04-§4 03-第2课时 空间中的距离问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何中的距离问题，系统覆盖点到平面、直线到平面等距离计算，通过基础过关到能力提升的题组设计，以解题模板为支架衔接空间向量工具与立体几何度量关系。 其亮点在于结合直三棱柱、正方体等实例，引导学生用数学眼光建立坐标系，通过逻辑推理求法向量（数学思维），用向量公式精确表达距离（数学语言）。详细解析助力学生提升空间观念与运算能力，教师可直接用于教学，提高课堂效率。

第三章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第2课时　空间中的距离问题 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　点到平面的距离 1.[2026浙江强基联盟期中]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥BC,BA=BC=BB1=2,E,F分别是棱AB,BC上的 点,且BE= AB,CF= BC,则点B到平面EFB1的距离为( )   A. 　　    B.  C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知,B1A1,B1C1,B1B两两垂直,则以B1为原点,B1A1,B1C1,B1B所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建 立如图所示的空间直角坐标系,   则B1(0,0,0),B(0,0,2). ∵BE= AB,CF= BC, ∴E ,F , ∴ = , = , =(0,0,2). 第1讲　描述运动的基本概念 设n=(x,y,z)为平面EFB1的一个法向量, 则  得  令z=-1,得x=3,y= , 所以n= , 设点B到平面EFB1的距离为d, 则d= = . 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　用向量法求点P到平面α的距离的步骤: (1)建立恰当的空间直角坐标系; (2)写出(求出)相关点的坐标; (3)求出 (A为平面α内一点),平面α的一个法向量n; (4)求距离d= . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026山东青岛二中段考]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,F为BB1的中点,则直 线FC1到平面AB1E的距离为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,   则F ,C1(0,1,1),A(1,0,0),B1(1,1,1),E , ∴ = , = , =(0,1,1), =(-1,1,1), 可知 ∥ ,即AE∥FC1, 又AE⊂平面AB1E,FC1⊄平面AB1E, ∴FC1∥平面AB1E. 第1讲　描述运动的基本概念 (可将直线FC1到平面AB1E的距离转化为点C1到平面AB1E的距离) 设n=(x,y,z)为平面AB1E的一个法向量,则  不妨取x=1,得z=2,y=-2,∴n=(1,-2,2), ∴点C1到平面AB1E的距离为 = . 故直线FC1到平面AB1E的距离为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026山东潍坊段考]正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是棱AB,AD,B1C1,D1C1的中点,则 平面EFD1B1和平面GHDB之间的距离为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以D为坐标原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐 标系,   则D(0,0,0),F(1,0,0),B(2,2,0),H(0,1,2),E(2,1,0),B1(2,2,2), 所以 =(1,0,0), =(0,1,2), =(2,2,0), =(0,1,2), 所以 = ,又D,H,E,B1四点不共线,所以DH∥EB1, 又DH⊂平面GHDB,EB1⊄平面GHDB, 所以EB1∥平面GHDB, 第1讲　描述运动的基本概念 因为E,F分别是棱AB,AD的中点,所以EF∥BD,又BD⊂平面GHDB,EF⊄平面GHDB, 所以EF∥平面GHDB,因为EF∩EB1=E,EF,EB1⊂平面EFD1B1, 所以平面EFD1B1∥平面GHDB,所以平面EFD1B1和平面GHDB之间的距离即为点F到平面GHDB的距离. (将平行平面间的距离转化为点到平面的距离) 设n=(x,y,z)为平面GHDB的一个法向量, 则 不妨取y=-2,得z=1,x=2, 则n=(2,-2,1), 所以点F到平面GHDB的距离d= = , 即平面EFD1B1和平面GHDB之间的距离是 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江西南昌第二中学月考]已知在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,PA =PD=AD=2BC=2CD=2,E,F分别是AD,PC的中点.   (1)证明:PA∥平面BEF; (2)求AB的中点M到平面BEF的距离. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:连接AC交BE于O,连接EC,FO, ∵BC∥AD,AD=2BC,E为AD的中点, ∴AE∥BC,且AE=BC, ∴四边形ABCE为平行四边形,则O为AC的中点. 在△PAC中,O为AC的中点,F为PC的中点,∴OF∥PA, 又OF⊂平面BEF,PA⊄平面BEF, ∴PA∥平面BEF. (2)连接PE,∵PA=PD,E为AD的中点,∴PE⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,PE⊂平面PAD, ∴PE⊥平面ABCD. ∵AD⊥DC,DC∥BE,∴AD⊥BE. 第1讲　描述运动的基本概念 故以E为原点,EA,EB,EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则E(0,0,0),B(0,1,0),F ,M , 所以 = , =(0,1,0), = , 设n=(x,y,z)为平面BEF的一个法向量,则  取z=1,得y=0,x= ,则n=( ,0,1), 则点M到平面BEF的距离为 = = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　点到直线的距离 5.[2026江苏南通天星湖中学月考]已知直线l过点M(1,1,1),且方向向量为n=(-1,0,1),则点A(1,-1,-1)到l的 距离为 ( ) A.2 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　根据题意可知 =(0,2,2), = (-1,0,1)= , 所以点A(1,-1,-1)到l的距离d= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[教材习题改编][2026福建厦门外国语学校月考]正四棱锥S-ABCD中,O为顶点S在底面ABCD内的投 影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD= ,则异面直线PC与BD之间的距离为 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得,SO⊥平面ABCD, 连接AC,BO, 则AC⊥BD且AC与BD交于O. 因为OC,OD⊂平面ABCD, 所以SO⊥OC,SO⊥OD. 以O为原点,OC,OD,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,   第1讲　描述运动的基本概念 则S(0,0, ),D(0, ,0),C( ,0,0),B(0,- ,0),P , 所以 =(0,2 ,0), = , =(- , ,0). 设n=(x,y,z)为异面直线PC与BD的公垂线的一个方向向量, 则 即  令x=1,得y=0,z=2, 所以n=(1,0,2), 所以异面直线PC与BD之间的距离d= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　如图,设A,B分别是异面直线a,b上任意一点,向量a,b分别是直线a,b的一个方向向量,向量n是 与向量a,b均垂直的向量,则异面直线a,b间的距离d= .   第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026辽宁沈阳第一二O中学质检]如图1,平面四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,OA=OB=1,OC=OD= 2,如图2,将△ABD沿BD翻折至△PBD的位置,使得平面PBD⊥平面BCD,若点E为线段BD上的动点,则点 E到直线PC的距离的最小值为 ( )  　      A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为平面PBD⊥平面BCD,PO⊂平面PBD,平面PBD∩平面BCD=BD,PO⊥BD, 所以PO⊥平面BCD,又OC⊂平面BCD, 所以PO⊥OC,又PO⊥OB,OB⊥OC, 故以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,连接EP,   则P(0,0,1),C(0,2,0), 则 =(0,-2,1), 设E(m,0,0),-2≤m≤1, 第1讲　描述运动的基本概念 则 =(-m,0,1), 则点E到直线PC的距离d=  = = , 由-2≤m≤1,得0≤m2≤4, 所以 ≤ ≤ , 所以点E到直线PC的距离的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第2课时　空间中的距离问题 第1讲　描述运动的基本概念 题组　空间距离的应用 1.[2026山东名校联盟期中]在三棱锥O-ABC中,OA=OB=OC=1,AB=BC=CA= ,点P满足 =m +n  +l ,若实数m,n,l满足m+2n+3l=3,则OP的长的最小值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为m+2n+3l=3, 所以 + +l=1, 所以 = ·3 + ·  +l , 设3 = ,  = , 则 =  +  +l , 故P,C,D,E四点共面,则OP的长的最小值为点O到平面CDE的距离. 因为OA=OB=1,AB= , 所以AB2=OA2+OB2,即OA⊥OB, 同理可得,OA⊥OC,OB⊥OC, 则OA,OB,OC两两垂直, 第1讲　描述运动的基本概念 故以O为原点,OA,OB,OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则O(0,0,0),C(0,0,1),D(3,0,0),E , 所以 =(0,0,1), =(3,0,-1), = . 设n=(x,y,z)为平面CDE的一个法向量, 则 即  取x=1,得y=2,z=3,则n=(1,2,3), 所以点O到平面CDE的距离为 = . 故OP的长的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026福建长乐第一中学测试]正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为3,E,F分别为DD'和BB'的中点, 则( ) A.点A'到直线BE的距离为3 B.直线AE到直线FC'的距离为3 C.点B到平面AB'E的距离为  D.直线FC'到平面AB'E的距离为1     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　建立如图所示的空间直角坐标系,   则A(0,0,0),B(3,0,0),A'(0,0,3),B'(3,0,3),C'(3,3,3),E ,F . 对于A, =(-3,0,3), = , 故点A'到直线BE的距离为 =3,故A正确; 第1讲　描述运动的基本概念 对于B, = , = , = , 因为 = ,所以AE∥FC', 故直线AE到直线FC'的距离即为点F到直线AE的距离,为 = ,故B错误; 对于C, = , =(3,0,3), 设n=(x,y,z)为平面AB'E的一个法向量, 则 即  取z=2,则y=-1,x=-2,故n=(-2,-1,2), 第1讲　描述运动的基本概念 故点B到平面AB'E的距离为 =2,故C错误; 对于D,由A中分析可得AE∥FC', 又AE⊂平面AB'E,FC'⊄平面AB'E, 故FC'∥平面AB'E, 所以直线FC'到平面AB'E的距离即为点F到平面AB'E的距离,为 =1,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西赣州赣县中学检测]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是腰长为2的等腰直角三角形, 且AB>AC,|CC1|=2, =2 ,P为平面A1BC内一动点,则|PA|+|PE|的最小值是 ( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1⊥平面ABC,故以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x 轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,   则A1(2,0,2),B(0,2,0),C(0,0,0),A(2,0,0), 所以 =(0,2,0), =(2,0,2), =(0,0,2). 由 =2 知E为AB的中点, 则E(1,1,0), 第1讲　描述运动的基本概念 设n=(x1,y1,z1)为平面A1BC的一个法向量,则 即  令x1=1,得z1=-1,则n=(1,0,-1). 设点A关于平面A1BC的对称点为A'(x,y,z),z>0, 则 =(2-x,-y,2-z), =(x-2,y,z), 由点A与点A'到平面A1BC的距离相等,得 = , 即 = ,则|-x+z|=2,① 因为 ∥n,所以 ② 由①②得 或 (舍), 第1讲　描述运动的基本概念 所以x=0,y=0,z=2,所以A'(0,0,2), 所以|PA|+|PE|=|PA'|+|PE|≥|A'E|= = , 当且仅当A',P,E三点共线时取等号, 所以|PA|+|PE|的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026重庆第八中学期中]四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1,动点 M在线段PC上,则( )   A.四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为6π B.BM+DM的最小值为  C.不存在点M,使得AC⊥DM D.点M到直线AB的距离的最小值为      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,将该四棱锥补为长方体, 则该四棱锥的外接球即为该长方体的外接球,PC= = , 则外接球的半径为 = , 所以外接球的表面积为4π× =6π,故A正确. 对于B,如图1,将△PCD沿PC翻折到平面PBC上,得到平面图,   图1 因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD, 所以PA⊥BC, 第1讲　描述运动的基本概念 又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB, 所以BC⊥平面PAB, 又PB⊂平面PAB,所以BC⊥PB, 同理得PD⊥CD, 所以△PBC,△PDC均为直角三角形,且△PBC≌△PDC, 连接BD,交PC于点M,此时BM+DM取得最小值,为BD的长. 易得PC⊥BD,PB=PD= ,BC=CD=1, 则PC= ,S四边形PBCD=S△PBC+S△PDC, 则 PC·BD= (PB·BC+PD·DC),即 × BD= ×( ×1+ ×1)= , 所以BD= , 第1讲　描述运动的基本概念 故BM+DM的最小值为 ,故B正确. 对于C,假设存在点M,使得AC⊥DM,如图2,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建 立空间直角坐标系,   图2 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2), 则 =(1,1,-2), =(1,1,0), =(0,-1,2). 设 =λ =(λ,λ,-2λ),0≤λ≤1, 第1讲　描述运动的基本概念 则 = + =(λ,λ-1,2-2λ). 因为AC⊥DM,所以 · =2λ-1=0, 解得λ= . 故存在点M,使得AC⊥DM,故C错误. 对于D,由已知可得 =(1,0,0), = + =(-1+λ,λ,2-2λ), 所以点M到直线AB的距离d=  =  = = , 当λ= 时,点M到直线AB的距离取得最小值,为 ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏南通第一中学月考]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P在正方体的内切球表面上 运动,且满足D1P∥平面A1BC1,则AP的长的最小值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 易得A1C1∥AC,A1C1⊂平面A1BC1,AC⊄平面A1BC1, 所以AC∥平面A1BC1, 同理得AD1∥平面A1BC1, 又AC∩AD1=A,AC,AD1⊂平面ACD1, 所以平面ACD1∥平面A1BC1, 因为D1P∥平面A1BC1,D1∈平面ACD1, 所以D1P⊂平面ACD1, 所以点P的轨迹是平面ACD1与正方体内切球的交线,此交线为圆,记其圆心为O1. 如图1,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体内切球的 球心为O, 第1讲　描述运动的基本概念   图1 则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),O(1,1,1), 所以 =(-2,2,0), =(-2,0,2), =(-1,1,1). 设n=(x,y,z)为平面ACD1的一个法向量, 则  令x=1,得y=1,z=1,则n=(1,1,1), 第1讲　描述运动的基本概念 所以球心O到平面ACD1的距离d= = . 如图2,易得正方体的内切球的半径r=1, 所以圆O1的半径r1= = . 图2 因为 =(-1,1,1),所以| |= , 即AO= , 所以AO1= = , 所以AP的长的最小值为AO1-r1= - = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026山东临沂第一中学月考]如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,PA=1,AB=  ,BC=1,AD=2,M是PD的中点. (1)求证:CM∥平面PAB; (2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值; (3)在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说 明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:取AP的中点E,连接ME,BE, 因为M是PD的中点, 所以ME∥AD且ME= AD, 又BC∥AD且BC= AD, 所以ME∥BC且ME=BC, 所以四边形BCME是平行四边形, 所以CM∥BE, 又CM⊄平面PAB,BE⊂平面PAB, 所以CM∥平面PAB. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)由题意知AP,AB,AD两两垂直,故以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角 坐标系,   则P(0,0,1),B( ,0,0),D(0,2,0),C( ,1,0), 则 =( ,1,-1), =(0,2,-1), 显然n1=(0,1,0)为平面PAB的一个法向量, 设n2=(x,y,z)为平面PCD的一个法向量, 第1讲　描述运动的基本概念 则  令y=1,得x= ,z=2,则n2= , 设平面PAB与平面PCD的夹角为θ,则cos θ=|cos<n1,n2>|= = , 所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为 . (3)易求得 =( ,0,0), =(0,0,1), =(- ,2,0), 设 =λ且0≤λ≤1,则 =λ , 所以 = + = +λ =( - λ,2λ,0), 设n3=(x0,y0,z0)为平面PAQ的一个法向量, 第1讲　描述运动的基本概念 则  令y0=1,得x0= , 所以n3= , 因为点D到平面PAQ的距离为 , 所以 = = ,所以λ= , 所以线段BD上存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为 ,此时 = . 第1讲　描述运动的基本概念 $