课时分层评价23 空间向量的运算(空间向量的数量积)-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对应学生 课时分层评价23 空间向量的运算（空间向量的数量积用P2华 (时间：60分钟满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ©基础排查(1一9，每小题5分，共45分) 1.己知e1,e2为单位向量，且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1一4e2, a⊥b,则实数k的值为() A.-6 B.6 C.-3 D.3 答案：B 解析：由题意可得b=0,e1e2=0,|e1|=|e2|=l,所以(2e1 +3e2)(ke1一4e2)=0,所以2k-12=0,解得k=6.故选B. 2.（多选题)已知4，b是两个非零向量，下列结论中，正确的是() A.ab>0台〈a,b〉∈[0，) B.ab=0台(a,b〉= C.b<0台(，b〉∈（号，π] D.|mb|=|a||b1台(a,b〉=0 答案：ABC 解析：由|b|=|a||b|台|cos(a,b〉|=1台(a,b〉=0 或〈a,b〉=π.故选ABC 3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,（a+b)b=0,则a与b的 夹角为( A.30° B.60° C.120° D.150° 答案：C ·独家授权侵权必究· 多学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：由(a+b)b=0,得2b+b2=0,设a与b的夹角为0，所 b b2 以2|a|1b1cos0+|b|2=0,所以cos0=一2b=一2b= -克.因为0°≤0≤180°，所以0=120°.故选C. 4.已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB, PC,PD,则下列各组向量中，数量积不一定为零的是() A.PC与BD B.DA与PB C.PD与AB D.PA与CD 答案：A 解析：可用排除法.如图所示，因为PAL平面ABCD,所以PA⊥CD, PACD=O,排除D.又因为AD⊥AB,所以AD⊥平面PAB.所以AD ⊥PB,所以DAPB=0,同理PDAB=O,排除B,C.故选A. 5.如图，已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°，PA=AB=BC=6, 则PC等于() A.6 B.6W2 C.12 D.144 答案：C 解析：因为PC=PA+AB+BC,所以PC2=PA2+AB2+BC2+2pA AB+2PAB元+2ABB元=36+36+36+2×36c0s60°=144，所以 PC=12.故选C. ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 6.设空间中有四个互异的点A,B,C,D,己知(DB+D元一2DA) (AB-AC)=0,则△ABC是( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 答案：B 解析：因为DB+D元-2DA=(DB-DA)十(DC-DA)=AB十AC,所 以(AB+AC)(AB-AC)=|AB|2-|AC|2=0,所以|AB|=1 A元|，即△ABC是等腰三角形.故选B. 7.在空间四边形ABCD中，ABCD+B元·AD+CABD= 答案：0 解析：原式=ABCD+BC·AD十CAAD-AB)=AB(CD一CA)十 AD(BC+CA)-AB AD+AD BA-0. 8.(2021·全国甲卷)若向量a,b满足1a1=3,|a一b|=5,ab=1, 则1b|= 答案：3√2 解析：由|a-b|=5得(a-b)2=25,即2-2ab+b2=25,结合|a| =3,4b=1,得32-2×1+1b|2=25,所以1b1=32 9.已知空间向量，b,c,则下列结论中正确的是 (填序号) ①ab=ac(a≠0)→b=c; ②ab=0=→a=0或b=0: ③(ab)c=(bc); ④a(2b)=2(ab)； ⑤若b<0,则a,b的夹角为钝角 答案：④ ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：在空间中，任取与(a≠0)垂直的两个向量作为b,c,都有 b=c=0,所以①不正确；由4b=0,得4=0或b=0或(a,b) =罗，所以②不正确；b为实数，设为p,b℃为实数，设为q,而 pC=q4不一定成立，所以③不正确；根据空间向量数量积的运算律 可知④正确；当4，b反向共线时，4，b的夹角为π，此时mb<0也 成立，故⑤不正确 10.(13分)如图，在三棱柱ABC-A1BC1中，M,N分别是AB,B1C 上的点，且BM=2A1M,CN=2BN.设AB=a,AC=b,AA1=C. (1)试用a,b,c表示向量M: (2)若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CA41=60°，AB=AC=AA1=1,求 N的长. 解：(1)M=MA1+AB1+BN=BA1十AB+专B1C1=(c-)十a +(b-)=寺a十寺b十寺c. (2)因为(a+b+cP=2+b2+c2+2ab+2bc+2a:c=1+1+1+0+2 ×1×1×克+2×1×1×寺=5，所以|a+b+c|=5, 所以1M不1=寺|a+b+c1=5,即MN=写 可综合运用(11一13，每小题5分，共15分) 11.在△ABC中，若ABBC+AB2=0,则BC在BA方向上的投影向量 为() A.BA B.号AB C.AC D.号CA ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案：A 解析：因为ABBC+AB2=A(BC+AB)=ABAC=0,所以ABAC 的夹角为90°，即AB⊥A心.又因为BC与BA的夹角为锐角，所以 BC在BA方向上的投影向量为BA.故选A. 12.己知正方体ABCD-AB1CD1的棱长为1，若动点P在线段BD1上 运动，则D元·A的取值范围是 答案：[0,1] 解析：依题意，如图所示，设B驴=BD1,其中1∈[0,1]，则D元 AP-AB(AB+BP)=AB(AB+ABD)-AB+AB BD=1+X1 ×5×(-)=1-∈0,1]，因此D元应的取值范围是0,1 13.在四面体OABC中，己知OA,OB,OC两两垂直，且OA=3, OB=6,OC=9,若G是△ABC的重心，则OG= 答案：V14 解析：如图所示，取BC的中点D,根据三角形重心的性质，可得AG =号AD.根据向量的运算法则，可得OG=OA十AG=OA十号AD=OA +号(AB+BC)=OA十号[(O范-OA)+(O元-OB)]=(OA+ oi+0),所以10元12=0A+0品2+02+20A0i+2040C +20元0元)=(9+36+81+0+0+0)=14，所以1OG1=14,即 0G=V14 14.(15分)如图，在正三棱柱ABC-A B1C中，底面边长为2 ·独家授权侵权必究 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1: (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长 解：(I)证明：AB1=AB十BB1,BC1=BB1十BC 因为BB1⊥平面ABC,所以BB1AB=0,BB1B元=0. 又△ABC为正三角形， 所以AB,BC》=元-(BA,BC)=元一号=等 因为AB1BC1=(AB+BB)(BB1+BC) =AB BB1+AB BC+BB,+BB BC =|A1·|BC|cos〈AB,BC)+BB =-1+1=0, 所以AB1⊥BC1 2)结合(1)知ABBC=|A店|·|BC|cos〈A寇，BC)十BB12- BB2-1. 又1AE1=(+BB)=V2+酝=1BC11, 2-1 所以c0s (AB,BC) 2+丽7=C0s号=， 所以|BB1|=2,即侧棱长为2. ⊙创新拓展 15.(5分（新角度）如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱 柱，AB是一条侧棱，P(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点， 则ABAP,(i=1,2,…,8)的不同值的个数为( ) ·独家授权侵权必究◆ 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 P A.1 B.2 C.4 D.8 答案：A 解析：ABA严=AB(AB+B驴)=AB2+ABB驴，因为AB⊥平面 BPPsP6,所以A正⊥B驴，所以ABB驴=0，所以ABAP1=|AB|2 =1,则ABAP,(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1.故选A. 16.(17分)如图，矩形ABCD中，AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(点 P位于平面ABCD上方)，BC边上是否存在点Q,使PO⊥QD? 解：假设存在点Q(点Q在边BC上)，使PQ⊥QD,即PQ⊥QD,连 接AQ(图略)。 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥OD. 又P0=PA+A0,且P0⊥QD, 所以P0Qò=0， 即PAQD+AQQi=0 又因为PAQD=0,所以AQQ心=0， 所以A0⊥Q心，所以∠AQD=90°， 即点Q在以AD为直径的圆上，圆的半径为号： 又因为AB=1,由题图知， 当号=1，即a=2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意； 当号>1，即a>2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意； ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 当号<1，即a<2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意 综上所述，当a≥2时，存在点Q,使P0LQD;当0<a<2时，不 存在点Q,使P0⊥QD 学生用书↓第99页 ·独家授权侵权必究·