02-§2 01-2.1 双曲线及其标准方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及应用，通过对比椭圆定义，结合圆与圆外切等实例导入，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生构建圆锥曲线知识脉络。 其亮点在于通过易错点分析（如双曲线上点到焦点距离范围）、生活实例（苗圃路线设计）及多解法（共焦点双曲线方程设法），培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理能力），学生能深化理解，教师可提升教学效率。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §2　双曲线 2.1　双曲线及其标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　双曲线的定义及其应用 1.[2025河北承德二中期中]与圆O:x2+y2=1及圆B:(x-4)2+y2=4都外切的圆的圆心在 ( ) A.椭圆上　　    B.双曲线的一支上 C.抛物线上　　    D.圆上     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设动圆的圆心为C,半径为r, 由圆O的方程得圆心O(0,0),半径r1=1, 由圆B的方程得圆心B(4,0),半径r2=2, 由题意可得  消去r可得|CB|-|CO|=1<|OB|=4, 所以动圆的圆心C在双曲线靠近O的一支上. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[易错题][2026江西南昌第十中学期中] 已知双曲线C: - =1的两个焦点分别为F1,F2,双曲线C上有一点P,若|PF1|=5,则|PF2|=( ) A.9　　    B.1　　    C.1或9　　    D.11或9     A     解析　由双曲线方程得a=2,b=2 ,c=4. 由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=2a=4, 又|PF1|=5,所以|PF2|=1或|PF2|=9, 又|PF2|≥c+a=6或|PF2|≥c-a=2, 且|PF1|=5<c+a=6,故点P在双曲线靠近F1的一支上,所以|PF2|=9. 易错警示　本题易错点有两处:一是若|PF1|-|PF2|=2a或|PF1|-|PF2|=-2a,则动点P的轨迹为双曲线的一支; 二是忽视双曲线上的点到焦点的最短距离为c-a而误选C. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026四川眉山第一中学入学考试]设F1,F2为双曲线 - =1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且∠F1 PF2=90°,则△F1PF2的面积为( ) A. 　　    B.2　　    C.2 　　    D.4     B     解析　由双曲线的方程知a=2,b= ,c= , 不妨设点P位于第一象限,|PF1|=x,|PF2|=y(x>y), 由双曲线的定义得x-y=2a=4, ∵∠F1PF2=90°,∴x2+y2=(2c)2=24, ∴2xy=x2+y2-(x-y)2=8, ∴△F1PF2的面积为 xy=2. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026陕西汉中十校期中]已知F是双曲线 - =1的上焦点,P是双曲线下支上的动点,点A(3,1),则|PF| +|PA|的最小值为 ( ) A.11　　    B.9　　    C. 　　    D.5     B     解析　由双曲线的方程得a=2,b= , 所以c= =3,所以F(0,3), 设下焦点为F1,则F1(0,-3), 由双曲线的定义得|PF|-|PF1|=2a, 则|PF|=|PF1|+2a, 所以|PF|+|PA|=2a+|PF1|+|PA|≥2a+|AF1|=4+ =9, 当A,P,F1三点共线(P在线段AF1上)时取等号,(利用双曲线的定义进行转化)故|PF|+|PA|的最小值为9. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　双曲线的标准方程的求解 5.[2026湖北武汉华中师范大学第一附属中学期中]已知圆A:(x+3)2+y2=4,B(3,0),点P在圆A上运动,设线段 PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q,则Q点的轨迹方程为 ( ) A.x2- =1　　    B.x2- =1　　     C.y2- =1　　    D.y2- =1     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆A的圆心A(-3,0),半径r=2, 由垂直平分线的性质可得|QP|=|QB|, 所以||QB|-|QA||=||QP|-|QA||=r=2<|AB|=6, 所以Q点的轨迹是双曲线,且c=3,a=1, 则b2=c2-a2=8, 所以Q点的轨迹方程为x2- =1. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025福建莆田期中]与椭圆C: + =1共焦点且过点P(2, )的双曲线的标准方程为 ( ) A. - =1　　    B. - =1　　     C. - =1　　    D. - =1     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:因为椭圆C的焦点为(±3,0), 所以c=3,记F1(-3,0),F2(3,0), 所以||PF1|-|PF2||=| - |=2 =2a, 所以a= ,所以b= = , 所以双曲线的标准方程为 - =1. 解法二:设所求方程为 + =1(16<λ<25), 把(2, )代入,得 + =1, 则λ2-35λ+286=0,解得λ=22或λ=13(舍). 故所求方程为 - =1. 方法技巧　与椭圆 + =1(a>b>0)有公共焦点的双曲线的方程可设为 + =1(b2<λ<a2). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025湖南部分名校期中联考]设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的 直线与C交于A,B两点,若|AF2|=2|AF1|,△ABF2的面积为8 ,且∠AF2B为钝角,|AF2|-|AF1|=4,则C的方程为 ( ) A. - =1　　    B. - =1 C. - =1　　    D. - =1     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由双曲线的定义及题意可知|AF2|-|AF1|=|AF1|=2a=4,所以a=2,|AF2|=8, 由对称性得|BF2|=|AF1|=4, 所以 = |AF2||BF2|sin∠AF2B= ×8×4sin∠AF2B=8 ,解得sin∠AF2B= ,又∠AF2B为钝角,所以∠ AF2B= ,所以∠F1AF2= , 在△AF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|cos =48,即4c2=48,所以c2=12, 则b2=c2-a2=12-4=8, 所以C的方程为 - =1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[教材习题改编]求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在y轴上,焦距为10,且经过点(0,4); (2)与双曲线 - =1有相同的焦点,且过点P(2,1); (3)过A ,B(4,3)两点. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由双曲线的焦点在y轴上,可设其标准方程为 - =1(a>0,b>0), 由焦距为10得2c=10,则c=5, 由双曲线经过点(0,4),得a=4, 则b= = =3, 故该双曲线的标准方程为 - =1. (2)解法一:设所求双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0). 因为所求双曲线与双曲线 - =1有相同的焦点, 所以a2+b2=c2=4+2=6①. 因为所求双曲线过点P(2,1), 第1讲　描述运动的基本概念 所以 - =1②.将①②联立,解得a2=b2=3. 故所求双曲线的标准方程为 - =1. 解法二:设所求双曲线的方程为 - =1(-2<λ<4,且λ≠0), 将(2,1)代入,得 - =1,解得λ=1或λ=-4(舍),故所求双曲线的标准方程为 - =1. (3)设所求双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0), 依题意得 解得  所以该双曲线的方程为 - =1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.当不能确定双曲线的焦点的位置时,可设其方程为mx2-ny2=1(mn>0),这种设法可避免对焦点位置的 讨论. 方法技巧    1.与双曲线 - =1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线的方程可设为 - =1(-b2<λ<a2,λ ≠0). 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　双曲线的标准方程及其综合应用 9.[2026重庆第八中学期中]已知椭圆 + =1(m>0)与双曲线 -y2=1(n>0)有共同的焦点,则直线mx+ny =1必过定点 ( ) A. 　　    B.  C.(1,-1)　　    D.(3,-3)     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵椭圆 + =1(m>0)与双曲线 -y2=1(n>0)有共同的焦点, ∴椭圆的焦点在x轴上,且m-2=n+1, 则m=n+3, 则mx+ny=1可化为(n+3)x+ny=1, 即n(x+y)+3x-1=0, 令 解得  ∴直线mx+ny=1必过定点 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[教材习题改编][多选题]已知方程 + =1表示曲线C,则下列结论正确的是 ( ) A.当1<t<4时,曲线C是椭圆 B.当t<1或t>4时,曲线C是双曲线 C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则1<t<  D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则t>4     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,若曲线C是椭圆, 则 解得1<t<4且t≠ ,故A错误; 对于B,若曲线C是双曲线,则(4-t)·(t-1)<0,解得t<1或t>4,故B正确; 对于C,若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,解得1<t< ,故C正确; 对于D,若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则 解得t>4,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025江西南昌师范大学附属中学期中] 若2x-1= ,则x2+y2的最小值为 ( ) A.1　　    B.2　　    C.4　　    D.      A     解析　将原式两边同时平方得(2x-1)2=(x-2)2+y2(2x-1≥0),即x2- =1 , 所以(x,y)可以看作双曲线x2- =1的右支上的点,x2+y2的几何意义为点(x,y)与原点(0,0)之间的距离的平 方,易知双曲线x2- =1的右支上的点(1,0)到原点的距离的平方最小,为1,故x2+y2的最小值为1. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[易错题][2026湖北荆州联考]已知F1,F2分别为双曲线x2- =1的左、右焦点,O为坐标原点,P为双曲 线上的一点,满足PF1⊥PF2,点Q满足 =2 ,求tan∠POQ的值. 解析　由双曲线方程得a=1,b=2,c= . 当点P在双曲线左支上时,   设|PF1|=t(t>0),则|PF2|=t+2,在Rt△PF1F2中, 由勾股定理得t2+(t+2)2=(2 )2,则t2+2t-8=0, 第1讲　描述运动的基本概念 解得t=2(负值舍去), 所以|PF2|=|F2Q|=4,|PF1|=2. 取PF2的中点H,连接OH, 因为O为F1F2的中点,所以OH∥F1P, |OH|=1,则OH⊥HQ,|HQ|=6, 所以|OQ|= = , 易得|OP|= |F1F2|= , 在△POQ中,由余弦定理得cos∠POQ= =- , 又∠POQ∈(0,π), 所以sin∠POQ= = , 第1讲　描述运动的基本概念 故tan∠POQ= =- . 当点P在双曲线右支上时,   同上得|PF1|=4,|PF2|=|QF2|=2, 取PF2的中点M,连接OM, 因为O为F1F2的中点,所以OM∥PF1,|OM|=2, 则OM⊥MQ,|MQ|=3, 第1讲　描述运动的基本概念 所以|OQ|= = , 易得|OP|= |F1F2|= , 在△POQ中,由余弦定理得cos∠POQ= = , 又∠POQ∈(0,π), 所以sin∠POQ= = , 故tan∠POQ= =8. 故tan∠POQ的值为- 或8. 易错警示　双曲线有两支,当已知双曲线上一点时,若点的具体位置未知,要注意分在左支上和在右支 上两种情况讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2025江西南昌第一中学期中]如图,某苗圃有两个入口A,B,|AB|=100,欲在苗圃内开辟一块区域种植 观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的C处,已知|CA|=80,|CB|=88,以线段AB的中点为原点,AB所在直线 为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿C-A-P和C-B-P两条折线段路线搬运至P(7,1)处,请判断哪条搬运路线更短,并 说明理由; (2)工人准备将C处树苗运送到苗圃内的点P处,计划合理设计点P的位置,使得沿C-A-P和C-B-P两条折 线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点P的轨迹方程.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可得A(-50,0),B(50,0),则|AP|= =5 ,|BP|= =5 , 则路线C-A-P的长度为|CA|+|AP|=80+5 , 路线C-B-P的长度为|CB|+|BP|=88+5 , 因为80+5 >88+5 , 所以路线C-B-P的长度更短. (2)设点P(x,y),x>0,y>0. 由题意可知|CA|+|PA|=|CB|+|PB|, 则|PA|-|PB|=|CB|-|CA|=8<100=|AB|,所以满足要求的点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支并且在苗 圃内的部分, 则2a=8,c=50,所以a=4,b2=c2-a2=2 500-16=2 484, 故点P的轨迹方程为 - =1(x>0,y>0). 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §1　椭圆 2.1　双曲线及其标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　双曲线的定义及应用 1.[2025河南南阳期中适应性考试]已知P为曲线C:x= 上任意一点,A(- ,0),B(0, ),则|PA|+|PB| 的最小值为 ( ) A.2+ 　　    B.5　　    C.4 　　    D.7     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由x= 得x2- =1(x≥1), 所以C为双曲线x2- =1的右支,A(- ,0)为该双曲线的左焦点. 设右焦点为A',则|PA|-|PA'|=2a=2, 所以|PA|=|PA'|+2, 所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+2≥|BA'|+2=5+2=7,当且仅当点P为线段A'B与C的交点时,等号成立, 所以|PA|+|PB|的最小值为7. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026湖北武昌实验中学周测]双曲线C: - =1的右支上一点P位于第一象限,F1,F2分别为双曲线C 的左、右焦点,若△PF1F2的内切圆I与y轴相切,A为双曲线C的左支与x轴的交点,则直线AI的方程为  ( ) A.2x-5y+6=0　　    B.2x-3y+6=0 C.x-3y+3=0　　    D.x-2y+3=0     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由双曲线方程得a=3,b=4,c= =5, 设F1F2,PF1,PF2与内切圆I的切点分别为H,M,N,   由圆的切线长定理知|PM|=|PN|,|HF1|=|MF1|,|HF2|=|NF2|, 由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a, 则(|PM|+|MF1|)-(|PN|+|NF2|)=2a, 则|MF1|-|NF2|=2a,即|HF1|-|HF2|=2a. 设内切圆I的圆心I的横坐标为x, 第1讲　描述运动的基本概念 则点H的横坐标为x, 故(x+5)-(5-x)=6,解得x=3. 因为内切圆I与y轴相切, 所以内切圆的半径为3,则I(3,3), 易得A(-3,0),则kAI= = , 故直线AI的方程为y= (x+3), 整理得x-2y+3=0. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026福建福州第八中学期中]已知O为坐标原点,圆O的半径为定长r,A是圆O所在平面内一 个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时,下列判断 正确的是 ( ) A.点Q的轨迹可能是椭圆 B.点Q的轨迹可能是一个定点 C.点Q的轨迹不可能是圆 D.点Q的轨迹不可能是双曲线     AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,若定点A在圆内且不与圆心O重合,如图1, 由题意得|QA|=|QP|,|QP|+|QO|=r, ∴|QA|+|QO|=r>|OA|, 故点Q的轨迹可能是椭圆,A正确. 对于B,若定点A在圆上,如图2,则AP为圆的一条弦,根据弦的垂直平分线必过圆心O,得线段AP的垂直平 分线与直线OP交于点O,此时点Q即为点O, 故点Q的轨迹可能为一个定点,B正确. 对于C,若定点A与圆心O重合,如图3,此时AP与OP重合,AP的垂直平分线与OP的交点Q即为线段OP的 中点, 因此|OQ|= |OP|= r, 第1讲　描述运动的基本概念 故点Q的轨迹可能为圆,C错误.  图1 图2  图3 对于D,若定点A在圆外,如图4, ∵|QA|=|QP|,|QP|=|QO|+|OP|, ∴|QA|-|QO|=|OP|=r; 第1讲　描述运动的基本概念 如图5,∵|QA|=|QP|,|QP|=|QO|-|OP|, ∴|QA|-|QO|=-|OP|=-r,  图4     图5 因此有||QA|-|QO||=r<|OA|, 故点Q的轨迹可能是双曲线,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　双曲线的标准方程及其综合应用 4.[2025湖北省级示范高中联考]双曲线Γ: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是Γ右支上的 一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为5的直角三角形,则Γ的标准方程为 ( ) A. - =1　　    B. - =1 C. - =1　　    D. - =1     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题可知,点P位于第四象限,∠F1PF2=90°, 设|PF2|=m,∠PF2F1=θ1,∠PF1F2=θ2, 由 =tan θ1=2,得sin θ1= , 因为∠F1PF2=90°,所以 · =-1,得 =- , 则tan θ2= ,所以sin θ2= , 在△PF1F2中,由正弦定理可得|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|=sin θ1∶sin θ2∶sin 90°=2∶1∶ , 由|PF2|=m得|PF1|=2m,|F1F2|= m, 由 = |PF1||PF2|= ×2m×m=5,得m= , 则|PF2|= ,|PF1|=2 ,|F1F2|=2c=5,故c= , 第1讲　描述运动的基本概念 由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a= ,故a= , 所以b= = , 所以Γ的标准方程为 - =1. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西南昌第十九中学期中]过双曲线 - =1的右支上一点P分别向☉C1:(x+4)2+y2=3和☉C2:(x- 4)2+y2=1作切线,切点分别为M,N,则( + )· 的最小值为 ( )   A.28　　    B.30　　    C.31　　    D.32     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由双曲线的方程知a=2,b=2 ,c= =4,则双曲线的左、右焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),由双 曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=4,圆C1的圆心为C1(-4,0)(即F1),半径r1= ,圆C2的圆心为C2(4,0)(即F2),半径r2= 1.连接PF1,PF2,F1M,F2N,则MF1⊥PM,NF2⊥PN.   ( + )· =( + )·( - )=| |2-| |2=(|PF1|2- )-(|PF2|2- )=(|PF1|2-3)-(|PF2|2-1)=|PF1|2-|PF2|2-2 =(|PF1|-|PF2|)·(|PF1|+|PF2|)-2=4(|PF1|+|PF2|)-2≥4|F1F2|-2=4×8-2=30,当且仅当P为双曲线的右支与x轴的交 点时取等号, 即( + )· 的最小值为30. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026四川部分学校联考]如图,已知双曲线C1:x2-y2=a2,C2:x2-y2=b2(0<a<b),点P(m,n)为双曲线C2上一点, 过点P作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N(M,N异于点P),射线OP与C1交于点Q,则“点Q为MN的中点”是 “a= b”的( )   A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵点P(m,n)在双曲线C2:x2-y2=b2上, ∴m2-n2=b2,∵PM⊥x轴,PN⊥y轴, ∴M(m,0),N(0,n), 则MN的中点为 . 设直线OP的方程为y=kx,k= ≠±1, 联立  解得 或  第1讲　描述运动的基本概念 不妨取Q , 若点Q为MN的中点, 则 得  ∴m2-n2=4a2=b2,又b>a>0,∴b=2a, 即a= b,充分性成立. 若a= b,即b=2a, ∵点P(m,n)在双曲线C2上, ∴m2-n2=b2=4a2. 第1讲　描述运动的基本概念 设直线OP的方程为y=kx, 联立  解得 或  ∵m2-n2=4a2, ∴可令 则  ∴点Q为MN的中点,必要性成立. 故“点Q为MN的中点”是“a= b”的充分必要条件. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025河南开封五校期中联考]双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反 射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点,如图1所示.设a>0,若双曲线E: - =1的左、右焦点 分别为F1,F2,从F2发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C,D,cos∠BAC=- ,AB⊥BD,则a的 值为_________.  　          3     第1讲　描述运动的基本概念 解析    (思路探究:本题中有两个直角三角形,即Rt△ABF1和Rt△F1BF2,由Rt△ABF1建立|AB|,|AF1|,|BF1|间 的关系,由Rt△F1BF2建立关于a,c的等式,从而解决问题) 连接AF1,BF1,由cos∠BAC=- ,AB⊥BD,及双曲线的光学性质可知cos∠BAF1= ,∠ABF1= , 设|AF1|=5t,t>0,则在Rt△ABF1中,|AB|=3t,|BF1|=4t,   由双曲线的定义得|AF2|=5t-2a,|BF2|=4t-2a, 所以5t-2a+4t-2a=3t, 第1讲　描述运动的基本概念 解得t= a, 所以|BF1|= a,|BF2|= a, 在Rt△F1BF2中, + = , 则 a2+ a2=4c2, 即17a2=9c2,又b2=8,a2+b2=c2, 所以17a2=9(a2+8), 解得a=3(舍负). 第1讲　描述运动的基本概念 $