4.1 直线的方向向量与平面的法向量-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．(2024·江西省清江中学期末)若P(1，0，－2)，Q(3，1，1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 解析：选C．依题意，直线l的一个方向向量为＝(3，1，1)－(1，0，－2)＝(2，1，3)，其他三个均不符合要求．故选C． 2．已知向量＝(2，4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y，3)，若AB⊂α，则(　　) A．x＝6，y＝2 B．x＝2，y＝6 C．3x＋4y＋2＝0 D．4x＋3y＋2＝0 解析：选C．由题意可知·n＝0，可得3x＋4y＋2＝0. 3．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ 解析：选D．由题意可知a∥b，则＝＝，解得x＝6，y＝.故选D． 4．已知平面α内有两点M(－2，3，1)，N(2，4，1)，若平面α的一个法向量为n＝(6，a，6)，则a＝(　　) A．－ B． C．－24 D．24 解析：选C．由题可得＝(4，1，0)，因为平面α的一个法向量为n＝(6，a，6)，所以n⊥，所以n·＝(6，a，6)·(4，1，0)＝6×4＋a×1＋6×0＝0，解得a＝－24.故选C． 5．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝(　　) A．0　 B．1 C． D．3 解析：选A．由题意得＝(－1，2－y，z－3)，因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，故设＝km.所以解得 所以y－z＝0.故选A． 6．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的是(　　) A．AB⊥AP B．AD⊥AP C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 解析：选ABC．因为·＝0，·＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确；又与不平行，所以是平面ABCD的一个法向量， 则C正确；因为＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，所以与不平行，故D错误． 7.(2024·陕西宝鸡期末)在长方体 ABCD －A′B′C′D′中，AA′＝2AB＝2AD＝2，以点D为坐标原点，以DA，DC，DD′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设平面ACD′的一个法向量为n＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝__________． 解析：由题意得A(1，0，0)，C(0，1，0)，D′(0，0，2)，则＝(－1，1，0)，＝(－1，0，2)，因为平面ACD′的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝2k(k≠0)，则y＝2k，z＝k，故x∶y∶z＝2∶2∶1. 答案：2∶2∶1 8．(2024·陕西榆林联考)在空间直角坐标系O－xyz中，点M(2，0，2)在平面α内，且OM⊥α，N(a，b，c)为平面α内任意一点，则a＋c＝______________. 解析：由题知＝(a－2，b，c－2)，根据OM⊥α可知，＝(2，0，2)是平面α的一个法向量，则·＝0，所以2(a－2)＋0×b＋2(c－2)＝0，整理可得a＋c＝4. 答案：4 9．已知点O(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(1，1，2)，D1(0，0，2)，C(0，1，0)，若在平面AB1D1内存在点E，使得CE⊥平面AB1D1，则点E的坐标是______________． 解析：由已知，可得＝(0，1，2)，＝(－1，0，2)，可设＝m＋n＝m(0，1，2)＋n(－1，0，2)＝(－n，m，2m＋2n).又＝(－1，1，0)，所以＝－＝(1－n，m－1，2m＋2n).又CE⊥平面AB1D1，所以即解得m＝n＝，故＝(－，，)，所以＝＋＝(，，)，故点E的坐标为(，，). 答案：(，，) 10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的一个法向量． 证明：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，E，D1(0，0，1)，F，A1(1，0，1)，＝，＝，＝(－1，0，0).因为·＝·＝－＝0，又·＝0，所以⊥，⊥．又A1D1∩D1F＝D1，A1D1，D1F⊂平面A1D1F，所以AE⊥平面A1D1F，所以是平面A1D1F的一个法向量． 11．(多选)已知点M(1，2，3)，N(2，3，4)，P(－1，2，－3)，若||＝3||且∥，则点Q的坐标为(　　) A．(－4，－1，－6) B．(2，5，0) C．(3，4，1) D．(－3，－2，－5) 解析：选AB．因为∥，所以＝3或＝－3，设Q(x，y，z)，则(x＋1，y－2，z＋3)＝3(1，1，1)或(x＋1，y－2，z＋3)＝－3(1，1，1)，即或解得或所以Q(2，5，0)或Q(－4，－1，－6). 12．(2024·广西北海检测)17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，创立了新分支——解析几何，我们知道，方程x＝1在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面．那么，过点P(1，－1，2)，法向量为v＝(1，2，3)的平面的方程是_________________． 解析：过点P(1，－1，2)，法向量为v＝(1，2，3)的平面的方程为1(x－1)＋2(y＋1)＋3(z－2)＝0，即x＋2y＋3z－5＝0. 答案：x＋2y＋3z－5＝0 13．(2024·河南联考)已知在空间直角坐标系中，点A(2，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，6)，点M(x，y，2)(x>0，y>0)在平面ABC内，则＋的最小值为__________． 解析：依题意，＝(－2，3，0)，＝(0，－3，6)，＝(x－2，y，2)，设m＝(a，b，c)是平面ABC的一个法向量，则令c＝1，得m＝(3，2，1)，依题意，m·＝0，则3x＋2y＝4，则＋＝(3x＋2y)(＋)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，当且仅当x＝y，即x＝4－，y＝2－4时取等号，所以当x＝4－，y＝2－4时，＋取得最小值，最小值为. 答案： 14．已知点A(1，2，－1)，B(2，0，1)在直线l上． (1)求直线l的一个方向向量； (2)判断点M(3，3，1)是否在直线l上． 解：(1)直线l的一个方向向量为＝(1，－2，2). (2)＝(2，1，2).设＝λ，即(2，1，2)＝λ(1，－2，2)，所以无解，即这样的λ不存在，即向量与不共线．故点M不在直线l上． 15.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝，则平面OCB1的一个法向量n＝__________． 解析：因为四边形ABCD是正方形，且AB＝，所以AO＝OC＝1，所以＝(0，1，0)，因为A(0，－1，0)，B(1，0，0)，所以＝(1，1，0)，所以＝(1，1，0)，因为AO＝1，AA1＝，所以在Rt△A1OA中，OA1＝＝1，故＝(0，0，1)，故＝＋＝(1，1，1)，设向量n＝(x，y，z)是平面OCB1的一个法向量，所以故y＝0，x＝－z，取x＝1，故z＝－1，则平面OCB1的一个法向量n＝(1，0，－1). 答案：(1，0，－1)(答案不唯一) 16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝AB，E是线段PC的中点．求证：PD⊥平面ABE. 证明：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，所以AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设PA＝AB＝BC＝1，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(1，0，0)，D.连接AC，因为∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形．所以C(，，0)，E(，，).所以＝(1，0，0)，＝(，，)，因为＝(0，，－1)，所以·＝(0，，－1)·(1，0，0)＝0，所以⊥.又·＝(0，，－1)·(，，)＝0×＋×－＝0，所以⊥.又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，故PD⊥平面ABE. 学科网（北京）股份有限公司 $