02-§2 02-第1课时 空间向量的加减法与数乘运算（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量的加减法、数乘运算及共线共面问题，通过衔接平面向量运算知识，以平行四边形到平行六面体的转化为支架，帮助学生构建从二维到三维的空间认知脉络。 其亮点在于精选名校真题与教材改编题，结合平行六面体、空间四边形等情境，培养学生的空间观念（数学眼光）和推理能力（数学思维）。采用题组分层设计，引导学生用符号语言（数学语言）表达向量关系，既提升学生解题能力，也为教师提供丰富教学资源，助力高效课堂实施。

第三章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.2　空间向量的运算 第1课时　空间向量的加减法与数乘运算 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　空间向量的线性运算 1.[2026湖南长沙雅礼中学质量检测]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1∩B1D1=M.若 =a, =b,  =c,则下列与 相等的向量是( ) A.- a+ b+c　　    B. a+ b+c C.- a- b+c　　    D. a- b+c     B     解析　如图, = + = +  = + ( + )=c+ (b+a)= a+ b+c.   第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江西宜春第一中学期中]在空间四边形OABC中, =a, =b, =c,点M在 上,且满足 =2  ,N为BC的中点,则 =( ) A. a- b+ c　　    B.- a+ b+ c C. a+ b- c　　    D. a+ b- c     B     解析　由题意得 = + + =  + - +  =-  + +  -  =-  +  +  =- a + b+ c. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026湖北汉川第一高级中学质量检测]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1与B1D1相 交于点O,记 =a, =b, =c,G为△A1BC1的重心,则( ) A. =c-b B. = a+ b+c C. =- a+ b+c D. = a+ b+ c     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析     = = + =b+c,故A错误;  = + = +  = +  = + ( + )= a+ b+c,故B正确;  = + = +  = +  = + ( - )= + ( - )=- a+ b+c,故C正确;  = + = + × ( + )= + ( - )+ ( + )=  +  +  = a+ b+ c,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[教材习题改编][多选题]在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M为CD1的中点,Q为CA1上靠近点A1的五等分点, 则( ) A. = +  +   B.2 = +2 +  C. =  +  +   D.5 = + +4      BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得 = + + = + + ( + )= + -  +  =  + +  , 则2 = +2 + ,故A错误,B正确;  = + = +  = + ( + + )= + ( + - )=  +  +  , 则5 = + +4 ,故C错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026湖南长沙一中入学考试]在四面体ABCD中,P为空间中一点,且满足3 + + + =0,若四面 体ABCD的体积为4,则四面体PBCD的体积为_________.     2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　先将3 + + + =0进行转化,找到P点位置,利用体积关系求解. 设E为BC的中点,连接PE,DE,AE, 则 + =2 , 结合已知得3 +2 + =0, ∴2 +2 + + =0, ∴2( + )+( + )=0, 设M为AE的中点,N为AD的中点,连接PM,PN, 则 + =2 , + =2 , ∴4 +2 =0,∴ =-2 ,∴P是线段MN上靠近点M的三等分点. ∵MN为△AED的中位线,∴MN∥ED, ∴A到平面BCD的距离是P到平面BCD的距离的2倍,∴V四面体PBCD= V四面体ABCD= ×4=2. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　空间共线、共面问题 6.[2026江苏南通期中调研]已知a,b,c是空间三个不共线向量,则“向量a,b,c共面”是“存在三个均不 为零的实数p,q,r,使得pa+qb+rc=0”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　若存在三个均不为零的实数p,q,r,使得pa+qb+rc=0,则a=- b- c,此时向量a,b,c共面,必要性成立; 若向量a,b,c共面,则存在非零实数x,y使得a=xb+yc,则a-xb-yc=0,取p=1,q=-x,r=-y,则pa+qb+rc=0,充分性成 立,故为充要条件. 知识补充　共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序 实数对(x,y),使p=xa+yb. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026河南九师联盟联考]已知A,B,C三点不共线,点O在平面ABC外,点P满足 =x +  +  ,则 当P,A,B,C四点共面时,实数x=( ) A.- 　　    B.- 　　    C.- 　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由点P,A,B,C四点共面,可设 =m +n =m( - )+n( - )=-(m+n) +m +n , 又 =x +  +  ,且 , , 不共面, 所以 解得x=- . 知识补充　空间一点P在平面ABC内的充要条件:存在唯一有序实数对(x,y),使 =x +y 或对空间 任意一点O,有 = +x +y . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026吉林东北师大附中测试]设向量e1,e2,e3不共面,已知 =-3e1-e2+2e3, =e1+λe2-6e3, =4e1+2e2+8e3, 若A,C,D三点共线,则λ=_________.     0     解析　由题意得 = + =-2e1+(λ-1)e2-4e3. 因为A,C,D三点共线, 所以存在唯一的实数a,使得 =a , 即4e1+2e2+8e3=a[-2e1+(λ-1)e2-4e3],则  解得  第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026山东临沂第一中学素养监测]四棱柱ABCD-A'B'C'D'的六个面都是平行四边形,点M,N分别在A 'B,A'C上,且|A'M|= |MB|,|A'N|= |NC|. (1)设向量 =a, =b, =c,用a,b,c表示向量 , ; (2)求证:M,N,D'三点共线.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为|A'M|= |MB|, 所以 =  = ( + )=-  +  , 所以 = + =- + = a-b- c. 因为|A'N|= |NC|, 所以 =  = ( + + ), 故 = + =- + ( + + )=  -  -  = a- b- c. (2)证明: = - = (- + + )- =-  +  +  =- a+ b+ c, 由(1)知, =- a+b+ c, 所以 =  ,所以 与 共线,又因为这两个向量有公共点M,所以M,N,D'三点共线. 第1讲　描述运动的基本概念 $