(0,1,0),D' ,E(1,0,0),F(0,0,0). 所以 =(-1,-1,0), = , =(1,0,0), = . 设n=(x,y,z)为平面BCD'的一个法向量, 则 即  令y= ,则n=(- , ,1). 设m=(x1,y1,z1)为平面EFD'A'的一个法向量, 第1讲　描述运动的基本概念 则 即  令y1= ,则m=(0, ,-1), 则cos<m,n>= = . 设平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角的大小为θ, 由图可知θ为锐角,则cos θ= , 所以sin θ= = = , 则平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角的正弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 翻页 解题技法　破解翻折问题的关键:一是确定翻折前后变与不变的量(图形位置、数量关系),一般位于 “折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间 的位置关系可能会发生变化;二是确定翻折后关键点的位置,所谓的关键点是指翻折过程中运动变化的 点,因为这些点的位置移动会带动与其相关的点、线、面的关系变化,所以只有分析清楚关键点的准确 位置,才能以此确定其他点、线、面的位置,进而进行有关的证明与计算. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025天津,17]如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,E,F分别为A1D1,C1B1的中点,CG=3GC1. (1)求证:GF⊥平面FBE; (2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值; (3)求三棱锥D-FBE的体积.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证法一:在正方形BCC1B1中, 由条件易知tan∠C1FG= = = =tan∠B1BF,所以∠C1FG=∠B1BF, 则∠B1FB+∠B1BF= =∠C1FG+∠B1FB, 故∠BFG=π-(∠C1FG+∠B1FB)= ,即FG⊥BF, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知D1C1⊥平面BCC1B1,且EF∥D1C1, 所以EF⊥平面BCC1B1, 又FG⊂平面BCC1B1,所以EF⊥FG. 因为EF∩BF=F,EF,BF⊂平面FBE, 所以GF⊥平面FBE. 证法二:如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,则B(4,4,0),E(2,0,4),F(2,4,4),G(0,4,3), 第1讲　描述运动的基本概念 所以 =(0,4,0), =(2,4,-4), =(-2,0,-1), 设平面FBE的一个法向量是m=(a,b,c), 则  令a=2,则c=1,所以m=(2,0,1), 易知 =-m,则 也是平面FBE的一个法向量,所以GF⊥平面FBE. (2) =(-2,4,-1), =(-4,0,3). 设平面EBG的一个法向量为n=(x,y,z), 所以  令x=6,则z=8,y=5,即n=(6,5,8), 第1讲　描述运动的基本概念 由(1)知 是平面FBE的一个法向量, 设平面FBE与平面EBG的夹角为α, 则cos α=|cos< ,n>|=  = = . (3)由(1)知EF⊥平面BCC1B1, 因为FB⊂平面BCC1B1, 所以EF⊥FB. 所以S△BEF= EF·BF= ×4× =4 , 又 =(2,0,4),则点D到平面FBE的距离d= = , 第1讲　描述运动的基本概念 故VD-FBE= d·S△BEF= × ×4 = .   第1讲　描述运动的基本概念 5.[2024新课标Ⅰ,17]如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB= . (1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC; (2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为 ,求AD. ①心中有“数”　向量法和几何法解决二面角问题;对点突破    P412疑难5   考教衔接 本题来源于教材P142第22题,都是以有一条侧棱垂直于底面的四棱锥为背景考查二面角问题,不同之处 是教材的题目是求二面角的余弦值,高考题是知二面角的正弦值求棱长,考查逆向思维,难度略有拔高, 第1讲　描述运动的基本概念 加强了对学生识图、用图及运算求解能力的考查. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AD, 又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PA⊂平面PAB, 由线线垂直证线面垂直,注意“线不在多,重在相交”的说明. 所以AD⊥平面PAB,而AB⊂平面PAB,所以AD⊥AB. 在△ABC中,AC=2,BC=1,AB= , 所以BC2+AB2=AC2,所以BC⊥AB, 所以AD∥BC, 又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC, 所以AD∥平面PBC. (2)解法一:以D为原点,DA,DC所在直线分别为x轴、y轴,过点D作平面ABCD的垂线为z轴,建立如图所示 的空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念 (方法技巧:线线垂直与线面垂直的垂足不重合时,一般做“平移”处理)   则D(0,0,0), 设AD=m(m>0),则DC= , 则A(m,0,0),P(m,0,2),C(0, ,0), 故 =(-m, ,0), =(0,0,2), =(m,0,2), =(0, ,0), 设平面ACP的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 第1讲　描述运动的基本概念 则 即  不妨取x1= , 则n1=( ,m,0). 设平面DCP的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 即  不妨取z2=m,则n2=(-2,0,m). 因为二面角A-CP-D的正弦值为 , 所以|cos<n1,n2>|= = = , 第1讲　描述运动的基本概念 解得m= (舍负),所以AD= . 解法二:因为PA⊥底面ABCD,PA⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD. 过D作DH⊥AC交AC于点H, 易知DH⊥平面PAC, 又PC⊂平面PAC,所以DH⊥PC, 过点H作HQ⊥PC交PC于点Q,连接DQ, 又DH∩HQ=H,DH,HQ⊂平面DHQ, 所以PC⊥平面DHQ, 又DQ⊂平面DHQ,所以PC⊥DQ, 所以∠DQH即为二面角A-CP-D的平面角. 在Rt△HQC中,设HQ=x,x>0, 第1讲　描述运动的基本概念 则HC= x,AH=2- x,DH2=AH·HC=2 x-2x2,DQ2=DH2+HQ2=2 x-x2, 所以sin∠DQH= = = ,解得x= . 故AH= ,DH= , 所以AD= = .   第1讲　描述运动的基本概念 翻页 高考风向　用向量法解决立体几何问题,近些年设置的另一个障碍是关键点的坐标不易求出,解题时通 常是先设后求. 易错警示　在向量法中,注意区分异面直线的夹角、线面角与面面角的公式:   第1讲　描述运动的基本概念 6.[2023全国甲理,18]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1 的距离为1. (1)证明:A1C=AC; (2)已知AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:∵A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴A1C⊥BC,∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC, 又AC∩A1C=C,AC,A1C⊂平面AA1C1C, ∴BC⊥平面AA1C1C. 又∵BC⊂平面BCC1B1, ∴平面BCC1B1⊥平面AA1C1C. 过A1作A1H⊥CC1,垂足为H, 又平面BCC1B1⊥平面AA1C1C,平面BCC1B1∩平面AA1C1C=CC1,A1H⊂平面AA1C1C, ∴A1H⊥平面BCC1B1,∴A1H=1, 易知∠CA1C1=90°,在Rt△A1CC1中,CC1=2=2A1H, ∴H为CC1的中点,∴△A1CC1为等腰直角三角形, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴A1C=A1C1.易知AC􀱀A1C1,∴A1C=AC. (2)以C为坐标原点,CA,CB,CA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,在平面BCC1B1内过 H作HQ∥BC,交BB1于点Q,连接A1Q,如图.   易知CC1⊥A1H,CC1⊥HQ,CC1􀱀BB1, 又A1H∩HQ=H,A1H,HQ⊂平面A1HQ, ∴CC1⊥平面A1HQ,∴BB1⊥平面A1HQ, 第1讲　描述运动的基本概念 又A1Q⊂平面A1HQ, ∴BB1⊥A1Q,∴A1Q=2, ∴在Rt△A1HQ中,HQ= , 易知A1C=AC= , 则A( ,0,0),B1(- , , ),C1(- ,0, ),B(0, ,0), ∴ =(-2 , , ), =(0, ,0), =(- ,0, ). 设平面BCC1B1的一个法向量为n=(x,y,z), 则 即  取x=1,得n=(1,0,1). 设直线AB1与平面BCC1B1所成的角为θ, 第1讲　描述运动的基本概念 则sin θ=|cos< ,n>|=  将线面角的正弦值转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值,注意绝对值不能 漏写. = = . ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2024天津,17]如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB∥DC,AB=AA1=2,AD= DC=1,M,N分别为DD1,B1C1的中点. (1)求证:D1N∥平面CB1M; (2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值; (3)求点B到平面CB1M的距离.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:取B1C的中点P,连接NP,MP, 又N为B1C1的中点, 所以在△B1CC1中,NP∥CC1,NP= CC1, 因为M是DD1的中点,DD1∥CC1, 所以D1M= DD1= CC1,且D1M∥CC1, 则有D1M∥NP,D1M=NP,故四边形D1MPN是平行四边形, 所以D1N∥MP,又MP⊂平面CB1M,D1N⊄平面CB1M, 所以D1N∥平面CB1M. (2)已知A1A⊥平面ABCD,AD⊥AB, 所以以A为原点,建立空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念 因为AB=AA1=2,AD=DC=1, 所以B(2,0,0),C(1,1,0),B1(2,0,2),M(0,1,1), 所以 =(1,-1,2), =(-1,0,1), =(0,0,2). 设平面CB1M与平面BB1C1C的一个法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2). 则    则z2=0,分别取x1=1,x2=1,得y1=3,z1=1,y2=1, 所以m=(1,3,1),n=(1,1,0), 第1讲　描述运动的基本概念 则|cos<m,n>|= = , 故平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为 . (3)由(2)知 =(0,0,2),平面CB1M的一个法向量为m=(1,3,1), 则 = = , 即点B到平面CB1M的距离为 .   第1讲　描述运动的基本概念 考点3　用空间向量解决立体几何中的最值问题 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2021全国甲理,19]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1 的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1. (1)证明:BF⊥DE; (2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:∵BF⊥A1B1,B1B⊥A1B1,BF∩B1B=B, ∴A1B1⊥平面B1C1CB. ∵AB∥A1B1,∴AB⊥平面B1C1CB. 又∵BC⊂平面B1C1CB,∴AB⊥BC. 以B为坐标原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略), 则B(0,0,0),F(0,2,1),E(1,1,0), ∴ =(0,2,1). 设B1D=a(0≤a≤2),则D(a,0,2), 则 =(1-a,1,-2). ∵ · =(0,2,1)·(1-a,1,-2)=0×(1-a)+2×1+1×(-2)=0,∴BF⊥DE. (2)由(1)知 =(-1,1,1), =(a,-2,1). 第1讲　描述运动的基本概念 设平面DFE的一个法向量为n=(x,y,z), 则  不妨设x=1,则y= ,z= , ∴n= . 易知m=(1,0,0)是平面BB1C1C的一个法向量. 设平面BB1C1C与平面DFE所成的锐二面角的大小为θ, 则cos θ=|cos<m,n>|=  =  第1讲　描述运动的基本概念 = ≤  =  , ∴sin θ= ≥ , 故当a= ,即B1D= 时,平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小,最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 翻页 解后反思　直线上的动点通常通过设与动点有关的线段的长度为参数,也可以利用三点共线来引入参 数(如由B1,D,A1三点共线可设 =(1-λ) +λ );平面内的动点可利用四点共面来引入参数.通过参数 建立函数关系式,利用函数知识求最大(小)值. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2020全国新高考Ⅰ,20]如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面 PBC的交线为l. (1)证明:l⊥平面PDC; (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.   思路探究 (1) →AD⊥平面PDC  l⊥平面PDC; 第1讲　描述运动的基本概念 (2) →建立空间直角坐标系→找点的坐标→求出 及平面QCD的法向量n→计算线面 角的正弦值→求正弦值的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为PD⊥底面ABCD, 所以PD⊥AD.因为底面ABCD为正方形, 所以AD⊥DC.又DC∩PD=D,DC,PD⊂平面PDC,所以AD⊥平面PDC. 因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC, 所以AD∥平面PBC. 由已知得l∥AD,因此l⊥平面PDC. (2)以D为坐标原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系D-xyz(图略), 则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1), 所以 =(0,1,0), =(1,1,-1). 由(1)可设Q(a,0,1),则 =(a,0,1). 设n=(x,y,z)是平面QCD的一个法向量, 第1讲　描述运动的基本概念 则 即  取x=-1,则y=0,z=a,所以n=(-1,0,a). 所以cos<n, >= = . 设PB与平面QCD所成的角为θ, 则sin θ= × =  . 因为  ≤ , 当且仅当a=1时等号成立, 所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 翻页 解后反思    (1)证明线面垂直最常用的方法是线面垂直的判定定理,而本题中直线l不易作出,直接证明 比较困难,通过线面平行的性质定理可以判定直线l∥AD,从而将问题转化为证明AD⊥平面PDC,问题 得证. (2)建立空间直角坐标系,利用向量法求解.先用变量表示出PB与平面QCD所成角的正弦值,再转化为函 数最值问题,此类问题要注意变量的取值范围,避免最终结果出错. 第1讲　描述运动的基本概念 学科竞赛 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025重庆高中数学联赛]四面体ABCD满足AB⊥BC,BC⊥CD,CD⊥AB,AB=BC=CD=1,设AB,BC,CD 的中点分别为L,M,N,则点M到直线LN的距离为_________.           第1讲　描述运动的基本概念 解析　以点B为原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标 系, 则L ,M ,N , 所以 = ,  = , 所以点M到直线LN的距离d= = .   第1讲　描述运动的基本概念 三年模拟练 第1讲　描述运动的基本概念 应用实践 第1讲　描述运动的基本概念 1.[多选题][2025江西八校协作体第一次联考]下列命题中正确的是 ( ) A.若两个不同平面α,β的一个法向量分别是u=(1,2,-3),v=(-2,-4,6),则α⊥β B.若 =(3,-1,-2), =(4,2,1), =(2,-4,-5),则点P在平面ABC内 C.已知A(0,1,0),B(1,2,0),则与 方向相同的单位向量是(1,1,0) D.若{a+b,b+c,c+a}是空间向量的一组基,则{a,b,c}也是空间向量的一组基     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为u=(1,2,-3),v=(-2,-4,6), 所以v=-2u,所以α∥β,故A错误; 因为 =(2,-4,-5)=2(3,-1,-2)-(4,2,1)=2 - , , 不共线,所以 , , 共面,即点P在平面ABC内, 故B正确; 易得 =(1,1,0),所以与 方向相同的单位向量是 ,故C错误; 因为{a+b,b+c,c+a}是空间向量的一组基,所以对于空间任一向量d,存在唯一的实数组(x,y,z),使得d=x(a+ b)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c成立,故{a,b,c}也是空间向量的一组基,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026广东东莞中学、深圳大学附属中学第一次检测]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD = ,侧棱PA⊥平面ABCD,AB=PA=2 ,则三棱锥P-BCD的外接球的表面积为 ( ) A.25π　　    B.36π　　    C.48π　　    D.64π     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接AC,BD,记AC∩BD=O,O为AC,BD的中点,在菱形ABCD中,AC⊥BD,AB=BC=CD=AD, 又∠BAD= , 所以△ABD,△BCD均为等边三角形, 则OA=OC=3,OB=OD= . 以O为坐标原点,OD,OC所在直线分别为x轴、y轴,过O作垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立如图所示 的空间直角坐标系,   则B(- ,0,0),P(0,-3,2 ), 第1讲　描述运动的基本概念 设外接球球心为M,球心M在平面BCD内的投影为△BCD的中心,记为M1, 则M(0,1,m),m>0,由BM=PM, 得 = , 解得m=2 ,则M(0,1,2 ), 所以外接球的半径R= = =4, 则外接球的表面积为4πR2=64π. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026湖南长沙雅礼中学质量检测]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 ,空间中的点M满足 =λ  +μ ,其中λ∈R,μ∈R,且 = ,则点M的轨迹的长度为( ) A.6π　　    B.3π　　    C.2 π　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图1,连接CD1,A1B,AB1,   图1 因为 =λ +μ , 所以M∈平面A1BCD1, 设E为AB1,A1B的交点, 则AE⊥A1B, 因为BC⊥平面AA1B1B,AE⊂平面AA1B1B,所以BC⊥AE, 第1讲　描述运动的基本概念 又BC∩A1B=B,BC,A1B⊂平面A1BCD1, 所以AE⊥平面A1BCD1, 连接ME,因为M∈平面A1BCD1, 所以ME⊂平面A1BCD1,所以AE⊥ME, 则MA2=ME2+AE2, 因为正方体的棱长为 , 所以A1B=AB1=2,所以AE=1, 所以MA2=ME2+1. 在平面A1BCD1内建立平面直角坐标系,如图2所示,则A1(0,0),B(2,0),E(1,0), 第1讲　描述运动的基本概念   图2 设M(x,y),x,y∈R, 则ME2=(x-1)2+y2=x2-2x+1+y2,MB2=(2-x)2+y2=x2-4x+4+y2, 所以MA2=ME2+1=x2-2x+1+y2+1=x2-2x+y2+2, 因为 = ,所以MA2=2MB2, 则x2-2x+y2+2=2(x2-4x+4+y2), 整理得x2-6x+y2+6=0,即(x-3)2+y2=3, 第1讲　描述运动的基本概念 故点M的轨迹是半径为 的圆, 所以点M的轨迹的长度为2π× =2 π. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026湖南邵阳联考]在正三棱柱ABC-A1B1C1中,2AB=AA1=2,M是BC的中点,N是线段CC1上的 动点,则 (___________) A.AM⊥CC1 B.正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为  C.若AB1⊥MN,则CN=  D.直线MN与AB1是异面直线     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为CC1⊥平面ABC,AM⊂平面ABC,所以AM⊥CC1,故A正确; 正三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=AA1·S△ABC=2× ×12×sin 60°= ,故B错误; 取B1C1的中点D,连接MD, 因为MC∥DC1,MC=DC1, 所以四边形MCC1D为平行四边形, 所以MD∥CC1,因为CC1⊥平面ABC, 所以MD⊥平面ABC, 又MA,MC⊂平面ABC, 所以MD⊥MA,MD⊥MC, 因为AB=AC,M为BC的中点, 第1讲　描述运动的基本概念 所以MA⊥BC,设CN=m(0≤m≤2), 以M为原点,MC,MA,MD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,   则M(0,0,0),A ,B1 ,N ,所以 = , = , 若AB1⊥MN,则 ⊥ , 所以 · =0, 则- +2m=0,解得m= , 所以CN= ,故C正确; 第1讲　描述运动的基本概念  = , = , = ,设 =λ +μ , 则 =λ +μ = , 则 解得  与m∈[0,2]矛盾, 所以 , , 不是共面向量, 故MN与AB1是异面直线,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025云南月考]如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为线段B1C上的动点(不包括端点),则下 列结论错误的是 ( )   A.当B1P=2PC时,AP=  B.当B1P=2PC时,点D1到平面A1BP的距离为1 C.直线A1P与BD的夹角可能是  D.若二面角B-A1P-B1的平面角的正弦值为 ,则 =  或 =       C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以A为原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(3,0,0),D(0,3,0),A1(0,0,3),C(3,3,0),B1(3,0,3),D1(0,3,3). 对于A,因为B1P=2PC,所以 =  = (0,3,-3)=(0,2,-2), 所以P(3,2,1),故 =(3,2,1), 则AP=| |= = ,A中结论正确; 对于B, =(0,3,0), =(3,0,-3), 因为B1P=2PC,所以P(3,2,1), 所以 =(3,2,-2), 设m=(x,y,z)为平面A1BP的一个法向量, 第1讲　描述运动的基本概念 则  即  取x=1,则y=- ,z=1, 故m= , 所以点D1到平面A1BP的距离为 =1,B中结论正确; 对于C,设 =λ (0<λ<1),则P(3,3λ,3-3λ), 所以 =(3,3λ,-3λ), 易得 =(-3,3,0), 第1讲　描述运动的基本概念 若直线A1P与BD的夹角为 , 则|cos< , >|=  = = , 解得λ=- (二重根),又λ∈(0,1), 所以直线A1P与BD的夹角不可能是 ,C中结论错误; 对于D, =(3,0,0), =(3,0,-3), 由C可知 =(3,3λ,-3λ), 设平面BA1P,平面B1A1P的一个法向量分别为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 第1讲　描述运动的基本概念 所以   即   分别令z1=1,z2=1, 则x1=1,y1=1- ,x2=0,y2=1, 故a= ,b=(0,1,1), 设二面角B-A1P-B1的平面角为θ, 则sin θ= , 第1讲　描述运动的基本概念 则|cos θ|= = = ,解得λ= 或λ= ,均符合题意,D中结论正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河北石家庄实验中学期中]如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC =2CF=2. (1)求证:BF∥平面ADE; (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值; (3)求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:因为CF∥AE,CF⊄平面ADE,AE⊂平面ADE, 所以CF∥平面ADE, 因为AD∥BC,BC⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,所以BC∥平面ADE, 又CF∩BC=C,CF,BC⊂平面BCF, 所以平面BCF∥平面ADE, 因为BF⊂平面BCF, 所以BF∥平面ADE. (2)因为AE⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,所以AE⊥AB,AE⊥AD,又AD⊥AB,所以AB,AD,AE两两互 相垂直. 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 第1讲　描述运动的基本概念   因为AB=AD=1,AE=BC=2CF=2, 所以B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2),则 =(-1,-2,2), =(-1,0,2), =(0,-1,2), 设平面BDE的一个法向量为m=(x,y,z), 则  令z=1,则x=2,y=2, 所以m=(2,2,1), 第1讲　描述运动的基本概念 所以|cos<m, >|= = = ,故直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 . (3)由(2)知,F(1,2,1), 则 =(0,2,1), =(-1,1,0), 设平面BDF的一个法向量为n=(a,b,c), 则 令c=-2,则a=1,b=1, 所以n=(1,1,-2), 由(2)知,平面BDE的一个法向量为m=(2,2,1), 所以|cos<m,n>|= = = , 第1讲　描述运动的基本概念 故平面BDE与平面BDF夹角的余弦值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 翻页 名师点睛 常见的建立空间直角坐标系的技巧 第1讲　描述运动的基本概念 1.利用共顶点且相互垂直的三条棱建系,如图1.   第1讲　描述运动的基本概念 2.利用线面垂直建系,如图2.   第1讲　描述运动的基本概念 3.利用面面垂直建系,如图3.   第1讲　描述运动的基本概念 4.利用正棱锥的中心与高所在直线建系,如图4.   第1讲　描述运动的基本概念 5.利用图形中的对称关系建系.图形中有一定的对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等)时,利用图形自身 的对称性可建立空间直角坐标系. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025河北承德一中月考]如图1所示,四边形ABCQ是直角梯形,AQ∥BC,AQ⊥AB,且AQ=2BC=2AB=4, D为线段AQ的中点.现沿着CD将△QCD折起,使Q点到达P点,如图2所示,连接PA,PB,DM,其中M为线段 PA的中点. (1)求证:DM⊥PB; (2)若二面角A-CD-P的大小为60°,则在线段PC上是否存在一点N,使得直线PB与平面BDN夹角的正弦值 为 ?若存在,求三棱锥P-BDN的体积;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,求点A到平面BDN的距离.  图1     图2 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:在题图1中,CD=DQ=AD=2,AQ⊥AB, 则在题图2中,CD⊥PD,CD⊥AD, 而PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD, 则CD⊥平面PAD, 又AB∥CD,∴AB⊥平面PAD, 又DM⊂平面PAD,∴AB⊥DM, 又PD=AD,且M为PA的中点, ∴DM⊥PA, 又AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB, ∴DM⊥平面PAB, 又PB⊂平面PAB,∴DM⊥PB. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)由(1)知CD⊥平面PAD, 而CD⊂平面ABCD, 则平面ABCD⊥平面PAD, 易知二面角A-CD-P的平面角为∠ADP,则∠ADP=60°, 则△PAD是等边三角形, 则PA=AD=PD=2,取AD的中点O,连接PO,则PO⊥AD,又平面ABCD∩平面PAD=AD,PO⊂平面PAD, ∴PO⊥平面ABCD,且PO= , 则可以建立如图所示的空间直角坐标系, 第1讲　描述运动的基本概念   则P(0,0, ),D(-1,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),C(-1,2,0), 则 =(2,2,0), =(0,2,0), =(1,-2, ), =(-1,-2, ), 设 =λ =(λ,-2λ, λ)(0≤λ≤1), 则 = + =(λ,2-2λ, λ), 设平面BDN的一个法向量为m=(x,y,z), 则  第1讲　描述运动的基本概念 令y= λ,则m=(- λ, λ,3λ-2), 记直线PB与平面BDN的夹角为θ, 则sin θ=|cos< ,m>|=  =  = = , 即 = , 解得λ=  ,因此 =  , 第1讲　描述运动的基本概念 则VP-BDN=VB-PDN= VB-PCD= VP-BCD= × ×S△BCD×PO= ×2× = . (3)由(2)知m= , 则平面BDN的一个法向量可以为n=(-1,1,0),又 =(0,-2,0), 故点A到平面BDN的距离d= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 迁移创新 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026山东日照实验高级中学阶段测试]如图1,在平面四边形ACBD中,AC=2,BC= ,∠C=90°,△ABD 是等腰直角三角形,∠ABD=90°,将△ABD沿AB折叠到△QAB的位置,形成如图2所示的三棱锥Q-ABC,且 QC=2 .  图1  图2  图3 (1)证明:AC⊥BQ; (2)已知三棱锥Q-ABC的外接球球心为O. ①若E为线段BQ上(不包含B点)的动点,S为AC的中点,T为BC的中点,设平面OBC与平面EST的夹角为θ, 求sin θ的最小值; 第1讲　描述运动的基本概念 ②类似于平面中三角形的余弦定理,有三维空间中的三面角余弦定理:由射线PA',PB',PC'构成的三面角 P-A'B'C',记∠A'PC'=α,∠B'PC'=β,∠A'PB'=γ,二面角A'-PC'-B'的平面角的大小为θ,则cos γ=cos αcos β+sin αsin βcos θ,当α,β,γ∈ 时,请在图3的基础上,试证明三面角余弦定理,并用该结论求图2中二面角A- OC-B的平面角的余弦值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    思路分析 (1)通过勾股定理的逆定理证明线线垂直,从而推出线面垂直,再利用线面垂直证明线线垂直; (2)①建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,进而得出cos θ与动点E的坐标的关系,结合基本不等式求 最值; 　　②构造直角三角形,利用平面三角形中的余弦定理构建边与角的方程,化简可证明三维空间的三面 角余弦定理,代入数值求出二面角的余弦值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:在Rt△ABC中, 由勾股定理得AB= = . 则在等腰直角三角形ABD中,BD=AB= , 则AD=2 ,故BQ= ,AQ=2 , 在△ACQ中,AC2+CQ2=AQ2, 所以∠ACQ=90°,即AC⊥QC. 因为AC⊥QC,AC⊥BC,QC∩BC=C,QC,BC⊂平面BCQ, 所以AC⊥平面BCQ, 又BQ⊂平面BCQ,所以AC⊥BQ. (2)因为BC2+BQ2=CQ2,所以QB⊥BC. 因为QB⊥BC,QB⊥AC,BC∩AC=C,BC,AC⊂平面ABC, 第1讲　描述运动的基本概念 所以QB⊥平面ABC. 以C为原点,CB,CA所在直线分别为x轴、y轴,过C作垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系,   则C(0,0,0),A(0,2,0),B( ,0,0),Q( ,0, ), 设AB的中点为K,则K , 因为三棱锥底面为直角三角形, 所以三棱锥Q-ABC的外接球球心在底面上的投影为K, 第1讲　描述运动的基本概念 又球心O与点Q和B之间的距离相等, 所以球心为AQ的中点,则O . ① = , =( ,0,0), 设n=(x1,y1,z1)为平面OBC的一个法向量, 则 即  不妨令z1= ,得n=(0,-3, ). 易知S(0,1,0),T , 设E( ,0,t),t∈(0, ], 第1讲　描述运动的基本概念 则 = , =( ,-1,t), 设m=(x2,y2,z2)为平面EST的一个法向量, 则 即  不妨令z2=-1,则m=( t,t,-1). 因为θ∈ ,所以要求sin θ的最小值,即求cos θ的最大值. cos θ=|cos<n,m>|= =  = × = × = · . 第1讲　描述运动的基本概念 设s=2 t+1,s∈(1,13],则t= , 则cos θ= × = × ≤ , 当且仅当s= ,即s=3,即t= 时,等号成立, 所以sin θ的最小值为 = . ②三面角余弦定理证明如下:如图,设H为射线PC'上一点,过H作HM⊥PC'交PA'于M,作HN⊥PC'交PB'于 N,连接MN, 则∠MHN是二面角A'-PC'-B'的平面角. 第1讲　描述运动的基本概念   在△MNP中,由余弦定理得MN2=MP2+NP2-2MP·NP·cos γ, 在△MNH中,由余弦定理得MN2=MH2+NH2-2MH·NH·cos θ, 两式相减得MP2-MH2+NP2-NH2+2MH·NH·cos θ=2MP·NP·cos γ, 由勾股定理得MP2-MH2=PH2,NP2-NH2=PH2,则2PH2+2MH·NH·cos θ=2MP·NP·cos γ, 两边同时除以2MP·NP得 · + · ·cos θ=cos γ, 即cos αcos β+sin αsin βcos θ=cos γ,得证. 在△AOC中,AO= ,CO= ,AC=2, 第1讲　描述运动的基本概念 由余弦定理可得cos∠AOC= , 则sin∠AOC= , 在△BOC中,BO= ,CO= ,BC= , 由余弦定理可得cos∠BOC= , 则sin∠BOC= , 在△AOB中,cos∠AOB=cos =0. 设二面角A-OC-B的平面角的大小为φ, 则cos∠AOB=cos∠AOC·cos∠BOC+sin∠AOC·sin∠BOC·cos φ, 即0= × + × ×cos φ, 第1讲　描述运动的基本概念 解得cos φ=- , 所以二面角A-OC-B的平面角的余弦值为- . 第1讲　描述运动的基本概念 $