3.2 空间向量运算的坐标表示及应用-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．若向量a＝(2，0，－1)，b＝(0，1，－2)，则2a－b＝(　　) A．(－4，1，0) B．(－4，1，－4) C．(4，－1，0) D．(4，－1，－4) 解析：选C．因为向量a＝(2，0，－1)，所以2a＝(4，0，－2)，又向量b＝(0，1，－2)，所以2a－b＝(4，0，－2)－(0，1，－2)＝(4，－1，0).故选C． 2．与向量a＝(3，0，－4)共线的单位向量可以为(　　) A．(－，0，－) B．(－，，0) C．(－，0，) D．(－，0，) 解析：选D．因为＝＝5，所以与向量a＝(3，0，－4)共线的单位向量可以是＝(，0，－)或＝(－，0，).故选D． 3．(2024·陕西榆林检测)已知O为坐标原点，空间向量＝(1，1，2)，＝(－1，3，4)，＝(2，4，4)，若线段AB的中点为D，则＝(　　) A．9 B．8 C．3 D．2 解析：选C．由题意A(1，1，2)，B(－1，3，4)，C(2，4，4)，则D(0，2，3)，所以＝(－2，－2，－1)，所以＝＝3.故选C． 4．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析：选D．因为a·b＝x＋0＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)，则＝＝，＝＝，所以cos 〈a，b〉＝＝＝，因为〈a，b〉∈，所以〈a，b〉＝.故选D． 5．(2024·江西新余月考)设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(1，－1，1)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　) A． B．3 C．2 D．4 解析：选A．因为a⊥c，故x－1＋1＝0，解得x＝0，因为b∥c，故＝＝，解得y＝－1，故a＝(0，1，1)，b＝(1，－1，1)，故a＋b＝(1，0，2)，故＝＝.故选A． 6．(多选)已知向量a＝(1，2，3)，b＝(3，0，－1)，c＝(－1，5，－3)，则下列等式中成立的是(　　) A．(a·b)c＝b·c B．(a＋b)·c＝a·(b＋c) C．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2 D．|a＋b＋c|＝|a－b－c| 解析：选BCD．对于A，左边为向量，右边为实数，显然不相等，故A中等式不成立；对于B，左边＝(4，2，2)·(－1，5，－3)＝－4＋10－6＝0，右边＝(1，2，3)·(2，5，－4)＝2＋10－12＝0，所以左边＝右边，故B中等式成立；对于C，a＋b＋c＝(3，7，－1)，左边＝32＋72＋(－1)2＝59，右边＝12＋22＋32＋32＋02＋(－1)2＋(－1)2＋52＋(－3)2＝59，所以左边＝右边，故C中等式成立；对于D，由C可得左边＝，因为a－b－c＝(－1，－3，7)，所以右边＝＝，所以左边＝右边，故D中等式成立．故选BCD． 7．已知点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，若＝2，则点P的坐标是______________． 解析：设点P(x，y，z)，则由＝2，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，则解得即P(－1，3，3). 答案：(－1，3，3) 8．(2024·江西南昌期末)已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(2，2，1)，则cos 〈a，b〉＝__________． 解析：因为a＝(0，－1，1)，b＝(2，2，1)，所以＝＝，＝＝3，a·b＝0×2－1×2＋1×1＝－1，所以cos 〈a，b〉＝＝＝－. 答案：－ 9．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，则向量a－b与a的夹角为________；若ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值为________． 解析：由题意得a－b＝(2，1，－2)，则|a－b|＝＝3，(a－b)·a＝3.又|a|＝＝，所以cos 〈a－b，a〉＝＝＝，又两个向量夹角的取值范围是[0，π]，所以〈a－b，a〉＝.因为ka＋b与2a－b垂直，则有(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2ka2＋(2－k)a·b－b2＝0，所以2k×2＋(2－k)[1×(－1)＋1×0＋0×2]－5＝0，解得k＝. 答案：　 10．已知向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c. (1)求向量a，b，c； (2)求向量a＋c与向量b＋c夹角的余弦值． 解：(1)因为a∥b，所以＝＝，且y≠0，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1).又由b⊥c，得b·c＝0，故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2，2). (2)由(1)得，a＋c＝(5，2，3)，b＋c＝(1，－6，1)，|a＋c|＝＝，|b＋c|＝＝，(a＋c)·(b＋c)＝5×1＋2×(－6)＋3×1＝－4，因此向量a＋c与向量b＋c夹角的余弦值为cos 〈a＋c，b＋c〉＝＝＝－. 11．给定三个向量v1＝(1，0，1)，v2＝(1，1，0)，v3＝(1，1，k2＋k－1)，其中k为实数．若存在非零向量同时垂直于这三个向量，则实数k＝(　　) A． B． C． D．或 解析：选B．设非零向量u＝(x，y，z)与三个向量都垂直，则即 由①②，得x＝－z，y＝z，代入③，得－z＋z＋(k2＋k－1)z＝0，即(k2＋k－1)z＝0.若要有解，则必有k2＋k－1＝0，解得k＝.故选B． 12．(2024·陕西西安检测)已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是__________． 解析：因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＝－3－2(x－1)－3<0，解得x>－2，由题意得a与b不共线，则≠，解得x≠，所以x的取值范围是(－2，)∪(，＋∞). 答案：(－2，)∪(，＋∞) 13.如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，＝λ，且PC⊥AB，则实数λ的值为__________；cos 〈，〉＝__________． 解析：设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2，连接A1C，取线段AC的中点O，线段A1C1的中点为O1，连接BO，OO1，易得BO，OC，OO1两两垂直，所以以O为原点，BO，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，C1(0，1，2)，于是＝(，1，0)，＝(0，－2，2)，＝(，1，－2).因为PC⊥AB，所以·＝0，即(＋)·＝0，即(＋λ)·＝0.故λ＝－＝－＝. 所以P(，－，1)，＝(，－，1)，又＝(0，2，2)，所以cos 〈，〉＝＝＝－. 答案：　－ 14.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2CD＝4，E，F，G分别为棱DD1，A1D1，BB1的中点． (1)求线段FG的长度； (2)求·. 解：(1)如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则F(1，4，0)，G(0，2，4)，故＝(－1，－2，4)，所以||＝＝，即线段FG的长度为. (2)C(2，0，2)，E(2，2，0)，则＝(－2，2，2)，＝(－1，2，0)，所以·＝2＋4＋0＝6. 15．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成)，正方形ABCD是上底面正中间的一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1D上的动点，则线段PQ长度的最小值为________． 解析：以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(0，0，0)，A(1，2，3)，C(2，1，3)，D(2，2，3)，设＝λ，＝μ，λ，μ∈[0，1]，则＝λ(2，2，3)＝(2λ，2λ，3λ), ＝＋＝＋μ＝(1，2，3)＋μ(1，－1，0)＝(1＋μ，2－μ，3)，所以 ＝－＝(1＋μ－2λ，2－μ－2λ，3－3λ).所以||2＝(1＋μ－2λ)2＋(2－μ－2λ)2＋(3－3λ)2＝17λ2－30λ＋2μ2－2μ＋14＝17(λ－)2＋2(μ－)2＋.当λ＝且μ＝时， | |2取得最小值，最小值为，所以线段PQ长度的最小值为. 答案： 16．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，点M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得向量与向量的夹角为45°，若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 解：以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知A(0，0，0)，B1(，1，2)，M(，，0).又点N在棱CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)，则＝(，1，2)，＝(－，，m)，所以||＝＝2，||＝＝，·＝×＋1×＋2m＝2m－1.则cos 〈，〉＝＝＝，解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．所以在棱CC1上不存在点N，使得向量AB1与向量的夹角为45°. 学科网（北京）股份有限公司 $