01-§1 07-专题强化练2 对称问题及其应用（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦“对称问题及其应用”核心知识点，课堂导入从直线方程、中点坐标等基础内容切入，通过专题强化练构建从对称概念到距离最值、光线反射等应用的学习支架，衔接直线与圆章节知识脉络。 其亮点在于结合2024 - 2026年多地联考真题，以直线关于直线对称、光线反射求周长等例题为载体，运用几何直观和推理能力培养数学思维，创新题型如正方形光线反射问题发展创新意识。学生能提升综合解题能力，教师可获得丰富教学资源助力高效教学。

第一章 直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 专题强化练2　对称问题及其应用 专题专项练 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2024湖南常德部分学校联考]若直线l1:2x-y+3=0关于直线l:x-y+2=0对称的直线为l2,则l2的方程为( ) A.2x+y+1=0　　    B.x+2y-1=0 C.x+y=0　　    D.x-2y+3=0          D 解析　联立 解得 即l1与l的交点为(-1,1). 在直线l1上任取一点A(0,3),设点A关于l的对称点为A'(a,b), 则 解得 即A'(1,2), 所以l2的方程为 = ,即x-2y+3=0. 第1讲　描述运动的基本概念 小题速解　由l1:ax+by+c=0关于直线l:Ax+By+C=0对称的直线l2的方程满足 =2× 可得l2 的方程满足 =2× =3,即x-2y+3=0. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025天津五中段考]与直线3x-4y+5=0关于坐标原点O对称的直线方程为( ) A.3x+4y-5=0　　    B.3x+4y+5=0 C.4x-3y+5=0　　    D.3x-4y-5=0     D     解析　设直线3x-4y+5=0上的点Q(x1,y1)关于原点O(0,0)对称的点P(x,y)在所求直线上, 由中点坐标公式得 =0, =0, 解得x1=-x,y1=-y,则Q(-x,-y),代入直线方程3x-4y+5=0,得3(-x)-4(-y)+5=0,整理得3x-4y-5=0, 即所求直线方程为3x-4y-5=0. 小题速解　由直线l:Ax+By+C=0关于点P(x0,y0)对称的直线l1的方程为A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0可得所求直 线方程为3(-x)-4(-y)+5=0,即3x-4y-5=0. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026广东湛江第四中学月考]已知实数x,y满足x+y+1=0,则 + 的最小 值为( ) A. 　　    B.3 　　    C.2 　　    D.5     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析     + = + , 则问题转化为求直线x+y+1=0上一动点P(x,y)与点A(0,1),B(1,2)的距离之和的最小值, 如图,设直线x+y+1=0与x轴、y轴分别交于点D,C,则C(0,-1),D(-1,0), 则|AO|=|OD|=|OC|=1, 易知直线x+y+1=0的斜率为-1, 设点A关于直线x+y+1=0的对称点为A'(x0,y0), 则 解得 所以A'(-2,-1), 故|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|= =3 ,当且仅当P,D重合时等号成立. 故所求最小值为3 .   第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江西赣州全南中学月考]在等腰直角△ABC中,AB=AC=3,P是边AB上异于点A,B的一点,光线从 点P出发经BC,CA边反射后又回到点P,若光线QR经过△ABC的重心,则△PQR的周长等于 ( )   A.2 　　    B.2 　　    C.3 　　    D.4      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　建立如图所示的平面直角坐标系,   则B(3,0),C(0,3), 所以直线BC的方程为x+y=3,且△ABC的重心为G(1,1). 设P(a,0),P关于直线BC的对称点为P1(x,y),则  解得 则P1(3,3-a), 第1讲　描述运动的基本概念 易知P关于y轴的对称点P2(-a,0), 所以直线QR的方程为y= [x-(-a)], 即y= (x+a), 因为直线QR过点G(1,1),所以1= ·(1+a),解得a=1或a=0(舍去), 故P(1,0),P1(3,2),P2(-1,0), 易知P1,Q,R,P2四点共线,且|PQ|=|P1Q|,|PR|=|P2R|, 所以△PQR的周长为|PQ|+|QR|+|PR|=|P1Q|+|QR|+|P2R|=|P1P2|= =2 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026重庆第八中学月考]设直线l:x+y-1=0,一束光线从原点O出发沿射线y=kx(x≥0)向直线l射出,与l 交于点P,经l反射后与x轴交于点M,最后经x轴反射后与y轴交于点N.若| |= ,则k的值为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,设点O关于直线l的对称点为A(x1,y1),则 解得  即A(1,1).   由题意知射线y=kx(x≥0)与l不平行,故k≠-1, 由 得  第1讲　描述运动的基本概念 即P , 故直线AP的斜率kAP= = ,   则直线AP的方程为y-1= (x-1), 令y=0,得x=1-k,故M(1-k,0), 令x=0,得y=1- ,由对称性可得N , 由| |= 得(k-1)2+ = , 第1讲　描述运动的基本概念 即 -2 = , 解得k+ =- 或k+ = , 解得k= 或k= , 若k= ,则第二次反射后光线不会与y轴相交,故不符合题意. 综上,k= . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026浙江精诚联盟月考]已知O为坐标原点,A(5,1),P为x轴上一动点,Q为直线l:y=x上一动点, 则 ( ) A.|PQ|+|QA|+|PA|的最小值为2  B.|AP|+|AQ|的最小值为1+2  C. |AP|+|OP|的最小值为10 D.|AP|+|PQ|的最小值为3      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设A(5,1)关于直线l:y=x和x轴的对称点分别为A1,A2,如图1, 易得A1(1,5),A2(5,-1), 可知|QA|=|QA1|,|PA|=|PA2|.   图1 对于A,|PQ|+|QA|+|PA|=|PQ|+|QA1|+|PA2|≥|A1A2|= =2 ,当且仅当A1,Q,P,A2四点共线时, 等号成立,所以所求最小值为2 ,故A正确. 对于B,设A(5,1)到x轴、直线l:x-y=0的距离分别为d1,d2,则d1=1,d2= =2 , 第1讲　描述运动的基本概念 可得|AP|+|AQ|≥d1+d2=1+2 (将两条线段长的和的最小值转化为定点到两条直线的距离的和),所以| AP|+|AQ|的最小值为1+2 ,故B正确. 对于C,设A2(5,-1)到直线l:x-y=0的距离为d3,则d3= =3 . 作PC⊥l于C,如图2,则|AP|+|CP|=|A2P|+|CP|≥d3=3 , 因为直线l的斜率k=1,所以∠COP=45°,可得|CP|= |OP|, 所以 |AP|+|OP|= |A2P|+|OP|=  = (|A2P|+|CP|)≥ ×3 =6, 故 |AP|+|OP|的最小值为6,故C不正确. 图2 对于D,因为|AP|+|PQ|=|A2P|+|PQ|≥|A2P|+|CP|≥d3=3 ,所以|AP|+|PQ|的最小值为3 ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026广东广州铁一中学月考]已知直线l:x-2y+8=0和点A(2,0),B(-2,-4). (1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|的值最小,并求出最小值; (2)在直线l上求一点P,使||PB|-|PA||的值最大,并求出最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设A关于直线l的对称点为A'(m,n),则  解得 故A'(-2,8)(另解:点(x0,y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点为(x0-2Ak,y0-2Bk),其中k=  , 则k= =2,∴A'(-2,8)), 又P为直线l上的一点, ∴|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|= =4, 当且仅当B,P,A'三点共线时等号成立, 此时点P的坐标为(-2,3). 第1讲　描述运动的基本概念 故当点P的坐标为(-2,3)时,|PA|+|PB|取得最小值4. (2)由题意知A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的一点,则||PB|-|PA||≤|AB|= =4 , 当且仅当A,B,P三点共线时等号成立, 此时点P为直线AB与直线l的交点, 易知直线AB的方程为y=x-2, 由 解得  故点P的坐标为(12,10). 故当点P的坐标为(12,10)时,||PB|-|PA||取得最大值4 . 解题关键　同侧差最大,异侧和最小. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　利用光线在正方形边上的多次反射,考查对称问题 8.[多选题][2026江西部分学校联考]在正方形ABCD中,A(-3,3),B(3,3),C(3,-3),D(-3,-3),点E(不与C重合) 在线段BC上,点F(不与C,D重合)在线段CD上,光线从点E出发到达点F后,在正方形内不断反射,直至到 达正方形顶点时停止,则下列判断正确的是( ) A.若E(3,3),F(-2,-3),则光线第一次反射后落在AD上的点的纵坐标为-  B.若光线第一次反射后落在AB上,则直线EF的斜率k≥2 C.若直线EF的斜率k≥2,则光线第一次反射后落在AB上 D.若点E与点B重合,且光线最终到达点D,则反射的次数为偶数     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,E(3,3)关于直线CD的对称点为E1(3,-9),则 = =- ,则直线E1F的方程为y=- (x+2)-3, 令x=-3,得y=- ,A正确. 对于B,C,设E(3,t),t∈(-3,3], A,B关于直线CD的对称点分别为A1(-3,-9),B1(3,-9), 若光线第一次反射后落在AB上,则直线EF的斜率k≥ = >1, 直线EF的方程为y-t=k(x-3),当k≥2时, 令y=-9,得x=3- ∈[-3,3),即EF与线段A1B1有交点, 故当直线EF的斜率k≥2时,光线第一次反射后落在AB上,B错误,C正确. 对于D,因为每一次反射的反射光线所在直线的斜率与入射光线所在直线的斜率互为相反数(关于坐标 轴对称的两条直线的斜率互为相反数),而过点D的光线所在直线的斜率不可能与直线BF的斜率互为相 第1讲　描述运动的基本概念 反数,所以过点D的光线所在直线的斜率与直线BF的斜率相等, 因为光线可逆,考虑光线从点D返回,不断反射会回到点B, 所以整个光线路径是关于原点对称的, 设光线路径为B→N1→N2→…→Nn→D, 则n为偶数,共有(n+2)个点,(n+1)条光线,反射次数n为偶数,D正确.   第1讲　描述运动的基本概念 $