第2章 08-高考模拟练（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了圆锥曲线的统一定义、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及综合应用，通过典型例题解析将定义、方程、性质与实际问题串联，帮助学生构建完整的圆锥曲线知识网络。 其亮点在于融合“数学眼光”“数学思维”“数学语言”核心素养，如油纸伞影子椭圆问题引导学生用数学眼光观察现实，双曲线离心率推导培养逻辑推理思维，迁移创新题训练数学建模与表达。分层设计基础题、综合题、创新题，让不同学生提升，教师可依托资料高效组织复习，提升教学针对性。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 高考模拟练 第1讲　描述运动的基本概念 应用实践 1.[2026江西宜春丰城第九中学月考]圆锥曲线具有统一定义,即到定点的距离与到定直线的距离的比 值是常数e的点的轨迹叫作圆锥曲线,当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双 曲线.若方程m(x2+y2+2y+1)=(2x-y+3)2表示的曲线是双曲线,则m的取值范围为 ( ) A.(0,8)　　    B.(8,+∞)　　    C.(0,5)　　    D.(5,+∞)     C     解析　由m(x2+y2+2y+1)=(2x-y+3)2表示的曲线为双曲线可知m>0, 等式两边同时开平方得 · =|2x-y+3|,整理可得 = , 即动点(x,y)到定点(0,-1)的距离与到定直线2x-y+3=0的距离的比值为常数 , 由圆锥曲线的统一定义知,方程表示双曲线时, >1,即 < ,故0<m<5. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025河南南阳期中质量评估]已知P为抛物线x2=4y上的一点,过P作圆C:x2+(y-4)2=1的两条切线,切点 分别为A,B,则cos∠APB的最小值是 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由圆C的方程知其圆心为C(0,4),半径r=1,   由PA,PB与圆相切知∠APB=2∠APC,且CA⊥PA,则cos∠APB=cos 2∠APC=1-2sin2∠APC=1-2 = 1-2 , 设P(x,y),y≥0,则x2=4y,可得|CP|= = ,y≥0, 所以|CP|min= =2 ,所以cos∠APB的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026北京第五十五中学期中]油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1 000多年的历史,为宣传和推广这 一传统工艺,某地春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如 图所示,该伞的伞沿是一个半径为3的圆,圆心到伞柄底端的距离为3,阳光照射油纸伞在地面形成了一 个椭圆形影子(春分时,该地的阳光与地面夹角为60°),若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置,则该椭 圆的焦距为( )   A.3 + 　　    B.3 + 　　     C.3 - 　　    D.3 -      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点,伞沿在地面上最远的投影A是椭圆长轴 的另一个端点,对应的伞沿为C,O为伞沿所在圆的圆心,F为伞柄底端,即椭圆的左焦点,设椭圆的长半轴 长为a,半焦距为c,   由题意得,OF⊥BC,|OF|=|OB|=|OC|=3,|AB|=2a, 则a+c=|BF|=3 ,∠FBC=45°,|BC|=6, 在△ABC中,∠BAC=60°,则∠ACB=75°, 由正弦定理得 = , 第1讲　描述运动的基本概念 解得a= = , 则c=3 -a= , 所以该椭圆的焦距为3 - . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026湖南湘潭模拟]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为F2(2,0),若圆M:(x+2)2+(y-6)2=4上存 在点P,使得PF2的中点Q在C的渐近线上,则C的离心率的取值范围为( ) A.[2,+∞)　　    B.[3,+∞)　　    C.(1,2]　　    D.(1,3]     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设双曲线C的半焦距为c,P(x0,y0), 由题意得c=2,即a2+b2=4, 由PF2的中点Q 在C的渐近线y=± x上,可得 =± × , 即y0=± (x0+2),所以点P在直线± x-y± =0上, 易知圆M的圆心为M(-2,6),半径r=2, 圆心M(-2,6)到直线± x-y± =0的距离d= = , 因为圆M上存在点P满足条件, 第1讲　描述运动的基本概念 所以直线± x-y± =0与圆M有公共点,所以d≤2,即 ≤2, 则 ≥8,所以e2= = =1+ ≥9,又e>1, 所以e≥3,所以双曲线C的离心率的取值范围为[3,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西入学摸底考试]已知椭圆E: + =1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,直线AF1 与E的另一个交点为B,直线BF2与E的另一个交点为C.若AF2⊥BF2,且|CF1|=10,则△ABF2的周长为( ) A.24　　    B.28　　    C.32　　    D.36          B 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0), 则 = = , 所以直线AF1的方程为y= x+b, 联立  解得 或  则B , 第1讲　描述运动的基本概念 则 = =- , 易得 = =- , 由AF2⊥BF2,得 · =-1, 则 = ,则- = , 即b2(a2-c2)=c2(3a2+c2), 则(a2-c2)2=c2(3a2+c2), 整理得a2=5c2,即a= c, 所以b2=4c2,即b=2c, 第1讲　描述运动的基本概念 则 = = ,B , 故直线BF2的方程为y= (x-c), 联立  解得 或  则C ,则|CF1|= =10, 解得c= ,则a= c=7,所以△ABF2的周长为|AF2|+|AB|+|BF2|=|AF2|+|AF1|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a=28. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江西萍乡期中]斜椭圆是由焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定角度θ 得到 的图形.已知曲线C:x2+y2-xy=9是如图所示的斜椭圆,点P(m,n)是C上任意一点,点A(2 ,0),B(0,2 ),O为 坐标原点,则下列说法错误的是( ) A.该椭圆的焦点在直线y=x上 B.该椭圆的离心率为  C.n的最大值为2      D     D. · 的最大值为12+6  第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,曲线C上的点(x,y)关于直线y=x,y=-x对称的点分别为(y,x),(-y,-x),满足曲线C的方程, 则点(y,x),(-y,-x)在曲线C上, ∴曲线C关于直线y=x和y=-x对称, 由图知曲线C的长轴在直线y=x上, 则焦点在直线y=x上,A中说法正确; 对于B,由 得 或  ∴椭圆C的长轴长2a= =6 , 则a=3 , 由 得 或  第1讲　描述运动的基本概念 ∴椭圆C的短轴长2b= =2 ,则b= ,∴c= =2 , ∴离心率e= = = ,B中说法正确; 对于C,当直线y=n(n>0)与曲线C相切时,n取得最大值, 由 得x2-nx+n2-9=0, ∴Δ=n2-4(n2-9)=0, 解得n=-2 (舍)或n=2 , ∴n的最大值为2 ,C中说法正确; 对于D,易得AB的中点为椭圆的一个焦点F( , ), ∴ · = [( + )2-( - )2]= - =| |2-12, ∵| |≤a+c=3 +2 ,∴|  =(3 +2 )2=30+12 ,∴ · 的最大值为18+2 ,D中说法错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2025江西景德镇质检]双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,离心率为e,P(x0,y0) 为双曲线上位于第一象限的任意一点,设∠PAB=α,∠PBA=β,△PAB的面积为S,则下列说法正确的是  ( ) A. 的值随着x0的增大而减小 B.tan αtan β是定值 C.tan α-tan β≤  D.若S·tan(α+β)+a2≥0,则1<e≤      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知A(-a,0),B(a,0), 渐近线方程为y=± x, 在△PAB中,由正弦定理知 = = , 显然π-β,α均为锐角,且随着x0的增大分别减小与增大, 则sin(π-β),sin α随着x0的增大分别减小与增大且均为正数, ∴ 的值随着x0的增大而减小,故A正确; tan αtan β=-kPAkPB=- · =- ,∵ - =1,∴ = ( -a2), ∴tan αtan β=- ,为定值,故B正确; tan α-tan β= + = = · = · ,而 < , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴tan α-tan β> · = ,故C错误; S= |AB|y0=ay0,tan(α+β)= = = · ,∴S·tan(α+β)=- · =-  ,又S·tan(α+β)+a2≥0, ∴- +a2≥0, 解得a2≥b2,则0< ≤1, ∴e= = ∈(1, ],故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江西宜春丰城第九中学段考]如图,椭圆的方程为 +y2=1(a>0),左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1, 0).设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P. (1)求椭圆的方程; (2)求证: + 是定值; (3)求三角形PF1F2的周长.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知椭圆的半焦距为c=1且焦点在x轴上,b2=1, 故a2=b2+c2=2,故椭圆的方程为 +y2=1. (2)证明:如图,延长AF1交椭圆于C, 由对称性可得|CF1|=|BF2|. 易知直线AF1的斜率不为0, 设A(x1,y1),C(x2,y2),y1>0,y2<0,直线AC:x=ty-1, 则 + = + = × =  . 联立 可得(t2+2)y2-2ty-1=0, 则Δ=8t2+8>0,y1y2= ,y1+y2= , 第1讲　描述运动的基本概念 故|y1-y2|= = , 故 + = × =2 . 故 + 为定值.   (3)易证△AF1P∽△F2BP, 所以 = , 第1讲　描述运动的基本概念 即 +1= +1, 即 = . 所以|PF1|= ·|BF1|. 由点B在椭圆上知|BF1|+|BF2|=2 , 则|PF1|= (2 -|BF2|), 同理可得|PF2|= (2 -|AF1|), 所以|PF1|+|PF2|= (2 -|BF2|)+ (2 -|AF1|)=2 -  =2 - = .又|F1F2|=2,故三角形PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2+ . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025广东汕头期中]已知动点M到定点F(1,0)的距离比到定直线x=-2的距离小1. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)若直线l:y=k(x-1)交曲线C于A,B两点(点A位于第一象限),过点(1,0)且与l垂直的直线l'与曲线C交于C, D两点(点C位于第一象限): (i)求四边形ACBD的面积的最小值; (ii)设AB,CD的中点分别为P,Q,求证:直线PQ过定点. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)根据抛物线的定义知,点M的轨迹是抛物线,且p=2, 故点M的轨迹C的方程为y2=4x. (2)(i)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 由(1)知抛物线的准线方程为x=-1, 根据抛物线的定义可知|AF|=x1+1, |BF|=x2+1,|CF|=x3+1,|DF|=x4+1, 所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2, |CD|=|CF|+|DF|=x3+x4+2, 所以四边形ACBD的面积S=S△ACB+S△ADB= |AB||CF|+ |AB||DF|= |AB||CD|. 联立  第1讲　描述运动的基本概念 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 则Δ=[-(2k2+4)]2-4k2×k2=16k2+16>0,x1+x2= , 故|AB|=x1+x2+2= , 由题意得直线l':y=- (x-1), 联立  得 x2- x+ =0, 则Δ= -4× × = +16>0,x3+x4=2+4k2, 故|CD|=x3+x4+2=4+4k2, 第1讲　描述运动的基本概念 所以S= |AB||CD|= × ×(4+4k2)= =8·  =8 ≥8 =32, 当且仅当k2= ,即k=±1时,等号成立, 所以四边形ACBD的面积的最小值为32. (ii)证明:由(i)知x1+x2= ,所以点P的横坐标为 ,代入l的方程得y= ,所以P , 同理,得Q(1+2k2,-2k), 故直线PQ的斜率为 = ,则直线PQ的方程为y- = · ,化简得y= (x-3), 所以直线PQ过定点(3,0). 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025江西新余第四中学段考]椭圆的光学性质在物理学中有主要应用.如图1,在椭圆C1: +y2=1上 有一点P(x0,y0),F1,F2分别为C1的左、右焦点,过P作C1的切线l,则直线PF1,PF2与l的夹角大小相等. (1)求证:l的方程为 +yy0=1; (2)如图2,在(1)的基础上,双曲线C2的离心率为 且与C1有相同焦点,P不与C1和C2的交点重合,l与C2交 于A,B两点,过A,B分别作C2的切线交于点Q. 求证:(i)AQ⊥BQ; (ii)∠PF1Q=∠PQF2. 第1讲　描述运动的基本概念 证明    (1)当l的斜率存在时, 设l:y=kx+m,由  得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 由题意可知Δ=(8km)2-16(4k2+1)·(m2-1)=0,整理可得m2=4k2+1. 又y0=kx0+m,即m=y0-kx0, 所以m2=(y0-kx0)2=4k2+1, 整理可得k2(4- )+1- +2kx0y0=0①. 因为切点P(x0,y0)在椭圆上, 所以 + =1, 第1讲　描述运动的基本概念 整理得 ② 联立①②得4k2 + +2kx0y0=0, 即 =0,可得k=- , 所以l的方程为y-y0=- (x-x0), 化简可得 +y0y=1. 经检验,l的斜率不存在时也符合上式. 综上可得,l的方程为 +y0y=1. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)(i)由题意得 = ,c= , 所以a= ,b= =1,则C2的方程为 -y2=1,F1(- ,0),F2( ,0). 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立  得( -8 )x2-8x0x+16+16 =0, 所以x1+x2= ,x1x2= , 则y1y2=  = , 第1讲　描述运动的基本概念 同(1)得直线AQ: -y1y=1,直线BQ: -y2y=1, 设直线AQ,BQ的斜率分别为k1,k2, 所以k1k2= = = , 又 =4-4 ,所以k1k2= = =-1,故AQ⊥BQ. (ii)联立 得  即Q , 第1讲　描述运动的基本概念 因为kPQ= ,所以PQ⊥l, 易得|PF1|2=  ,|PQ|2=4-  ,|PF2|2=  , 则|PF1||PF2|=|PQ|2, 则 = , 又PF1,PF2与l的夹角大小相等, 所以∠QPF1=∠QPF2, 所以△F1QP∽△QF2P, 所以∠PF1Q=∠PQF2. 第1讲　描述运动的基本概念 迁移创新 11.[2026浙江强基联盟返校联考]如图,某研学基地的篱笆墙是由三条线段Q0P0,P0P3,Q3P3和一条余弦曲 线段Γ构成的平面图形,满足Q0P0⊥P0P3,Q3P3⊥P0P3,其基准点P0到标记点P1,P2,P3的距离分别为|P0P1|=2π,| P0P2|=4π,|P0P3|=8π.曲线段Γ上任意一点Q的高度QP满足函数:z(t)=20+3cos (0≤t≤8π),其中,t为P0到P的 距离.现将篱笆墙卷曲在下底面中心为O、半径为4、高为23的圆柱侧面上,并使篱笆墙底部线段P0P3刚 好圈在圆柱底面圆周上.记经过Q0,Q1,Q2三点的平面为α. (1)求平面α与圆柱的轴线夹角的正弦值; (2)证明:Q∈平面α,且在平面α内存在两定点A,B,使得|QA|+|QB|为定值; (3)设M,N是篱笆墙卷曲后曲线段Γ上的两点,求△Q0MN的面积的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)如图,建立空间直角坐标系,   则Q , Q0(4,0,23),Q1(0,4,20),Q2(-4,0,17), 则 =(-4,4,-3), =(8,0,6), 设平面α的一个法向量为n=(x,y,z), 则 即  第1讲　描述运动的基本概念 取x=3,得y=0,z=-4. 则n=(3,0,-4), 圆柱的轴线的方向向量为a=(0,0,1), 设平面α与圆柱的轴线的夹角为θ, 则sin θ=|cos<n,a>|= = . 故平面α与圆柱的轴线夹角的正弦值为 . (2)证明: = ,则 ·n=0,故Q∈平面α. 设平面α内的两点A,B满足 =  , =  , 则A ,B , 第1讲　描述运动的基本概念 则 = , = , 所以|QA|= = =3cos +5, |QB|= = =5-3cos , 所以|QA|+|QB|=10. 故在平面α内存在两点A,B,使得|QA|+|QB|为定值. (3)由(2)得曲线段卷曲后形成了一个平面椭圆,在平面α内,以椭圆的中心为原点, 的方向为x'轴的正方 向,建立平面直角坐标系, 设椭圆方程为 + =1, 由(2)可得2a=10,2c=|AB|= =6, 第1讲　描述运动的基本概念 则a=5,c=3, 所以b= =4, 所以椭圆的标准方程为 + =1, Q0(-5,0)为椭圆的左顶点, 当MN平行于x'轴时, = ×2|x'M|×|y'M|=20× × ≤20× =10, 当且仅当 = , 即x'M=± ,y'M=±2 时,等号成立. 当MN不平行于x'轴时, 设直线MN:x'=ty'+m, 第1讲　描述运动的基本概念 联立 消去x',得(16t2+25)·y'2+32tmy'+16m2-400=0, 则Δ=402(16t2-m2+25)>0, 设M(x'1,y'1),N(x'2,y'2),则y'1+y'2= ,y'1y'2= , 则|y'1-y'2|=  =  = , 故 = |m+5||y'1-y'2| = , 第1讲　描述运动的基本概念 令u= , 则u2≥max{0,25-m2}, 当u=0时,△Q0MN不存在,舍去. 当u≠0时, = , 若 <m2<25,即u≥ , 且|m|> ,则 = ≤10 <10(1+ ). 若m2≥25,即u≥0, 则 = ≤10 ≤20. 第1讲　描述运动的基本概念 若m2≤ ,即u≥ , 且|m|≤ , 则 ≤  =  ≤15 , 当且仅当t=0,m= 时等号成立. 综上,△Q0MN的面积的最大值为15 . 第1讲　描述运动的基本概念 $