04-§4 01-4.1 直线与圆锥曲线的交点（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦“直线与圆锥曲线的位置关系”，衔接圆锥曲线定义与标准方程，通过联立方程、判别式分析等方法，系统呈现椭圆、双曲线、抛物线与直线的交点问题，构建从基础到能力的学习支架。 其亮点在于结合数学思维与模型观念，通过例题解析、解题技巧总结（如判别式法、渐近线分析）及易错警示，培养学生推理能力与运算能力。实例丰富，如双曲线交点分类讨论，帮助学生形成逻辑思维，教师可高效开展分层教学，提升学生解题素养。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.1　直线与圆锥曲线的交点 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线与椭圆的交点 1.[2025江西部分学校联考]若直线l:y=x+m与椭圆C: + =1没有公共点,则m的取值范围为 ( ) A.(-2,2)　　    B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(- , )    D.(-∞,- )∪( ,+∞)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　联立方程组  消去y,得14x2+18mx+9m2-45=0, 则Δ=324m2-56(9m2-45)<0, 解得m<- 或m> . 解题技巧　求直线与椭圆的位置关系时,可将直线方程与椭圆方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的 一元二次方程,则Δ>0⇔有两个交点⇔相交;Δ=0⇔有一个交点⇔相切;Δ<0⇔无交点⇔相离. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河北保定第三中学月考]若直线mx-ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆 +  =1的交点个数是 ( ) A.至多为1　　    B.2 C.1　　    D.0     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知,圆心(0,0)到直线mx-ny-4=0的距离d= >2, 整理得m2+n2<4,所以点P(m,n)在以(0,0)为圆心,2为半径的圆内. 解法一:因为椭圆 + =1中a=3,b=2,所以点P(m,n)在椭圆内, 所以过点P(m,n)的直线与椭圆 + =1有2个交点. 解法二: + < + <1,所以点P在椭圆内部,所以过点P(m,n)的直线与椭圆 + =1有2个交点. 规律总结　已知直线恒过定点A,若A在椭圆内,则直线与椭圆的交点个数为2;若A在椭圆上,则直线与椭 圆的交点个数为1或2;若A在椭圆外,则直线与椭圆的交点个数为0或1或2. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026上海复旦大学附属中学期中]已知点M(x,y)在椭圆 + =1上运动,则x-y的最大值为__________.     2      解析　设x-y=t, 因为点M(x,y)在椭圆 + =1上运动, 所以直线x-y-t=0与椭圆 + =1有公共点, 联立 消去y,整理, 得5x2-2tx+t2-16=0, 则Δ=4t2-20(t2-16)≥0, 解得-2 ≤t≤2 , 所以t的最大值为2 ,即x-y的最大值为2 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江西师范大学附属中学期中]已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,且过点 . (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知直线l交椭圆C于不同的两点M,N,若直线l的斜率为1,且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点,求 直线l的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得  解得  故椭圆C的标准方程为 + =1. (2)设直线l的方程为y=x+m,M(x1,y1),N(x2,y2), 第1讲　描述运动的基本概念 联立 得7x2+8mx+4m2-12=0, 则x1+x2=- ,x1x2= , 因为直线l交椭圆C于不同的两点,M,N, 所以Δ=64m2-28(4m2-12)>0, 解得- <m< . 设椭圆C的右顶点为A,则A(2,0), 因为以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点, 所以 · =0,即(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, 整理得2x1x2+(m-2)(x1+x2)+4+m2=0, 第1讲　描述运动的基本概念 则2× +(m-2)× +4+m2=0, 即7m2+16m+4=0, 解得m=-2或m=- ,均满足题意. 故直线l的方程为y=x-2或y=x- , 即x-y-2=0或x-y- =0. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线与双曲线的交点 5.[教材习题改编][易错题]已知直线l:y=k(x-1),则“k= 或k=- ”是“直线l与双曲线C: - =1有且仅 有一个公共点”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:联立 消去y,可得(9k2-4)x2-18k2x+9(k2+4)=0(*), 当9k2-4=0,即k=± 时, 方程(*)为-8x+40=0,解得x=5, 此时直线l与双曲线C仅有一个公共点,符合题意; 当9k2-4≠0,即k≠± 时, 令Δ=182k4-4(9k2-4)(9k2+36)=0, 解得k=± . 故若直线l与双曲线C有且仅有一个公共点, 第1讲　描述运动的基本概念 则k的取值集合为 , 故为充分不必要条件. 解法二:当直线l与双曲线C的渐近线平行时,直线l与双曲线C有且仅有一个公共点, 易得双曲线C的渐近线的方程为y=± x, 故当k=± 时,满足题意; 当直线l与双曲线C的渐近线不平行时, 联立 消去y,可得(9k2-4)x2-18k2x+9(k2+4)=0,令Δ=0,得k=± . 故若直线l与双曲线C有且仅有一个公共点, 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示    1.直线与双曲线有且只有一个公共点的情况有两种,一是直线平行于双曲线的渐近线,二是 直线与双曲线相切,解题时可从这两个角度进行思考. 2.联立直线与双曲线方程,需对消元后得到的方程的二次项系数是不是0进行分类讨论.当二次项系数 为0时,直线与双曲线最多有一个交点;当二次项系数不为0时,利用判别式Δ求解. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026广东广州第七十五中学阶段检测]若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=1的左、右两支各有一个交点, 则实数k的取值范围是 ( ) A.(- ,-1)　　    B.(1, ) C.(- , )　　    D.(-1,1)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:当直线y=kx+2与双曲线x2-y2=1的渐近线y=±x平行时,k=±1, 直线与双曲线的一支相交, 若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点, 则直线y=kx+2一定在两条渐近线之间(不包括两条渐近线)且含实轴的区域内,故k的取值范围为(-1,1). 解法二:联立  得(1-k2)x2-4kx-5=0, 由题意得  解得-1<k<1. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏淮安期中]若直线l:mx-y-m=0与曲线C:x= 有两个不同的交点,则实数m的取值范围是 ___________________.      ∪      第1讲　描述运动的基本概念 解析　方程x= 可变形为 - =1(x≥2),表示双曲线 - =1的右支, 则直线l与双曲线 - =1的右支有两个不同的交点. 联立  得(1-m2)x2+2m2x-m2-4=0①, 由题意得方程①存在两个不相等且不小于2的根, 设两个交点分别为(x1,y1),(x2,y2), 则  第1讲　描述运动的基本概念 则   故实数m的取值范围为 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　直线与抛物线的交点 8.[多选题][2026江西宜春丰城第九中学段考]若直线y=(m-2)x+1与抛物线C:y2=mx只有1个交点,则抛物 线C的焦点坐标可以是( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.(1,0)     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当m=2时,直线方程为y=1,抛物线方程为y2=2x,此时直线与抛物线的对称轴平行,则直线与抛物线 只有一个交点,符合条件, 此时抛物线的焦点坐标为 . 当m≠2时,联立  消去y,整理得(m-2)2x2+(m-4)x+1=0. 因为直线与抛物线只有一个交点, 所以Δ=(m-4)2-4(m-2)2=0, 解得m=0(舍去)或m= , 所以抛物线方程为y2= x, 第1讲　描述运动的基本概念 此时抛物线的焦点坐标为 . 故抛物线的焦点坐标可以是 , . 易错警示　直线与抛物线只有一个公共点有两种情况:①直线与抛物线相切;②直线与抛物线的对称轴 平行或重合. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026广东多校联考]若圆(x-2)2+y2=4在点(1,- )处的切线与抛物线y2=2px(p≠0)有且仅有一个公共 点,则p= ( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆(x-2)2+y2=4的圆心为(2,0), 故切点与圆心连线的斜率为k0= = , 故切线的斜率k=- =- , 所以切线方程为y+ =- (x-1), 即x+ y+2=0,联立  消去x,得y2+2 py+4p=0, 由切线与抛物线有且仅有一个公共点知Δ=(2 p)2-16p=12p2-16p=0, 解得p=0(舍)或p= . 第1讲　描述运动的基本概念 10.设经过抛物线y2=8x的焦点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与x轴交于C点, 则cos∠ACB=_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得F(2,0),C(-2,0), 直线l的方程为y=x-2, 设A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)(y2<0), 联立 得y2-8y-16=0, 故y1=4+4 ,y2=4-4 , 则x1=6+4 ,x2=6-4 , 故A(6+4 ,4+4 ),B(6-4 ,4-4 ), 故|AC|= =4 , |BC|= =4 ,|AB|=x1+x2+4=16, 在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.1　直线与圆锥曲线的交点 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线与圆锥曲线的交点 1.[2026江苏连云港期中]曲线 + =1与直线 + =1的公共点的个数为 ( ) A.3　　    B.2　　    C.1　　    D.0     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当y≥0时,曲线方程为 + =1, 表示椭圆 + =1在x轴上方的部分(含与x轴的交点), 此时曲线与直线 + =1的交点为(0,3)和(4,0),有2个; 当y<0时,曲线方程为 - =1, 表示双曲线 - =1在x轴下方的部分, 双曲线 - =1的一条渐近线的方程为y=- x,即 + =0, 此时曲线与直线 + =1无交点. 综上,曲线 + =1与直线 + =1的公共点的个数为2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026重庆大足中学阶段检测]已知椭圆E:x2+ =1,若过点M(t,0)(t<-1)的两条直线l1,l2与E都只有一个 交点,且l1⊥l2,则t= ( ) A.- 　　    B. 　　    C.3　　    D.-3     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知直线l1,l2的斜率均存在,且均与椭圆E相切, 设l1,l2的斜率分别为k1,k2. 设椭圆E过点M(t,0)的切线方程为y=k(x-t),联立  消去y可得(k2+2)x2-2k2tx+k2t2-2=0, 则Δ=4k4t2-4(k2+2)(k2t2-2)=0, 整理得(t2-1)k2-2=0, 因为t<-1,所以t2-1>0, 由题意知k1,k2是方程(t2-1)k2-2=0的两根,则k1k2=- , 因为l1⊥l2,所以k1k2=- =-1, 解得t=± ,又t<-1,所以t=- . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025河北部分学校联考]已知直线l1:y=kx(k>0),l2:4x+3y-2=0,椭圆C:4x2+y2=1,l1与C交于P,Q两点,点Q 位于第一象限,l1与l2交于点T,设O是坐标原点,若2|OT|=|OP|+|TQ|,则k= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　联立 解得  所以T . 联立  解得   因为点Q位于第一象限, 所以Q . 第1讲　描述运动的基本概念 由椭圆的对称性知2|OT|=|OP|+|TQ| =|OQ|+|TQ|=|OT|+2|TQ|, 则|OT|=2|TQ|,则 = , 所以 = ,解得k= . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l绕其上点P(-2,1)旋转,Q为C上的动点,O为坐标原点,则  ( ) A.以Q为圆心,|QF|为半径的圆与直线x=-1相切 B.若直线l与抛物线有且只有一个公共点,则这样的直线l有2条 C.线段PF的垂直平分线的方程为3x-y+2=0 D.过点F的直线交C于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线有2条     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由抛物线C:y2=4x可知,C的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1. 对于A,由抛物线的定义可知A正确. 对于B,当直线l的斜率不存在时,直线l与抛物线无公共点; 当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2)+1, 当k=0时,直线l:y=1与抛物线有且只有一个公共点, 当k≠0时,联立 整理可得k2x2+(4k2+2k-4)x+4k2+4k+1=0, 令Δ=(4k2+2k-4)2-4k2(4k2+4k+1)=0,解得k=-1或k= , 所以这样的直线l有3条,故B错误.对于C,线段PF的中点为 , 又kPF= =- ,所以线段PF的垂直平分线的方程为y- =3 ,即3x-y+2=0,故C正确. 对于D,因为|AB|=4=2p,所以线段AB为抛物线的通径,所以这样的直线只有一条,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　与交点有关的最值(或范围)问题 5.[多选题][2026贵州贵阳清华中学月考]设椭圆 + =1与双曲线 - =1(其中a>b>0)的离心率分别 为e1,e2,且直线y= x+1与双曲线的左、右两支各交于一点,下列结论正确的有 ( ) A. ∈ 　　    B. ∈  C.e1+e2∈ 　　    D. - ∈      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　联立 消去y,得 x2- a2x-a2-a2b2=0. 设直线与双曲线的左、右两支的交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则  得b2- a2>0,则 > , 第1讲　描述运动的基本概念 又a>b>0,所以 ∈ ,故A正确,B错误.  另解:双曲线的渐近线方程为y=± x,则由直线y= x+1与双曲线的左、右两支各交于一点,得 >  ,又a>b>0, 所以 <1,所以 ∈  . e1+e2= + , 所以(e1+e2)2=2+2 , 因为 ∈ , 第1讲　描述运动的基本概念 所以(e1+e2)2∈ , 又e1+e2>0, 所以e1+e2∈ ,故C正确;  - = - =2 ∈ ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏南京外国语学校月考]已知A是椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点,过点A且斜率为 的直线l 与椭圆C交于另一点P(点P位于第一象限).以原点O为圆心,|OP|为半径的圆在点P处的切线与x轴交于点 Q.若|PA|≥|PQ|,则 的最大值是_________.     2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由a>b结合点P位于第一象限,可得 < <1. 由题意得A(-a,0),则直线AP的方程为y= (x+a), 联立  得(a2+4b2)y2-4ab2y=0, 则yA+yP= , 解得yP= ,则xP= , ∴kOP= = , 第1讲　描述运动的基本概念 由题意得OP⊥PQ,∴kPQ= . 在△APQ中,由正弦定理及|PA|≥|PQ|得 = ≥1, 则sin∠PQA≥sin∠PAQ. 由直线l的斜率为 得,tan∠PAQ= ,∴sin∠PAQ= . ∵tan∠PQA= = , ∴sin∠PQA= , ∴ ≥ , ∴a4-8a2b2+12b4≥0, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ -8× +12≥0, 解得 ≥6或 ≤2, ∵ < <1,∴1< <2,∴1< <4, ∴1< ≤2,因此 的最大值是2. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西南昌第二中学月考]已知抛物线Γ:y2=4x,焦点为F,过P(4,4)作两条关于直线x=4对称的直线 分别交Γ于点A,B. (1)判断直线AB的斜率是不是定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由; (2)若直线CD:x=my+n与抛物线Γ:y2=4x相交于C(x1,y1),D(x2,y2)两点,且抛物线Γ上存在点E(x3,y3)满足 +  + =0,求x3的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设直线AB的方程为y=kx+t, A(x4,y4),B(x5,y5),其中x4≠4,x5≠4, 则 =4x4, =4x5, 联立 消去y得k2x2+(2kt-4)x+t2=0,Δ=16-16kt>0, 所以x4+x5=- ,x4x5= , 因为直线PA与PB关于直线x=4对称, 所以kPA+kPB=0,则 + =0, 所以 + = + =0, 则y4+y5+8=0,即k(x4+x5)+2t+8=0, 第1讲　描述运动的基本概念 将x4+x5=- 代入得- +2t+8=0,解得k=- , 所以直线AB的斜率为定值- . (2)由已知得F(1,0), 因为 + + =0, =(x1-1,y1),  =(x2-1,y2), =(x3-1,y3), 所以(x1+x2+x3-3,y1+y2+y3)=(0,0), 所以  联立 消去x得y2-4my-4n=0,Δ=16(m2+n)>0,则n>-m2,y1+y2=4m,y1y2=-4n, 所以x1+x2=m(y1+y2)+2n=4m2+2n, 第1讲　描述运动的基本概念 所以  则E(3-4m2-2n,-4m), 由点E在抛物线y2=4x上,得16m2=4(3-4m2-2n),则n= -4m2, 又n>-m2,所以 -4m2>-m2, 解得m2< , 所以x3=3-4m2-2n=4m2<2, 故x3的取值范围为(-∞,2). 第1讲　描述运动的基本概念 $