3.3.2 空间向量运算的坐标表示及应用 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量运算的坐标表示及应用同步练，以基础巩固为核心，通过三级分层设计实现从单一运算到几何综合应用的进阶，培养数学运算与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|坐标表示、模长计算、垂直平行判定|单选/多选聚焦概念辨析，如向量坐标求解、夹角余弦值计算，夯实运算基础| |中档|综合运算、几何简单应用|填空含参数最值（如向量差模长最小值），解答题涉及三角形面积与高，强化知识迁移| |拔高|探究性问题、多知识点综合|选条件探究存在性（如正方体中EF⊥A₁C）、正三棱柱异面直线夹角判断，发展创新意识|

3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 1.已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若＝（O为坐标原点），则C的坐标是（　　） A.　　　　 B. C. D. 2.向量a＝（2，4，x），b＝（2，y，2）.若｜a｜＝6且a⊥b，则x＋y＝（　　） A.－3 B.1 C.3或1 D.－3或1 3.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），A1（4，0，3），则体对角线AC1的长为（　　） A.9 B. C.5 D.2 5.（多选）若向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），则（　　） A.cos＜a，b＞＝－ B.a⊥b C.a∥b D.｜a｜＝｜b｜ 6.（多选）已知空间直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－1，4），坐标原点为O，且与＝（x，y，z）方向相反，则（　　） A.x＋y＋z＝0 B.x＝3y C.x＋z＝0 D.4y＋z＝0 7.如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，且PD的中点为M，则向量的坐标为　　　　. 8.已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），则｜b－a｜的最小值是　　　　. 9.已知向量a＝（k，1，k＋3），b＝（k＋2，k，－2），使得向量a，b的夹角为钝角的一个整数k可以是　　　　. 10.已知空间三点A（1，2，3），B（2，－1，5），C（3，2，－5）. （1）求△ABC的面积； （2）求△ABC中AB边上的高. 11.如图所示，在四棱锥E-ABCD中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA＝AB＝DA＝2CB，EA⊥AB，M是EC的中点，则下述结论正确的一项是（　　） A.DM⊥EB B.DM⊥EC C.DM⊥BM D.DM⊥BA 12.如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，若E，F分别为与线段BC的中点，圆柱的母线长为4，侧面积为8π，则异面直线EF与AC所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 13.（多选）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，点P为线段A1C上的动点，则下列结论正确的是（　　） A.当＝2时，B1，P，D三点共线 B.当⊥时，⊥ C.当＝3时，＝（，，－） D.当＝5时，A1C⊥平面D1AP 14.三棱锥P-ABC各顶点的坐标分别为A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），P（0，0，3），则三棱锥P-ABC的体积为　　　　. 15.在①（＋）⊥（－）；②｜｜＝；③0＜cos＜，＞＜1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成问题. 问题：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz.已知点D1的坐标为（0，0，2），E为棱D1C1上的动点，F为棱B1C1上的动点，　　　　 　，试问是否存在点E，F满足EF⊥A1C？若存在，求此时·的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 16.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？ 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 1.B　∵＝（－3，7，－5），∴＝（－3，7，－5）＝.∴点C的坐标为.故选B. 2.D　因为a⊥b，所以a·b＝2×2＋4y＋2x＝2x＋4y＋4＝0.又｜a｜＝＝＝6，所以由解得或所以x＋y＝1或x＋y＝－3，故选D. 3.C　a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而｜a｜＝＝，所以cos＜a，c＞＝＝－，所以＜a，c＞＝120°. 4.B　由已知，可得C1（0，2，3）， 所以｜｜＝＝. 5.AD　∵向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），∴｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝1×（－2）＋2×0＋0×1＝－2，cos＜a，b＞＝＝＝－.故A、D正确，B、C 不正确. 6.ABD　由题意，得＝（x，y，z），且＝λ＝（－3λ，－λ，4λ），其中λ＜0，则x＝－3λ，y＝－λ，z＝4λ，则x＋y＋z＝0，即选项A正确；x＝3y，即选项B正确；x＋z＝λ＜0，即选项C错误；4y＋z＝－4λ＋4λ＝0，即选项D正确.故选A、B、D. 7.　解析：由题意知PO＝＝＝，点M的坐标为，所以向量的坐标为. 8.　解析：由已知，得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝（1＋t，2t－1，0）. ∴｜b－a｜＝＝＝ . ∴当t＝时，｜b－a｜取最小值，最小值为. 9.0（答案不唯一）　解析：若向量a，b的夹角为钝角，则a·b＜0，即k（k＋2）＋k－2（k＋3）＜0，整理可得k2＋k－6＜0，解得－3＜k＜2.且当a∥b时，＝＝，解得k＝－1，所以k的取值范围是－3＜k＜2且k≠－1. 10.解：（1）由已知，得＝（1，－3，2），＝（2，0，－8）， ∴｜｜＝＝，｜｜＝＝2， ·＝1×2＋（－3）×0＋2×（－8）＝－14. ∴cos＜，＞＝＝， ∴sin＜，＞＝＝. ∴S△ABC＝｜｜·｜｜·sin＜，＞＝××2×＝3. （2）设AB边上的高为CD， 则｜｜＝＝3，即△ABC中AB边上的高为3. 11.A　以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，并设EA＝DA＝AB＝2CB＝2，则E（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），D（0，0，2），M（1，1，），所以＝（1，1，－），＝（－2，2，0），＝（－2，2，1），＝（1，－1，），＝（0，2，0），仅有·＝0，从而得DM⊥EB. 12.C　如图，分别取AB，CD的中点O，M，连接OE，OM，因为矩形ABCD是圆柱的轴截面，E为的中点，所以OE⊥平面ABCD，易知OM⊥AB，以O为坐标原点，OE所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设底面圆的半径为r，则2πr×4＝8π，所以r＝1，则E（1，0，0），F（0，1，2），A（0，－1，0），C（0，1，4），可得＝（－1，1，2），＝（0，2，4），设异面直线EF与AC所成的角为θ，则cos θ＝｜cos＜，＞｜＝｜｜＝｜｜＝，故选C. 13.ACD　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB＝AD＝AA1＝，所以AD＝AA1＝1，则D（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，，0），D1（0，0，1），B（1，，0），C1（0，，1），B1（1，，1），则＝（－1，，－1），＝（1，0，－1）.对于A选项，当＝2时，P为线段A1C的中点，则P，＝，＝（1，，1），则＝2，所以B1，D，P三点共线，正确； 对于B选项，设＝λ＝λ（－1，，－1）＝（－λ，λ，－λ）（0≤λ≤1），＝＋＝（－λ，λ，1－λ），由⊥，可得·＝5λ－1＝0，解得λ＝，所以＝（－，，），＝＋＝（1，0，－1）＋＝，所以·＝－＋－＝－≠0，所以与不垂直，错误；对于C选项，当＝3时，＝＝，又＝（－1，0，0），所以＝－＝（，，－），正确；对于D选项，当＝5时，＝＝，所以＝－＝（，，－），所以·＝－1×＋×－1×＝0，·＝－1×1＋×0＋（－1）2＝0.所以A1C⊥D1P，A1C⊥D1A，又D1P∩D1A＝D1，D1P⊂平面D1AP，D1A⊂平面D1AP，所以A1C⊥平面D1AP，正确. 14.1　解析：由A，B，C，P四点的坐标，知△ABC为直角三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC.由空间两点间的距离公式，得AB＝1，AC＝2，PA＝3，所以三棱锥P-ABC的体积V＝××1×2×3＝1. 15.解：由题意，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2， 则A（2，0，0），B（2，2，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），C（0，2，0）.设E（0，a，2）（0≤a≤2），F（b，2，2）（0≤b≤2），则＝（b，2－a，0），＝（－2，2，－2），＝（－2，a，2），＝（b－2，0，2），所以·＝4－2（a＋b），·＝8－2b. 选择①：（＋）⊥（－），所以（＋）·（－）＝0，＝，得a＝b，若·＝0得4－2（a＋b）＝0，则a＝b＝1，故存在点E（0，1，2），F（1，2，2），满足·＝0，此时·＝8－2b＝6. 选择②：因为｜｜＝，所以＝，得a＝，若·＝0，即4－2（a＋b）＝0，得b＝.故存在点E，F，满足·＝0，此时·＝8－2b＝5. 选择③：因为0＜cos＜，＞＜1，所以与不共线，所以b≠2－a，即a＋b≠2，则·＝4－2（a＋b）≠0，故不存在点E，F满足·＝0. 16.解：以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由题意知A（0，0，0），C（0，2，0），B（，1，0），B1（，1，2），M（，，0）. 又点N在CC1上，可设N（0，2，m）（0≤m≤2）， 则＝（，1，2）， ＝（－，，m）， 所以｜｜＝2，｜｜＝， ·＝2m－1. 如果异面直线AB1和MN所成的角等于45°，那么向量和的夹角等于45°或135°. 又cos ＜，＞＝ ＝. 所以＝±，解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾. 所以在棱CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $