03-§3 02-3.2 空间向量运算的坐标表示及应用（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示及应用，涵盖基下坐标、运算、平行垂直、长度夹角等核心内容。课堂导入从空间直角坐标系切入，联系平面向量知识，通过题组逐步过渡，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于精选各地月考期中题，情境丰富，解析注重推理过程，如斜坐标系创新题型培养数学眼光和创新意识。分层设计基础与能力题组，助力学生发展空间观念和运算能力，教师可直接用于分层教学，提升效率。

第三章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　空间向量在基下的坐标表示 1.[2026福建泉州月考]已知i,j,k分别是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,且  =3k, =-i+j-k,则点B的坐标为( ) A.(1,-1,1)　　    B.(-1,1,1)　　     C.(1,-1,2)　　    D.(-1,1,2)     D     解析　由题意可知, =(0,0,3), =(-1,1,-1), 设B(x,y,z),则 = - , 即(-1,1,-1)=(x,y,z-3), 所以x=-1,y=1,z=2,故B(-1,1,2). 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西南昌第一中学期中]已知向量p在基{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基{a+b,a-b,2c}下 的坐标为 ( ) A. 　　    B.(3,-1,3) C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为向量p在基{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),所以p=a+2b+3c, 设向量p在基{a+b,a-b,2c}下的坐标为(x,y,z), 则p=x(a+b)+y(a-b)+2zc=(x+y)a+(x-y)b+2zc, 可得 解得  所以向量p在基{a+b,a-b,2c}下的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　空间向量运算的坐标表示 3.[2026江西赣州赣县中学月考]已知空间中点A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),D(1,1,λ),若A,B,C,D四点共面,则 实数λ的值为 ( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得 =(-1,2,0), =(-1,0,3), =(0,1,λ), 因为A,B,C,D四点共面,所以存在唯一的有序实数对(x,y),使得 =x +y , 即(-1,2,0)=(-x,0,3x)+(0,y,λy)=(-x,y,3x+λy), 所以 解得  第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江西上饶余干第二中学检测]已知a=(cos α,-1,sin α),b=(sin α,1,-cos α),若α∈R,则(a+b)·(a-b)=____.     0 解析　由题意可得a+b=(sin α+cos α,0,sin α-cos α), a-b=(cos α-sin α,-2,sin α+cos α), 则(a+b)·(a-b)=cos2α-sin2α+0+sin2α-cos2α=0. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026广东部分学校联考]已知在空间直角坐标系O-xyz中,A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),动点P满足 =2a  +b +c ,其中a,b,c∈[0,1],且a+b+c=1,则点P的轨迹的面积为_______.     2      第1讲　描述运动的基本概念 解析　令A'(2,0,0),则2 = , 则 =2a +b +c =a +b +c , 由a+b+c=1,得点P在平面A'BC内, 设P(x,y,z),由 =a +b +c =(2a,2b,2c),得x=2a,y=2b,z=2c, 则x+y+z=2,又a,b,c∈[0,1], 所以x,y,z∈[0,2], 因此点P的轨迹是△A'BC, 易求得A'B=BC=A'C=2 ,则△A'BC是等边三角形, 则S△A'BC= ×2 ×2 sin 60°=2 , 所以点P的轨迹的面积为2 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025山东菏泽第一中学月考]已知点A(-1,1,0),B(1,3,2),与向量 不共线的向量a=(x,y,z)在 方向上 的投影向量为(1,1,1),请给出a的一个坐标:____________________.     (1,2,0)(答案不唯一)     解析　由题意得 =(2,2,2),又a=(x,y,z)在 方向上的投影向量为(1,1,1), ∴ ·  = · (2,2,2)= (2,2,2)=(1,1,1), 则x+y+z=3, ∵向量 与a不共线, ∴ = = 不成立,则可令x=1,y=2,z=0,即a=(1,2,0).(答案不唯一) 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　空间向量的平行与垂直 7.[2026江西师范大学附属中学素养测试]已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k=  ( ) A.-1　　    B.2　　    C. 　　    D.-      C     解析　由题意知ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2), 因为ka+b与2a-b互相垂直, 所以(ka+b)·(2a-b)=0, 即3(k-1)+2k-4=0,解得k= . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026山东济南第三中学质量检测]设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-2,2),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=  ( ) A.2 　　    B. 　　    C.3　　    D.4     B     解析　因为a⊥c,所以a·c=0,即2x-2+2=0,解得x=0, 因为b∥c,所以 = = ,解得y=-1, 则a=(0,1,1),b=(1,-1,1), 所以a+b=(1,0,2), 所以|a+b|= = . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026安徽阜阳临泉月考]在空间直角坐标系中,等腰梯形ABCD的顶点A(0,-1,2),B(2,-2,1),C(1,3,2),且 AB,CD分别为等腰梯形的腰,则点D的坐标为 ( ) A. 　　    B.  C.(3,-2,1)　　     D.(-1,3,4)     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得 =(2,-1,-1), =(-1,5,1), 设D(x,y,z),则 =(1-x,3-y,2-z), =(x,y+1,z-2), 因为四边形ABCD为等腰梯形, 所以 · =- · , 则 · + · =0,且 ∥ , 所以  解得 所以D . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[多选题][2025广东深圳外国语学校月考]已知向量a=(1,-1,0),b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则 ( ) A.|a-b|=6　　    B.(a+3b)·(b+c)=7 C.(a+4b)⊥c　　    D.a∥(b-c)     BD     解析　对于A,a-b=(2,-1,-1), 所以|a-b|= = ,A错误; 对于B,a+3b=(-2,-1,3),b+c=(1,-3,2), 所以(a+3b)·(b+c)=-2+3+6=7,B正确; 对于C,a+4b=(-3,-1,4), 所以(a+4b)·c=-6+3+4=1≠0,C错误; 对于D,b-c=(-3,3,0)=-3a, 所以a∥(b-c),D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.某三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为三角形A1B1C1,若∠BAC=90°,A1 A⊥平面ABC,A1A= ,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.   第1讲　描述运动的基本概念 证明　以A为原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略), 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0, ). ∵D为BC的中点, ∴点D的坐标为(1,1,0), ∴ =(1,1,0), =(0,0, ), =(-2,2,0), ∴ · =1×(-2)+1×2+0×0=0,  · =0×(-2)+0×2+ ×0=0, ∴ ⊥ , ⊥ , ∴BC⊥AD,BC⊥AA1. 又A1A,AD⊂平面A1AD,A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD. 又BC⊂平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　空间向量的长度和夹角 12.[易错题][2026江西师范大学附属中学素养测试]已知向量 =(1,1,0), =(-1,0,2),则“k· + 与k  -2 的夹角为钝角”是“- <k<2”的 ( ) A.充分不必要条件　　     B.必要不充分条件 C.充要条件　　     D.既不充分也不必要条件     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得k + =k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), k -2 =k(1,1,0)-2(-1,0,2)=(k+2,k,-4), 因为k + 与k -2 的夹角为钝角, 所以(k + )·(k -2 )<0, 且k + 与k -2 不能反向共线. 由(k + )·(k -2 )<0, 得(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)<0, 即2k2+k-10<0, 解得- <k<2. 当k + 与k -2 反向共线时(易错点), 设k + =t(k -2 ), 第1讲　描述运动的基本概念 即k + =tk -2t , 则  解得  所以当k=0时,k + 与k -2 反向共线. 综上,若k + 与k -2 的夹角为钝角,则- <k<0或0<k<2. 故“k + 与k -2 的夹角为钝角”是“- <k<2”的充分不必要条件. 易错警示　向量a与b的夹角为钝角,不能等价转化为a·b<0,要注意排除两向量夹角为π的情形. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026湖南湘一名校联盟期中]已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,以A为坐标原点, AB,AD所在直线分别为x轴、y轴,过点A且与平面ABCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系,若 = (1,3,2),| |= ,则四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为 ( ) A.4 　　    B.12　　    C.8　　    D.4     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图, 由 =(1,3,2)得A1(1,3,2), 所以该四棱柱的高为2, 设C(a,a,0),则 =(a-1,a-3,-2), 由| |= , 得  , 解得a=2(二重根), 所以底面ABCD是边长为2的正方形, 所以该四棱柱的体积为22×2=8. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江苏无锡阶段检测]已知空间中的三点A(0,1,-1),B(-3,1,3),C(1,0,-1),以AB,AC为邻边的平行四 边形的面积为;若|a|= ,且a分别与 ,  垂直,则向量a的坐标为_______________.     (4,4,3)或(-4,-4,-3)     第1讲　描述运动的基本概念 解析     =(-3,0,4), =(1,-1,0), ∴ · =-3,| |=5,| |= , ∴cos< , >= =- =- ,∴sin< , >= , ∴以AB,AC为邻边的平行四边形的面积S=| || |sin< , >=5 × = . 设a=(x,y,z),则x2+y2+z2=41, ∵a⊥ ,a⊥ ,∴  由 得 或 ∴a的坐标为(4,4,3)或(-4,-4,-3). 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025江西八校协作体联考]已知空间中的三点A(1,-2,4),B(-1,-1,7),C(-2,2,3). (1)设|c|=2 ,c∥ ,求c的坐标; (2)求△ABC的面积. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知得 =(-2,1,3), 由c∥ ,可设c=λ (λ∈R), 所以|c|=|λ|·| |=|λ|× = |λ|=2 ,解得λ=±2, 所以c=2 =(-4,2,6)或c=-2 =(4,-2,-6). (2)由题可得 =(3,-4,1), =(1,-3,4), 所以 · =3×1+(-4)×(-3)+1×4=19, | |= = ,| |= = , 故cos< , >= = = , 又< , >∈[0,π],所以sin< , >= = , 所以△ABC的面积S= | || |×sin< , >= × × × = . 第1讲　描述运动的基本概念 16.[教材习题改编]棱长为2的正方体中,E,F分别是DD1,DB的中点,点G在棱CD上,且CG= CD,H是C1G的 中点. (1)证明:EF⊥B1C; (2)求cos< , >; (3)求FH的长.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,以D为原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系D-xyz,   则E(0,0,1),F(1,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),B1(2,2,2),G . (1)证明: =(1,1,-1), =(-2,0,-2), 所以 · =(1,1,-1)·(-2,0,-2)=1×(-2)+1×0+(-1)×(-2)=0, 所以 ⊥ ,故EF⊥B1C. (2)易求得 = , 第1讲　描述运动的基本概念 所以| |= = , 又| |= = ,  · = , 所以cos< , >= = = . (3)因为H是C1G的中点, 所以H , 又F(1,1,0),所以 = , 所以| |= = ,即FH= . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 第1讲　描述运动的基本概念 题组　空间向量运算的坐标表示及应用 1.[2026河南信阳滨城高级中学月考]△ABC中,AB=4,BC=AC=2 ,P为空间中一动点,则( + )· 的 最小值是 ( ) A.-2　　    B.-2 　　     C.-3　　    D.-4     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为△ABC中,AB=4,BC=AC=2 , 所以AC2+BC2=AB2, 所以△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°. 以C为原点,CA,CB所在直线分别为x轴、y轴,过C且与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,   则A(2 ,0,0),B(0,2 ,0),C(0,0,0). 设P(x,y,z),则 =(2 -x,-y,-z),  =(-x,2 -y,-z), =(-x,-y,-z), 第1讲　描述运动的基本概念 故( + )· =(2 -2x,2 -2y,-2z)·(-x,-y,-z) =(2 -2x)(-x)+(2 -2y)(-y)+(-2z)(-z) =2x2-2 x+2y2-2 y+2z2 =2 -1+2 -1+2z2 =2 +2 +2z2-2, 当x= ,y= ,z=0时,( + )· 取得最小值,为-2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏南通第一中学月考]如图,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是正三角形,四边形ABCD是正方 形,M是平面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹是 ( )    A  B  C  D     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,取AD的中点O,BC的中点N,连接OP,ON, 因为△PAD是正三角形,所以PA=PD, 又O为AD的中点,所以PO⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD, 故PO⊥平面ABCD,易得ON⊥AD, 故以O为坐标原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,   第1讲　描述运动的基本概念 不妨取AB=2,则OP= , 则P(0,0, ),C(-1,2,0). 设M(x,y,0),则 =(-x,-y, ), =(-1-x,2-y,0). 因为MP=MC,所以| |=| |, 所以  = , 化简得x-2y+1=0, 故点M的轨迹是一条直线,排除C,D, 又点B(1,2,0)不在直线上,点(1,1,0)在直线上,故排除B,A正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西师范大学附属中学素养测试]如图,正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,A1B1=1,AA1=2,M是C1 D1的中点,Q是BC的中点,在直线AA1上取一点P,使得MP⊥MQ,则线段PQ的长度为 ( )   A.3　　    B. 　　    C. 　　    D.4     C     第1讲　描述运动的基本概念 思路点拨 ①正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面的中心的连线就是正四棱台的高,从而可建立z轴,再利用正四 棱台的底面为正方形,即可建立空间直角坐标系; ②明晰点M,P,Q在图形中的位置,确定 , , 的坐标; ③用向量的模的公式求两点间的距离. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接AC,BD交于点O,连接A1C1,B1D1交于点O1,连接OO1.   由正四棱台的结构特征知AC,BD,OO1两两垂直, 故以O为坐标原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,A1B1=1,AA1=2, 所以OA=OB= ,O1A1=O1B1= , 第1讲　描述运动的基本概念 OO1= = , 则A ,B , C ,A1 , C1 ,D1 . 因为M是C1D1的中点, 所以M . 令 =λ , 则 = + = +λ  第1讲　描述运动的基本概念 = +λ(- ,0, ) = .  = + = +   = +   = , 要使MP⊥MQ,则 · =0, 即 -λ=0,解得λ= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以 = , 所以 = -  = -  = , 所以| |=  = . 故线段PQ的长度为 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025辽宁锦州期末质量检测]记空间中的一些点构成的集合为A,原点为O,且对任意P1,P2,P3∈A,都存 在不全为零的实数x,y,z,使得x +y +z =0,若(1,1,1)∈A,则下列结论可能成立的是 ( ) A.(1,0,1)∈A,且(1,0,-1)∈A B.(0,0,1)∈A,且(2,2,3)∈A C.(1,2,1)∈A,且(2,2,3)∈A D.(3,2,1)∈A,且(1,0,1)∈A     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,设P1(1,1,1),P2(1,0,1),P3(1,0,-1), 假设存在不全为零的实数x,y,z, 使得x +y +z =0, 即x(1,1,1)+y(1,0,1)+z(1,0,-1)=(0,0,0),则 解得 与假设矛盾,故A错误; 对于B,设P1(1,1,1),P2(0,0,1),P3(2,2,3), 假设存在不全为零的实数x,y,z, 使得x +y +z =0, 即x(1,1,1)+y(0,0,1)+z(2,2,3)=(0,0,0),则 令z=-1,则x=2,y=1,满足假设,故B正确; 第1讲　描述运动的基本概念 对于C,设P1(1,1,1),P2(1,2,1),P3(2,2,3), 假设存在不全为零的实数x,y,z, 使得x +y +z =0, 即x(1,1,1)+y(1,2,1)+z(2,2,3)=(0,0,0), 则 解得 与假设矛盾,故C错误; 对于D,设P1(1,1,1),P2(3,2,1),P3(1,0,1), 假设存在不全为零的实数x,y,z, 使得x +y +z =0, 即x(1,1,1)+y(3,2,1)+z(1,0,1)=(0,0,0),则 解得 与假设矛盾,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2025江西南昌第一中学期中]“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型,图① 是某同学绘制的“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯 穿”构成的多面体,其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱,两个四棱柱 分别有两条相对的侧棱交于两点,另外两条相对的侧棱交于一点(该点为所在棱的中点).若该同学绘制 的“十字贯穿体”由两个底面边长为2,高为4 的正四棱柱构成,在其直观图中建立如图②所示的空 间直角坐标系,则下列说法正确的是 ( )            ACD     A.|GE|=  B.点C的坐标为(-2,2,2 ) C.O,E,F,A四点共面 D.直线 与 夹角的余弦值为  第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接BD,依题意知正方形ABCD的对角线BD的长为2 ,则ED= , 所以O(0,0,0),G(2,2,2 ),E(0,2,3 ),A(0,4,2 ),F(0,2, ),D(-1,3,3 ),B(-1,3, ). 对于A,|GE|= = ,故A正确; 对于B,由 = =(-1,-1,- ), 得C(-2,2,2 ),故B错误; 对于C, =(0,4,2 ), =(0,2,3 ), =(0,2, ),则 =2 , 即O,A,F三点共线, 又O为向量 , 的公共起点,所以O,E,F,A四点共面,故C正确; 对于D, =(2,0, ), =(3,-1,- ), 所以 与 夹角的余弦值为 = ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026江西景德镇一中期中]如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是DD1, A1B1,CD,BC的中点,则下列说法正确的有 ( )   A.E,F,G,H四点共面 B. 与 所成角的大小为  C.在线段BD上存在点M,使得MC1⊥平面EFG D.在线段A1B上任取一点N,三棱锥N-EFG的体积为定值     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则E(0,2,1),F(1,0,2),G(1,2,0),H(2,1,0), 故 =(1,-2,1), =(1,0,-1), =(2,-1,-1). 设 =m +n , 即(2,-1,-1)=(m+n,-2m,m-n), 所以 解得  所以 , , 共面, 又E为公共点,所以E,F,G,H四点共面,故A正确; B(2,0,0),D(0,2,0),则 =(-2,2,0), 第1讲　描述运动的基本概念 所以cos< , >= =- , 所以 与 所成角的大小为 ,故B正确; 对于C,假设在线段BD上存在点M,使得MC1⊥平面EFG,可设M(x,2-x,0),0≤x≤2,又C1(2,2,2), 则 =(2-x,x,2), 由 · =2-x-2x+2=0,得x= , 由 · =2-x-2=0,得x=0, 则MC1与EF垂直和MC1与EG垂直不能同时成立,所以MC1与平面EFG不垂直,故C错误; A1(0,0,2),则 =(2,0,-2)=2 , 所以 ∥ , 第1讲　描述运动的基本概念 又A1,B,E,G不共线,所以A1B∥EG, 又EG⊂平面EFG,A1B⊄平面EFG, 所以A1B∥平面EFG, 所以点N到平面EFG的距离即为点B到平面EFG的距离,为定值, 又△EFG的面积为定值,所以三棱锥N-EFG的体积为定值,故D正确.   第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026四川南充百校联考]对于空间向量a=(x1,y1,z1)与b=(x2,y2,z2),定义它们之间的曼哈顿距离为D(a,b) =|x1-x2|+|y1-y2|+|z1-z2|.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点P在上底面A1B1C1D1内(含边界)运 动,且| |= ,设D( , )的最大值为M,最小值为N,则M-N=_______.        -1     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以A为原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系. 易知A(0,0,0),C(2,2,0), 则 =(2,2,0). 因为P在上底面A1B1C1D1内(含边界)运动,且| |= , 所以| |= =1, 所以P的轨迹为上底面A1B1C1D1内,以A1为圆心,1为半径的圆, 可设P(cos θ,sin θ,2),θ∈ , 则 =(cos θ,sin θ,2),θ∈ , 所以D( , )=|2-cos θ|+|2-sin θ|+2=2-cos θ+2-sin θ+2=6- sin ,θ∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 由θ∈ ,得θ+ ∈ , 所以sin ∈ , 则D( , )∈[6- ,5], 所以M=5,N=6- , 所以M-N=5-(6- )= -1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026北京八一学校月考]已知空间中三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,1,4). (1)求线段AB的中点的坐标和线段AB的长度; (2)求cos< , >的值; (3)若点P在直线AC上,且BP⊥AC,求点P的坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为A(0,2,3),B(-2,1,6), 所以线段AB的中点的坐标为 . 易得 =(-2,-1,3), 所以| |= = , 所以线段AB的长度为 . (2)因为A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,1,4), 所以 =(-2,-1,3), =(1,-1,1), 所以cos< , >= = . (3)由题意设 =λ =λ(1,-1,1)=(λ,-λ,λ),O为坐标原点, 则 = + =(0,2,3)+(λ,-λ,λ)=(λ,2-λ,3+λ), 第1讲　描述运动的基本概念 则 = - =(λ,2-λ,3+λ)-(-2,1,6)=(λ+2,1-λ,λ-3), 因为BP⊥AC,所以 ⊥ , 所以 · =1×(λ+2)+(-1)×(1-λ)+1×(λ-3)=3λ-2=0,解得λ= , 故 = , 所以点P的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　通过定义斜坐标系考查空间向量的坐标运算 9.[2025福建福州长乐第一中学阶段考试]空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐 标系,如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“空间斜坐标系”.现有一种空间斜 坐标系,其中任意两条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“空间斜60°坐标系”.类比空间直角 坐标系,定义:在“空间斜60°坐标系”下,i,j,k分别为三条坐标轴(x轴、y轴、z轴)正方向上的单位向量, 若向量n=xi+yj+zk,则n与有序实数组(x,y,z)相对应,称向量n的斜60°坐标为[x,y,z],记作n=[x,y,z]. (1)若a=[1,2,3],b=[-1,1,2],求a+b的斜60°坐标; (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,如图,以{ , ,  }为基建立“空间斜60°坐标系”. ①若 = ,求向量 的斜60°坐标; ②若 =[2,t,0],且 ⊥ ,求| |. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵a=[1,2,3],b=[-1,1,2], ∴a+b=(i+2j+3k)+(-i+j+2k)=3j+5k=[0,3,5], ∴a+b的斜60°坐标为[0,3,5]. (2)设i,j,k分别为与 , , 同方向的单位向量, 则 =2i, =2j, =3k,cos<i,j>=cos<j,k>=cos<i,k>=cos 60°= . ①由题意得E为BB1的中点. 连接AD1,AE,则 = - =( + )- =- + +  =-2i+2j+ k= , ∴ 的斜60°坐标为 . ②由题意得 = + + =2i+2j+3k, 第1讲　描述运动的基本概念 ∵ =[2,t,0],∴ =2i+tj, 由 ⊥ 得 · =(2i+tj)·(2i+2j+3k)=0, ∴4i2+2tj2+(4+2t)i·j+6k·i+3tk·j=0, ∴4+2t+ (4+2t)+3+ =0,解得t=-2, 则| |=|2i-2j|= = = =2. 第1讲　描述运动的基本概念 $