第3章 再练一课(范围：§1～§3)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，涵盖空间向量的概念、运算、共线共面判定及立体几何应用，通过复习空间直角坐标系、向量线性运算等基础内容搭建学习支架，衔接从基础到综合问题的知识脉络。 其亮点在于题型全面且解析详尽，通过共线证明、坐标求解等实例培养数学思维与空间观念，如解答题中用向量运算证明三点共线，体现逻辑推理能力。学生能巩固基础提升应用能力，教师可借助系统练习与解析高效开展教学。

第三章　空间向量与立体几何 <<< 再练一课(范围：§1~§3) 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A C C A AB AC 题号 9 10 11 12 答案 ABD e1 －a+b+c － 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)因为|c|＝， 所以， 解得x＝0，即c＝(－1，0，3). 由ka－b＝(k+2，k－1，3k－1)，且(ka－b)⊥c， 得(ka－b)·c＝－(k+2)+3(3k－1) ＝8k－5＝0， 解得k＝. 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)因为向量c与向量a，b共面， 所以设c＝λa+μb(λ，μ∈R)， 因此(－1，x，3)＝λ(1，1，3)+μ(－2，1，1)＝(λ－2μ，λ+μ，3λ+μ)， 即 故x的值为. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意作出如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1， 由题可得，++＝－++ ＝－++++＝－++ ＝－++， +＝－+ ＝－++＝－++， 所以，所以A1，E，N三点共线. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)由题意知，＝(1，－3，2)，点D在直线AC上， 设＝λ＝λ(1，－3，2)＝(λ，－3λ，2λ)，∴D(λ，2－3λ，2λ+3)， ＝(λ，2－3λ，3+2λ)－(－2，1，6)＝(λ+2，1－3λ，2λ－3)， ∵⊥， ∴·＝(1，－3，2)·(λ+2，1－3λ，2λ－3) ＝λ+2－3+9λ+4λ－6＝14λ－7＝0， ∴λ＝，∴D. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)∵＝(2，1，－3)，＝(3，－2，－1)， ∴||＝， ||＝， ∴·＝2×3+1×(－2)+(－3)×(－1)＝7， ∴cos〈〉 ＝， 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴sin〈〉＝，设以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为S， 则S＝××＝7， ∴以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7. 一、单项选择题 1.在空间直角坐标系中，点(4，－1，2)关于x轴对称的点的坐标是 A.(－4，－1，2) B.(－4，1，－2) C.(4，1，－2) D.(4，－1，－2) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.下列关于空间向量的说法错误的是 A.零向量与任意向量平行 B.任意两个空间向量一定共面 C.任意三个向量是不共面的 D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选项A，零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行，该选项正确； 选项B，向量可在空间中移动，所以任意两个向量一定共面，该选项正确； 选项C，任意三个向量可能是共面的，也可能是不共面的，该选项错误； 选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.在四面体OABC中，空间的一点M满足＋λ，若M，A，B，C四点共面，则λ等于 A. B. C. D. √ 因为M，A，B，C四点共面， 所以＋λ＝1， 解得λ＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥b，b∥c，则|a＋b|等于 A.2 B. C.3 D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵b∥c，∴2y＝－4×1， ∴y＝－2，∴b＝(1，－2，1)， ∵a⊥b， ∴a·b＝x＋1×(－2)＋1＝0， ∴x＝1， ∴a＝(1，1，1)， ∴a＋b＝(2，－1，2)， ∴|a＋b|＝＝3. 解析 5.已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，点M为BC的中点，则△AMD是 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵点M为BC的中点， ∴)， ∴·)···＝0， ∴AM⊥AD，∴△AMD为直角三角形. 解析 6.在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，|cos〈，〉|＝，则该四面体的体积为 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 以B为原点，BC，BA，BD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a， 则B(0，0，0)，A(0，1，0)，E，D(0，0，a)， ＝(0，－1，a)，， 则|cos〈〉|＝ ＝，解得a＝2， 所以该四面体的体积为××1×1×2＝. 解析 二、多项选择题 7.在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(1，2，－2)，B(0，1，1)，下列结论正确的有 A.＝(－1，－1，3) B.若m＝(2，1，1)，则m⊥ C.点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1，－2，2) D.||＝ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵A(1，2，－2)，B(0，1，1)，∴＝(－1，－1，3)，故A正确； ||＝，故D错误； 若m＝(2，1，1)，则m·＝2×(－1)＋1×(－1)＋1×3＝0，则m⊥，故B正确； 点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1，2，2)，故C错误. 解析 8.设{a，b，c}是空间向量的一组基，则下列选项中正确的是 A.{a－b，b－c，c}一定能构成空间向量的一组基 B.若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C.对空间中的任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc D.存在有序实数对，使得c＝xa＋yb 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设a－b＝x(b－c)＋yc＝xb＋(y－x)c，无解， 即a－b，b－c，c不共面，所以一定能构成空间向量的一组基，故A正确； 若a⊥b，b⊥c，不能推出a⊥c，a，c的夹角可以为任意角，故B错误； 由空间向量基本定理知，空间中的任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc，故C正确； 若c＝xa＋yb，则a，b，c共面，不能构成空间向量的一组基，故D错误. 解析 9.如图，已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则 A.·()＝0 B.()2＝6 C.向量与向量的夹角是60° D.向量与向量的夹角是45° 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以点A为坐标原点， AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)， B(2，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0)， D1(0，2，2)， 所以＝(2，2，－2)，＝(2，0，2)， 因此·()＝·＝4－4＝0，故A正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又＝(－2，0，－2)＋ (0，2，－2)＝(－2，2，－4)，＝(－2，0，0)， 所以()2＝4＋4＋16＝24，6＝24， 因此()2＝6，故B正确； 因为＝(2，0，－2)，＝(0，2，2)， 所以cos〈〉＝ 因此向量的夹角是120°，故C错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为E，F分别是BC，A1C的中点， 所以E(2，1，0)，F(1，1，1)， 则＝(－1，0，1)， 又＝(0，0，2)， 所以cos〈〉＝， 所以向量的夹角为45°，故D正确. 解析 三、填空题 10.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1＋e2在向量e1上的 投影向量为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 e1 (e1＋e2)·e1＝|e1|2＋e2·e1＝1＋1×1×，向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为e1＝e1. 解析 11.在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，BC的中点为M，＝a，＝b， ＝c，则 可用a，b，c表示为　　　　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 －a＋b＋c 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ＝) ＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 解析 12.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直， M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则cos〈，〉＝　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 － 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题设易知，AB，AD，AQ两两垂直.以A为原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形边长为2，则A(0，0，0)，E(1，0，0)，M(0，1，2)， F(2，1，0)， ＝(－1，1，2)，＝(2，1，0)， 则cos〈〉＝＝－. 解析 四、解答题 13.已知向量a＝(1，1，3)，b＝(－2，1，1)，c＝(－1，x，3). (1)当|c|＝时，若向量ka－b与c垂直，求实数k的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为|c|＝， 解得x＝0，即c＝(－1，0，3). 由ka－b＝(k＋2，k－1，3k－1)，且(ka－b)⊥c， 得(ka－b)·c＝－(k＋2)＋3(3k－1)＝8k－5＝0， 解得k＝. 解 (2)若向量c与向量a，b共面，求实数x的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为向量c与向量a，b共面， 所以设c＝λa＋μb(λ，μ∈R)， 因此(－1，x，3)＝λ(1，1，3)＋μ(－2，1，1)＝(λ－2μ，λ＋μ，3λ＋μ)， 即 故x的值为. 解 14.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且AN∶ NC＝2∶1，E为BM的中点.求证：A1，E，N三点共线. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意作出如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1， 由题可得，＝－ ＝－)＝－ ＝－， ＝－ ＝－)＝－， 所以，所以A1，E，N三点共线. 证明 15.已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5). (1)若点D在直线AC上，且⊥，求点D的坐标； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知，＝(1，－3，2)，点D在直线AC上， 设＝λ＝λ(1，－3，2)＝(λ，－3λ，2λ)， ∴D(λ，2－3λ，2λ＋3)， ＝(λ，2－3λ，3＋2λ)－(－2，1，6)＝(λ＋2，1－3λ，2λ－3)， ∵⊥， ∴·＝(1，－3，2)·(λ＋2，1－3λ，2λ－3) ＝λ＋2－3＋9λ＋4λ－6＝14λ－7＝0， ∴λ＝，∴D. 解 (2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵＝(2，1，－3)，＝(3，－2，－1)， ∴||＝， ||＝， ∴·＝2×3＋1×(－2)＋(－3)×(－1)＝7， ∴cos〈〉＝， ∴sin〈〉＝，设以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为S，则S＝××＝7， ∴以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7. 解 第三章　空间向量与立体几何 <<< $