04-§4 01-4.1 直线的方向向量与平面的法向量 4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，系统讲解直线方向向量、平面法向量及用向量研究位置关系。通过典型例题导入，衔接空间向量概念与立体几何应用，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于精选多地联考真题，结合详细解析与方法技巧总结，如待定系数法求法向量。以数学思维培养为核心，通过探索性问题（如存在性证明）提升逻辑推理与空间观念，学生可强化解题能力，教师能直接借鉴丰富例题与教学思路。

第三章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线的方向向量与直线的向量表示 1.[多选题]下列关于空间向量的说法中,正确的是 ( ) A.若a是直线l的方向向量,则λa(λ∈R)也是直线l的方向向量 B.空间中任意一条直线的位置可以由直线上一点及该直线的方向向量唯一确定 C.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反 D.若A(-1,2,1),B(1,0,3)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(1,-1,1)     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,当λ=0时,λa=0不能作为直线l的方向向量,故A错误; 易知B正确; 对于C,相互平行的两条直线的方向向量共线,所以两向量的方向相同或相反,故C正确; 对于D,l的一个方向向量为 =(2,-2,2)=2(1,-1,1), 所以(1,-1,1)也为l的一个方向向量,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026广东佛山南海外国语高级中学月考]已知直线l过点A(0,0,1),且直线l的方向向量为a=(1,1,2),若 点M(x,y,4)在l上,则 ( ) A.x+y=2　　    B.x+y=3 C.x+y=4　　    D.x+y=5     B     解析　由题意得 =(x,y,3), 由题意得存在实数λ,使得 =λa, 则 解得x=y=λ= , 即x+y=3. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025北京师达中学期中]已知点A(4,1,3),B(-2,4,2)在直线l上,写出l的一个方向向量: _______________________________________________.     (-6,3,-1)(答案不唯一,与此向量共线的非零向量均可)     解析　点A,B在直线l上,所以直线l的一个方向向量为 =(-6,3,-1). 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　平面的法向量及其应用 4.[2026湖北汉川第一高级中学质量检测]已知平面α经过点A(0,0,-1),m=(1,2,-2)为平面α的一个法向量, P(x,y,z)是平面α内异于点A的任意一点,则 ( ) A.x+2y-2z=-2　　    B.x+2y-2z=2 C.x-2y-2z=2　　    D.x-2y-2z=4     B     解析　因为m=(1,2,-2)是平面α的一个法向量, 所以 ⊥m,易得 =(x,y,z+1), 故 ·m=(x,y,z+1)·(1,2,-2)=x+2y-2z-2=0,则x+2y-2z=2. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西新余第四中学模拟]在空间直角坐标系中,O为坐标原点,P为任意一点,A(1,1,2),B(-2,1,0),平 面PAB⊥平面OAB,则平面PAB的一个法向量可以为 ( ) A.(-5,24,21)　　    B.(-6,10,9)　　     C.(-7,11,13)　　    D.(-8,13,12)     D     解析　由题意不妨在平面OAB内取 为平面PAB的一个法向量, 则存在λ,μ∈R,使得 =λ +μ =(λ-2μ,λ+μ,2λ),且OQ⊥AB, 又因为 =(-3,0,-2), 所以 · =-3(λ-2μ)-2×2λ=0, 则6μ=7λ,取λ=6,则μ=7, 所以 =(-8,13,12),故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河北保定部分示范高中联考]如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形,且∠C1CB= ∠C1CD=∠BCD=60°,CC1=2CD, =a, =b, =c,则平面BC1D的一个法向量可以为_________________. (注:法向量要用a,b,c来表示)       6a+6b-c(答案不唯一)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　不妨设CC1=2CD=2,则CD=CB=1, 则a·b=1×1×cos 60°= ,a·c=b·c=1×2×cos 60°=1. 易知{a,b,c}可以作为空间向量的一组基, 则 = - =a-b, = - =c-b. 设m=xa+yb+zc为平面BC1D的一个法向量, 则  即  化简得  取x=6,得y=6,z=-1,故m=6a+6b-c,因此平面BC1D的一个法向量为6a+6b-c. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026广东顺德德胜学校月考]已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,AD= ,点M,N分 别在线段PB,DC上(不含端点),且满足 =λ , =λ ,其中λ>0. (1)求平面PBD的一个法向量; (2)是否存在λ,使 是平面PAB的法向量?请说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,   则P(0,0,1),B(1,0,0),D(0, ,0), 则 =(0, ,-1), =(-1, ,0), 设平面PBD的一个法向量为n=(x,y,z), 则 即  第1讲　描述运动的基本概念 令x= ,得y=1,z= , 则平面PBD的一个法向量为n=( ,1, ). (2)不存在,理由如下:由图可知C(1, ,0), 设M(a1,b1,c1),N(a2,b2,0), 则 =(a1-1,b1,c1), =(-a1,-b1,1-c1), =(a2,b2- ,0), =(1-a2, -b2,0), 由 =λ 得(a1-1,b1,c1)=λ(-a1,-b1,1-c1), 则 解得  所以M , 第1讲　描述运动的基本概念 由 =λ 得(a2,b2- ,0)=λ(1-a2, -b2,0), 则 解得  所以N , 可得 = , 易得平面PAB的一个法向量m=(0,1,0), 当 ∥m时, =- =0,方程无解, 所以不存在λ,使 是平面PAB的法向量. 第1讲　描述运动的基本概念 方法技巧　确定平面的法向量的常用方法: (1)直接法:观察是否有垂直于平面的直线,若有,则此直线的方向向量就是平面的法向量. (2)待定系数法:建立空间直角坐标系,找出(求出)平面内的两个不共线的向量,如a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 设平面的一个法向量为n=(x,y,z),则 解方程组,取其中的一组解,即得平面的一个法向量.注意n= (0,0,0)不能作为平面的法向量. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　利用向量解决平行问题 8.[2026辽宁沈阳重点高中郊联体联考]两条不同直线l1,l2的方向向量分别为m=(1,1,-2),n=(-2,2,-1),则这 两条直线 ( ) A.相交或异面　　    B.相交　　     C.异面　　     D.平行     A     解析　易知m与n不平行,所以直线l1与l2不平行,故直线l1与l2相交或异面. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026河南前二十名校调研]已知点A(1,0,-2),B(3,1,0),若平面α的一个法向量为n=(0,-2,1),则直线AB与 平面α的位置关系是( ) A.AB∥α　　    B.AB⊥α C.AB⊂α　　    D.AB∥α或AB⊂α     D     解析　因为 =(2,1,2),n=(0,-2,1), 所以 ·n=0,所以AB∥α或AB⊂α. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026广东汕头金山中学阶段考试]已知e1,e2,e3为空间内三个不共面的向量,平面α和平面β的法向量 分别为a=e1+λe2+3e3和b=-e1+2e2+μe3,若α∥β,则λ+μ= ( ) A.5　　    B.-5　　    C.3　　    D.-3     B     解析　因为α∥β,所以a∥b,则存在实数t,使得a=tb,则e1+λe2+3e3=t(-e1+2e2+μe3)=-te1+2te2+μte3, 又e1,e2,e3为空间内三个不共面的向量, 所以 解得 则λ+μ=-5. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026山东聊城第三中学月考]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=3,AB=4,E,F,G分别是棱C1D1,BC, CC1的中点,M是平面ABCD内一动点,若直线D1M与平面EFG平行,则 · 的最小值为_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,   则E(2,3,3),F ,G ,D1(0,3,3),B1(4,0,3),所以 = , = , 设M(x,y,0),则 =(x,y-3,-3), =(4-x,-y,3), =(-x,3-y,3). 设平面EFG的一个法向量为n=(x1,y1,z1), 则  第1讲　描述运动的基本概念 即  令y1=1,得x1=- ,z1=-1, 所以n= . 因为直线D1M与平面EFG平行, 所以 ·n=0,即- x+y-3+3=0,则y= x, 故 · =(4-x)·(-x)+(-y)·(3-y)+9=x2-4x+y2-3y+9=x2-4x+ - x+9= x2- x+9= (x-2)2+ , 所以当x=2时, · 取得最小值,为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　利用向量解决垂直问题 12.[2026福建厦门第二外国语学校月考]若平面α的一个法向量为u=(-1,2,4),平面β的一个法向量为v= (m,-1,-2),直线l的一个方向向量为t=(n,-2,-4),则 ( ) A.若α∥β,则m=1 B.若l⊥α,则n=2 C.若n=-20,则l∥α D.若m=-10,则α⊥β     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,若α∥β,则u∥v,则 = = ,解得m= ,A错误; 对于B,若l⊥α,则t∥u,则 = = ,解得n=1,B错误; 对于C,若n=-20,则t=(-20,-2,-4), 则t·u=20-4-16=0,所以t⊥u, 故l∥α或l⊂α,C错误; 对于D,若m=-10,则v=(-10,-1,-2), 所以u·v=10-2-8=0,所以u⊥v, 故α⊥β,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026湖南湘西月考]我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面 的棱柱称为堑堵.已知在堑堵ABC-A1B1C1中,∠ABC= ,AB=BC=AA1,D,E,F分别是其所在棱的中点,则下 列3个直观图中满足BF⊥DE的有 ( )             A.0个　　    B.1个　　    C.2个　　    D.3个     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　题图1中,因为∠ABC= ,所以AB⊥BC,由题意可知AA1⊥平面ABC,则可以B为原点, , , 的 方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设AB=BC=AA1=2,则B(0,0,0),E(0,1,0),D(1,0,2), F(1,1,0),所以 =(1,1,0), =(-1,1,-2),则 · =-1+1=0,所以BF⊥DE; 题图2中,建立同题图1的空间直角坐标系,则B(0,0,0),E(1,1,0),D(1,0,2),F(0,2,1),所以 =(0,2,1), =(0,1,-2), 则 · =2-2=0,所以BF⊥DE; 题图3中,建立同题图1的空间直角坐标系,则B(0,0,0),E(1,1,0),D(1,0,0),F(1,1,2),所以 =(1,1,2), =(0,1,0), 则 · =1≠0,所以BF,DE不垂直. 综上,满足BF⊥DE的直观图有2个. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026北京清华大学附属中学期中]已知平面α和两条不重合的直线a,b,a⊄α且b⊄α,给出三个论断: ①a⊥α;②a⊥b;③b∥α,以其中两个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出一个正确的命题 __________________. ①②③(或①③②     解析　设直线a,b的一个方向向量分别为a,b,平面α的一个法向量为n. ①②⇒③:因为a⊥α,所以a∥n,因为a⊥b,所以a⊥b,所以b⊥n,又b⊄α,所以b∥α. ①③⇒②:因为a⊥α,所以a∥n,因为b∥α,所以b⊥n,所以a⊥b,故a⊥b. ②③⇒①:若a⊥b,b∥α,结合a⊄α得,a∥α或a与α相交,故②③⇒①不成立. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[教材习题改编]如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,E为棱CD的中点, =3 ,且四棱锥E -BCFB1的体积为 . (1)求棱CC1的长; (2)证明:平面BCD1⊥平面B1EF.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得EC⊥平面BCFB1,且四边形BCFB1为直角梯形, 设CC1=h,则 = ×EC× (FC+BB1)×BC= ×1× × ×2= ,解得h=2 , 即棱CC1的长为2 . (2)证明:以D为原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则C(0,2,0),B(2,2,0),D1(0,0,2 ),E(0,1,0),F ,B1(2,2,2 ), 所以 =(2,0,0), =(0,-2,2 ), = , = . 设n=(x1,y1,z1)为平面BCD1的一个法向量, 则  第1讲　描述运动的基本概念 不妨取z1=1,得x1=0,y1= , 则n=(0, ,1), 设m=(x2,y2,z2)为平面B1EF的一个法向量, 则  不妨取z2=4,得x2=-3 ,y2=-2 , 则m=(-3 ,-2 ,4). 因为n·m=0-4+4=0, 所以平面BCD1⊥平面B1EF. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　利用向量解决平行、垂直问题 1.[多选题][2026广东广州奥林匹克中学月考]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是AB,CC1 的中点,则下列说法正确的是( ) A.AC1∥MN B.B1D⊥MN C.AC1∥平面MND D.三棱锥B1-MND的体积为1     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　建立空间直角坐标系,如图,   对于A,A(2,0,0),C1(0,2,2),M(2,1,0),N(0,2,1), 所以 =(-2,2,2), =(-2,1,1), 所以 与 不共线, 所以AC1与MN不平行,故A错误; 对于B,D(0,0,0),B1(2,2,2), 所以 =(2,2,2), 第1讲　描述运动的基本概念 所以 · =2×(-2)+2×1+2×1=0, 所以B1D⊥MN,故B正确; 对于C, =(-2,2,2), =(0,2,1), =(2,1,0), 设平面MND的一个法向量为n=(x,y,z), 则 即  令x=-1,则y=2,z=-4,所以n=(-1,2,-4), 所以n· =(-1)×(-2)+2×2+(-4)×2=-2≠0, 所以n与 不垂直, 所以AC1不平行于平面MND,故C错误; 对于D,过点M作MP∥DN,与BB1相交于点P,连接PN,则M,P,D,N四点共面, 第1讲　描述运动的基本概念 又M,N分别是AB,CC1的中点, 所以P为BB1上靠近点B的四等分点, 所以MP= DN,所以S△MNP= S△MND, 所以 =2 =2 =2× ×MB× =2× ×MB× × BB1×BC=2× ×1× × ×2×2=1,故D正确.   第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026湖北腾云联盟联考]如图所示,在三棱锥A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,M是AD的中 点,P是BM的中点, =λ (λ∈R),则下列结论正确的有 ( )   A.BC⊥平面ACD B.存在λ,使得PQ⊥平面ACD C.存在λ,使得PQ∥平面BCD D.若存在λ,使得PQ⊥平面ABD,则CD= CB     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为AD⊥平面BCD,BC⊥CD, 所以可建立如图所示的空间直角坐标系,   设BD=a,AD=b, 则B(a,0,0),A(0,0,b),D(0,0,0), 设C(m,n,0)(m>0,n>0),则 =(m-a,n,0), =(0,0,b), =(m,n,0), 因为BC⊥CD,所以 · =0, 故(m-a)m+n2=0,则 = . 第1讲　描述运动的基本概念 对于A,设n=(x,y,z)为平面ACD的一个法向量,则 即  不妨取x=n,得y=-m,z=0,则n=(n,-m,0), 因为 = ,所以n∥ , 所以BC⊥平面ACD,故A正确; 对于B,若PQ⊥平面ACD,则PQ∥BC, 故P,Q,B,C四点共面,又M∈BP, 所以P,Q,B,C,M五点共面, 而平面QCM即为平面ACD,故B在平面ACD内,与题设矛盾,故B错误; 对于C,因为 =λ , =(m,n,-b), 第1讲　描述运动的基本概念 所以 =λ(m,n,-b)=(λm,λn,-λb),所以Q(λm,λn,b-λb), 又B(a,0,0),M , 故P , 故 = , 因为AD⊥平面BCD,所以若PQ∥平面BCD,则 ⊥ ,所以 b=0, 解得λ= ,故C正确; 对于D,记平面ABD的一个法向量为s=(0,1,0),若PQ⊥平面ABD,则 ∥s, 故 则  第1讲　描述运动的基本概念 代入(m-a)m+n2=0, 得 m+n2=0,故n= m, 所以CD= = m, CB=  = = m, 故CD= CB,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026北京大兴兴华中学期中检测]《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各 种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1 C1,BB1的中点,G是MN的中点,则直线AG与平面A1B1C1______(填“是”或“不是”)相交?若 =x +y  +z ,则x+y+z=_________.   　是     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以A1为原点,A1A,A1B1,A1C1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,   设A1A=a,A1B1=b,A1C1=c, 则A1(0,0,0),A(a,0,0),M ,N ,则G , 所以 = , =(a,0,0), 因为AA1⊥平面A1B1C1, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 为平面A1B1C1的一个法向量, 因为 · =- ≠0, 所以直线AG与平面A1B1C1不平行. 因为AG∩AA1=A,AA1⊥平面A1B1C1, 所以AG与平面A1B1C1不垂直. 综上,直线AG与平面A1B1C1相交.  = ( + )=  =  +  +  , 所以x= ,y= ,z= ,则x+y+z= . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江西南昌第二中学月考]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,PA= AB=2,E,F分别为CD,CP的中点,T为△PAB内的一个动点(包括边界),若CT∥平面AEF,则点T的轨迹的长 度为_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题知AB,AD,AP两两互相垂直,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系, 设AB的中点为G,连接CG,GT, 因为四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,所以AG􀱀CE, 所以四边形AGCE为平行四边形, 所以CG∥AE, 又CG⊄平面AEF,AE⊂平面AEF, 所以CG∥平面AEF,又CT∥平面AEF,CG∩CT=C,CT,CG⊂平面CGT, 所以平面CGT∥平面AEF,延长GT,交PB于点H,连接CH,易知点T的轨迹为线段GH. 易知A(0,0,0),E(1,2,0),F(1,1,1),C(2,2,0),P(0,0,2),B(2,0,0), 所以 =(2,0,-2), =(-2,-2,2), =(1,2,0), =(1,1,1), 第1讲　描述运动的基本概念 设 =λ ,则 = + = +λ =(-2,-2,2)+λ(2,0,-2)=(2λ-2,-2,2-2λ), 设n=(x,y,z)为平面AEF的一个法向量, 则  令y=1,得x=-2,z=1,所以n=(-2,1,1). 因为CH∥平面AEF,所以 ⊥n. 所以 ·n=0, 即-2(2λ-2)-2+2-2λ=0,解得λ= , 则 = , 又 = =(1,2,0), 第1讲　描述运动的基本概念 所以 = + =(1,2,0)+ = , 则| |= = . 故点T的轨迹的长度为 .   第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026陕西咸阳育才中学月考]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点. (1)求证:A1E⊥BD; (2)若平面A1BD⊥平面EBD,求证:E为CC1的中点.   第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图,   设正方体的棱长为a, 则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),D(0,0,0), 则 =(-a,-a,0). 设E(0,a,e)(0≤e≤a),则 =(-a,a,e-a), ∵ · =a2-a2+0=0, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ ⊥ ,即A1E⊥BD. (2)由(1)可得 =(a,a,0), =(a,0,a), =(0,a,e), 设平面A1BD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 则 即  令x1=1,得y=z=-1,则n1=(1,-1,-1). 设平面EBD的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 即  令x2=1,得y2=-1,z2= , 第1讲　描述运动的基本概念 则n2= . 由平面A1BD⊥平面EBD,得n1⊥n2, ∴n1·n2=0,即2- =0,则e= , ∴当E为CC1的中点时,平面A1BD⊥平面EBD. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　用向量方法解决立体几何中的探索性问题 6.[2026广东八校联盟月考]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N是A1B1的中点. (1)求证:A1B⊥C1N; (2)F为线段AB上的动点,是否存在F使得AB⊥平面CC1F?若存在,请求出 的值;若不存在,请说明理由; (3)若M为AB的中点,G为△AMC的重心,H为C1G上一点,且C1H∶HG=3∶1,过H作任一平面分别交C1A,C1 C,C1M于点P,Q,R,若 =m , =n , =t ,求证: + + 为定值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,   则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2),C1(0,0,2),N , 则 =(-1,1,-2), = , 因为 · =-1× +1× +(-2)×0=0, 所以 ⊥ ,即A1B⊥C1N. (2)假设存在F使得AB⊥平面CC1F. 第1讲　描述运动的基本概念  =(-1,1,0), =(0,0,-2), 设 =λ =λ(-1,1,0)=(-λ,λ,0), 其中0≤λ≤1,则F(1-λ,λ,0), 则 =(1-λ,λ,0),因为AB⊥平面CC1F,C1C,CF⊂平面CC1F, 所以AB⊥C1C,AB⊥CF,则 · =0, · =-(1-λ)+λ=0,解得λ= , 所以 =  ,所以 =1, 故存在点F,使得AB⊥平面CC1F,此时 =1. (3)证明:因为G为△AMC的重心, 所以 + + =0, 即 - + - + - =0, 第1讲　描述运动的基本概念 可得 = ( + + ),   因为H为C1G上一点,且C1H∶HG=3∶1, 所以 =  = ( + + ). 因为P,R,Q,H四点共面,所以存在λ,μ∈R, 使得 =λ +μ ,即 - =λ( - )+μ( - ), 第1讲　描述运动的基本概念 所以 =(1-λ-μ) +λ +μ =(1-λ-μ)m +λn +μt , 又 = ( + + ),且 , , 不共面,所以由空间向量基本定理可得  因此 + + =4(1-λ-μ)+4λ+4μ=4,为定值. 第1讲　描述运动的基本概念 解题模板　用空间向量解决线、面关系的探索性问题的核心思路是通过建立空间直角坐标系将几何 问题转化为代数运算,具体步骤如下: 1.建系:根据垂直关系建立空间直角坐标系,标出关键点的坐标; 2.设参:用参数表示动点的坐标(直线上的点用1个参数,平面上的点用2个参数); 3.列式:根据线面平行(直线的方向向量与平面的法向量垂直)或垂直(直线的方向向量与平面的法向量 平行)列方程(组); 4.求解:解方程(组),若参数存在且符合范围,则存在,否则不存在; 5.结论:将代数方程的解翻译为几何存在性. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025重庆合川大石中学等多校期中]如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠BAC=120°,AB= AC=3A1B1=3A1C1=3,AA1=2,D是棱AC的中点,E为棱BC上一动点. (1)判断是否存在点E,使AB1∥平面C1DE; (2)是否存在点E,使平面C1DE⊥平面A1ABB1?若存在,求此时平面C1DE的一个法向量;若不存在,请说明 理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,过点A作AF⊥AC交BC于F,以A为原点,AC,AF,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系,   则A(0,0,0),B ,C(3,0,0),A1(0,0,2),B1 ,C1(1,0,2),D . 设 =λ (0≤λ≤1), 则 = , 第1讲　描述运动的基本概念 则E , 设u=(x,y,z)为平面C1DE的一个法向量,又 = , = , 故  不妨取x= λ,得y=3λ-1,z= λ, 则u= . (1)存在.易得 = , 第1讲　描述运动的基本概念 若AB1∥平面C1DE,则 ·u=0, 即- × λ+ (3λ-1)+2× λ=0, 解得λ= , 又因为AB1⊄平面C1DE,(易错点) 所以AB1∥平面C1DE. 故当E为棱BC上靠近点C的三等分点时,AB1∥平面C1DE. (2)存在.设m=(x1,y1,z1)为平面A1ABB1的一个法向量, 又 =(0,0,2), = , 第1讲　描述运动的基本概念 故  不妨取y1=1,得x1= ,z1=0, 则m=( ,1,0). 若平面C1DE⊥平面A1ABB1, 则m·u=0, 即3λ+3λ-1=0,解得λ= , 所以当点E为棱BC上靠近点C的六等分点时,平面C1DE⊥平面A1ABB1, 此时平面C1DE的一个法向量为u= . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　通过新定义,考查利用向量法判断线面位置关系 8.[2026重庆复旦中学教育集团期中]空间直角坐标系O-xyz中,经过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为m=(A,B, C)的平面的方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为n=(μ,v,ω)(μvω≠0)的直 线l的方程为 = = ,阅读上面的材料并解决下面的问题:现给出平面α的方程为-3x+4y-z+7= 0,经过点(0,0,0)的直线l的方程为 = = ,则直线l与平面α的位置关系为( ) A.l∥α　　　　　　    B.相交但不垂直 C.l⊥α　　　　　　    D.l⊂α     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题设知平面α的方程可写为3(x-1)-4(y+1)+(z-0)=0, 所以平面α经过点(1,-1,0),且一个法向量为m=(3,-4,1), 又直线l的一个方向向量为n=(-3,-2,1), 所以m·n=3×(-3)+(-4)×(-2)+1×1=0, 即m⊥n,则l∥α或l⊂α, 又点(0,0,0)在直线l上,不在平面α内,所以l⊄α,故l∥α. 第1讲　描述运动的基本概念 $