04-§4 05-专题强化练7 圆锥曲线中的定点、定值及探究性问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦圆锥曲线中的定点、定值及探究性问题，从椭圆、抛物线、双曲线的标准方程入手，通过典型例题搭建从基础定义到综合应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融入创新题型如“折纸”问题，引导学生用数学眼光观察现实，通过韦达定理推理、方程联立等培养数学思维，方法总结系统归纳解题策略。学生能提升探究能力，教师可借助实例高效教学。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 专题强化练7 圆锥曲线中的定点、定值及探究性问题 专题专项练 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026天津杨柳青第一中学期中]如图,已知椭圆C: + =1(a>b>0)的上顶点为A(0,1),离心率为 ,若 过点A作圆M:(x+1)2+y2=r2(0<r<1)的两条切线,分别与椭圆C相交于点B,D(不同于点A),则直线BD过定点 ( )   A. 　　    B. 　　    C.(0,1)　　    D.(2,0)     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得  解得a=2,b=1,c= , ∴椭圆C的方程为 +y2=1. 圆M的圆心为M(-1,0),半径为r, 设过点A的切线方程为y=kx+1, 则 =r,即(1-r2)k2-2k+1-r2=0,(*) 设两切线AB,AD的斜率分别为k1,k2(k1≠k2), 则k1,k2是方程(*)的两个根, 第1讲　描述运动的基本概念 由根与系数的关系得k1k2=1. 设B(x1,y1),D(x2,y2), 联立 得(1+4 )x2+8k1x=0, ∴x1=- ,y1= , 同理可得x2=- =- ,y2= = ,∴kBD= = =- , ∴直线BD的方程为y- =-  , 令x=0,得y= - × = = =- ,故直线BD过定点 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025山西太原第五中学月考]已知曲线C:y4=a2x2(a>0)与直线y=2x+4有3个公共点,A,B是曲线C上关于 y轴对称的两动点(点A位于第一象限),M,N是x轴上关于原点对称的两定点(点M在x轴正半轴上),若|AB|-| AM|-|BN|为定值,则该定值为________. 　-16     第1讲　描述运动的基本概念 解析　曲线C:y4=a2x2(a>0)为抛物线y2=ax与y2=-ax, 由 得2y2+ay-4a=0, 因为a>0,所以Δ=a2+32a>0,   所以抛物线y2=-ax与直线y=2x+4有两个交点, 又因为曲线C:y4=a2x2(a>0)与直线y=2x+4有3个公共点, 所以直线y=2x+4与抛物线y2=ax相切, 第1讲　描述运动的基本概念 由 得4x2+(16-a)x+16=0, 则Δ=(16-a)2-4×4×16=0,所以a=32, 由对称性可知|AM|=|BN|, 设AB与y轴的交点为E, 则|AB|-|AM|-|BN|=2(|AE|-|AM|), 若|AB|-|AM|-|BN|为定值, 则|AE|-|AM|=|AE|+8-|AM|-8为定值, 则M,N分别为抛物线y2=32x与y2=-32x的焦点, 此时|AB|-|AM|-|BN|为抛物线y2=32x上一点到y轴的距离与到其焦点的距离的差的2倍,即该定值为-16. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西赣州十三校期中联考]已知椭圆C: + =1(a>b>0),F1,F2分别是C的左、右焦点,P是椭圆C 上一点,|PF1|的最大值为3,当P为椭圆C的上顶点时,△PF1F2为等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程; (2)设A,B分别是椭圆C的左、右顶点,若直线l与C交于点M,N,且kBM=3kAN.证明:直线l过定点. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得 解得a=2,c=1,则b2=a2-c2=3, 故椭圆C的标准方程为 + =1. (2)证法一:由(1)知A(-2,0),B(2,0), 设直线AN的斜率为k,则直线BM的斜率为3k, 则直线AN的方程为y=k(x+2),直线BM的方程为y=3k(x-2), 设M(x1,y1),N(x2,y2), 联立  化简得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0, 第1讲　描述运动的基本概念 因为A(-2,0),所以  则N , 联立  化简得(1+12k2)x2-48k2x+4(12k2-1)=0, 因为B(2,0),所以  则M , 第1讲　描述运动的基本概念 则kMN= = , 所以直线MN的方程为y- =  , 整理得y= (x-1), 故直线l过定点(1,0). 证法二:设M(x1,y1),N(x2,y2), 由(1)知A(-2,0),B(2,0), 所以kAM= ,kBM= ,kAN= , 则kAM·kBM= · = , 第1讲　描述运动的基本概念 又 + =1, 所以 = (4- ), 代入上式可得kAM·kBM=- . 又kBM=3kAN,所以kAM·kAN=- . 设直线MN的方程为x=my+t(t≠±2), 联立  得(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0, 由Δ=36m2t2-4(3m2+4)(3t2-12)>0, 第1讲　描述运动的基本概念 得3m2-t2+4>0, 又 所以  由kAMkAN= · = =- ,化简得 =- , 且4t2+16t+16≠0, 则t2+t-2=0且t≠-2,解得t=1, 所以直线l过定点(1,0).   第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025河南南阳期中]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,y0)(y0>0)在抛物线C上,且|PF|=5. (1)求抛物线C的方程; (2)过点Q(1,-4)的直线与抛物线C交于A,B两点(均不与点P重合),设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,那么k1k 2是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由抛物线的定义可知|PF|=4+ =5,则p=2,因此抛物线C的方程为y2=4x. (2)由P(4,y0)(y0>0)在抛物线上,得 =16,故y0=4,即P(4,4), 显然,过点Q(1,-4)且与抛物线C交于A,B两点的直线的斜率不为0, 设直线AB的方程为x=m(y+4)+1,A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠4,x2≠4.   联立  消去x,得y2-4my-16m-4=0, 由Δ=16m2-4(-16m-4)=16(m2+4m+1)>0,解得m> -2或m<- -2, 由根与系数的关系可得y1+y2=4m,y1y2=-16m-4, 第1讲　描述运动的基本概念 故x1+x2=m(y1+y2+8)+2=4m2+8m+2, x1x2=(my1+4m+1)(my2+4m+1)=m2y1y2+m(4m+1)(y1+y2)+(4m+1)2=16m2+8m+1, 又k1= ,k2= , 所以k1k2= · =  =  = = = , 故k1k2为定值 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西部分校期中联考]已知P,Q是双曲线Γ: -y2=1(a>0)上两个不同的点,O为坐标原点,点A  . (1)若点A在Γ上,求Γ的渐近线的方程; (2)当O,P,Q,A四点共线时,|PQ|= ,点B(2,0). (i)求Γ的方程; (ii)若B,P,Q三点共线,P,Q两点均不在x轴上,M,N分别为Γ的左、右顶点,直线PM与QN交于点D,证明:动 点D在一条定直线上. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为点A在Γ上, 所以 - =1, 又a>0,所以a= , 故Γ的渐近线的方程为y=± x=± x. (2)(i)直线OA的方程为y= x. 联立  得x2= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以x=± ,所以|PQ|= ·  = = ,解得a2=1, 故Γ的方程为x2-y2=1. (ii)证明:因为P,Q两点均不在x轴上, 所以直线PQ的斜率不为0,设直线PQ的方程为x=my+2. 联立 得(m2-1)y2+4my+3=0, 则Δ=16m2-12(m2-1)=4m2+12>0,m2-1≠0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则y1+y2= ,y1y2= . 第1讲　描述运动的基本概念 易得M(-1,0),N(1,0), 则直线PM:y= (x+1),直线QN:y= (x-1),由  得 =  = =  = =- ,解得x= , 故动点D在定直线x= 上. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江西师范大学附属中学期中]“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动, 在我国源远流长,某些折纸活动蕴含丰富的数学知识,例如,用一张圆形纸片,按如下步骤折纸(如图): 步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一定点,记为F; 步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F(即折叠后图中的点D与点F重合); 步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕,记折痕与DE的交点为P; 步骤4:不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕. 现取半径为4的圆形纸片,设点F到圆心E的距离为2 ,按上述方法折纸.以EF的中点为原点,EF所在直 线为x轴建立平面直角坐标系xOy,记动点P的轨迹为曲线C. 创新题型 创新点　通过“折纸”考查直线与椭圆的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 (1)求C的方程; (2)设轨迹C与x轴从左到右的交点分别为A,B,P为轨迹C上异于A,B的动点,设PB交直线x=4于点T,连接 AT交轨迹C于点Q.直线AP,AQ的斜率分别为kAP,kAQ. (i)求证:kAP·kAQ为定值; (ii)证明直线PQ经过x轴上的定点,并求出该定点的坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知|PE|+|PF|=|PE|+|PD|=4>|EF|=2 , 故点P的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆, 所以2c=2 ,2a=4,即c= ,a=2, 所以b2=a2-c2=1, 因此C的方程为 +y2=1. (2)(i)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(4,m), 由(i)得A(-2,0),B(2,0),   第1讲　描述运动的基本概念 kAP= ,kAQ=kAT= = , 而kBP=kBT,即 = ,于是m= , 所以kAP·kAQ= × = × = ,又 + =1, 故 = (4- ), 因此kAP·kAQ= =- , 故kAP·kAQ为定值. (ii)设直线PQ的方程为x=ty+n,n≠±2, 第1讲　描述运动的基本概念 由 得(t2+4)y2+2tny+n2-4=0, 则y1+y2=- ,y1y2= . 由(i)可知kAP·kAQ=- , 即 · = =- ,化简得 =- , 解得n=1或n=-2(舍去), 所以直线PQ的方程为x=ty+1,因此直线PQ经过定点(1,0). 第1讲　描述运动的基本概念 方法总结　求解直线过定点问题的常用方法 (1)“特殊探路,一般证明”:先通过特殊情况确定定点,再转化为有方向、有目的的一般性证明; (2)“一般推理,特殊求解”:设出定点坐标,根据题设条件选择参数,建立一个直线系或曲线的方程,再根 据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即为所求点; (3)求证直线过定点(x0,y0),常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)或斜截式方程y=kx+b来证明. 第1讲　描述运动的基本概念 $