4.1 直线与圆锥曲线的交点-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 解析：选D．当直线l与抛物线的对称轴平行或l与抛物线相切时有一个公共点，所以D正确． 2．已知斜率为－1的两条直线都与椭圆C：＋＝1相切，则这两条直线间的距离为(　　) A．3 B．3 C．6 D．6 解析：选B．设切线方程为y＝－x＋m，则则3x2－4mx＋2m2－6＝0，Δ＝16m2－12(2m2－6)＝0，解得m＝±3，切线方程为x＋y±3＝0，故这两条直线间的距离d＝＝3. 3．经过点P(1，)且与椭圆＋y2＝1相切的直线方程是(　　) A．x＋2y－4＝0 B．x－2y－4＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x－2y＋2＝0 解析：选A．当斜率k不存在时，直线x＝1与椭圆有两个交点，不符合题意；当斜率k存在时，设直线方程为y－＝k(x－1)，与椭圆的方程联立得到(1＋4k2)x2＋4k(－2k)x＋4k2－4k－1＝0，由直线与椭圆相切，得Δ＝0，即[4k(－2k)]2－4(1＋4k2)(4k2－4k－1)＝0，解得k＝－，所以切线方程为x＋2y－4＝0.故选A． 4．(2024·陕西西安期末)已知双曲线的标准方程为x2－＝1，则下列说法正确的是(　　) A．该曲线两顶点的距离为2 B．该曲线与双曲线y2－＝1有相同的渐近线 C．该曲线上的点到右焦点距离的最小值为1 D．该曲线与直线l：y＝(x－2)有两个公共点 解析：选C．由双曲线的标准方程x2－＝1可得a＝1，b＝，c＝＝2，且焦点在x轴上．对于A，该曲线两顶点为A1(－1，0)，A2(1，0)，则两顶点间的距离|A1A2|＝2，故A错误；对于B，双曲线x2－＝1的渐近线为y＝±x＝±x，由双曲线的标准方程y2－＝1可得a1＝1，b1＝，c1＝＝2，且焦点在y轴上，则其渐近线为y＝±x＝±x，故B错误；对于C，当点在双曲线的右支时，该点到右焦点距离的最小值为c－a＝1.当点在双曲线的左支时，该点到右焦点距离的最小值为c＋a＝3.综上所述，该曲线上的点到右焦点距离的最小值为1，故C正确；对于D，联立方程 消去y得4x－5＝0，解得x＝，故该曲线与直线l：y＝(x－2)有且仅有一个公共点，故D错误．故选C． 5．(2024·江西省宜丰中学检测)已知双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线C仅有一个公共点P，则|PF2|＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由已知得c2＝a2＋b2＝1＋1＝2，所以F1(－，0)，F2(，0)因为过F1的直线与双曲线C仅有一个公共点P，所以该直线与双曲线的渐近线y＝x或y ＝ －x平行，所以不妨设该直线方程为y＝x＋，将直线与双曲线联立解得即P(－，)，所以|PF2|＝＝.故选C． 6．(多选)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上的动点M到焦点F的距离最小值是3，经过点P(2，－1)的直线l与C有且仅有一个公共点，直线PF与C交于A，B两点，则(　　) A．抛物线C的方程为x2＝6y B．满足条件的直线l有2条 C．焦点F到直线l的距离为2或3或 D．|AB|＝60 解析：选CD．由题设知＝3，则p＝6，即C：x2＝12y且F(0，3)，故A错误；因为P(2，－1)在C外，设过P与C相切的直线l的方程为y＝k(x－2)－1，与x2＝12y联立，得x2－12kx＋24k＋12＝0，令Δ＝144k2－96k－48＝0，解得k＝－或k＝1，故x＋3y＋1＝0，x－y－3＝0与C相切，又x＝2与C只有一个交点，所以过P(2，－1)与C有且仅有一个公共点的直线共有3条，故B错误；对于x＋3y＋1＝0，点F到直线l的距离d1＝＝；对于x－y－3＝0，点F到直线l的距离d2＝＝3；对于x＝2，点F到直线l的距离d3＝2，故C正确；由题设，直线PF的方程为2x＋y－3＝0，与x2＝12y联立，可得x2＋24x－36＝0，则xA＋xB＝－24，xAxB＝－36，故|AB|＝·|xA－xB|＝×＝60，故D正确．故选CD． 7．已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点，则实数k＝________． 解析：联立 消去y，整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，当1－k2≠0时，由Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0得k＝±；又注意到直线y＝kx－1恒过点(0，－1)，且渐近线的斜率为±1，当直线与渐近线平行时也满足题意． 答案：±或±1 8．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是______________． 解析：方法一：设与抛物线相切，且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0.与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0，由题意知，Δ＝16＋12m＝0，所以m＝－.所以最小值为两平行线之间的距离d＝＝. 方法二：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值. 答案： 9．(2024·河南焦作检测)已知过抛物线y2＝8x焦点F的直线与抛物线交于M，N两点，设抛物线的准线与x轴的交点为A，当MA⊥NA时，|MN|＝______________． 解析：由题知，A(－2，0)，F(2，0)，设过焦点的直线为x＝my＋2，代入y2＝8x得，y2－8my－16＝0，所以yMyN＝－16，则xMxN＝＝4，由MA⊥NA，则·＝＝－1，所以8＋2(xM＋xN)＝16，即xM＋xN＝4，由抛物线定义知|MN|＝xM＋xN＋4＝8. 答案：8 10．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为4. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求实数k的取值范围． 解：(1)由题意知，a＝2，c＝4，故b2＝c2－a2＝12，又右焦点为(4，0)，所以双曲线C的方程为－＝1. (2)联立直线l与双曲线C的方程有 整理得(3－k2)x2－4kx－16＝0，又直线与双曲线在左支上有两个交点A，B，所以xA＋xB＝＜0，xAxB＝－＞0，且 解得 ＜k＜2，即实数k的取值范围是(，2). 11．(2024·陕西汉中期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作垂直于x轴的直线，在第二象限分别交C及圆x2＋y2＝a2于点A，B，若A为BF1的中点，P为C的上顶点，则∠F1PF2＝(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° 解析：选C． 如图所示，由题意知F1(－c，0)，则直线AF1的方程为x＝－c，因为A，B两点位于第二象限，所以联立解得则A(－c，)，联立 解得则B(－c，b)，又因为A为BF1的中点，所以＝，所以a＝2b，又因为a2＝b2＋c2，所以c＝b，所以在△F1OP中，|OF1|＝c＝b，|OP|＝b，|PF1|＝a＝2b，所以∠F1PO＝60°，所以∠F1PF2＝120°.故选C． 12．(多选)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的值可以为(　　) A．－1 B．－2 C．1 D． 解析：选BD．由题意可知机器人的行进轨迹为抛物线，其轨迹方程为y2＝4x，设过点P(－1，0)的直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，由题意知直线与抛物线无交点，联立两方程并消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，所以k2>1，解得k>1或k<－1.故选BD． 13．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，其准线为l，过点F的直线交抛物线于点A，B，且满足＝4，又AA1⊥l于点A1，则△AA1F的面积为______________． 解析：如图， 不妨设点A在第一象限，A，B在l上的投影分别是A1，D，连接AA1，A1F，BD，过点B作BE⊥AA1于点E.设||＝m，则||＝4m，由点A，B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得||＝||＝m，||＝||＝4m，所以||＝3m.因此，Rt△ABE中，cos ∠BAE＝，tan ∠BAE＝，所以直线AB的斜率为k＝tan ∠AFx＝tan ∠BAE＝，直线AB的方程为y＝(x－2)，代入y2＝8x，可得2x2－17x＋8＝0，即(2x－1)·(x－8)＝0，所以x＝8或x＝，因为A在x轴上方，所以A(8，8)，所以S△AA1F＝·|AA1|·yA＝×10×8＝40. 答案：40 14．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)经过点A(1，－2). (1)求抛物线的方程，并求其准线方程； (2)若直线l与OA平行(O为坐标原点)，与抛物线有公共点，且直线OA与l的距离为，求直线l的方程． 解：(1)由题设可得(－2)2＝2p，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－＝－1. (2)直线OA斜率为－2，则方程为y＝－2x.因为直线l与OA平行，故可设直线l的方程为y＝－2x＋t.因为直线l与抛物线有公共点，联立消去y得4x2－(4t＋4)x＋t2＝0，此方程有解，故Δ＝(4t＋4)2－16t2≥0，所以t≥－.又直线l与直线OA的距离为，故＝，解得t＝±1.因为t≥－，故t＝1.所以直线l的方程为2x＋y－1＝0. 15．已知点P为直线ax＋y－4＝0上一点，PA，PB是椭圆C：＋y2＝1(a>0)的两条切线，若恰好存在一点P使得PA⊥PB，则椭圆C的离心率为________． 解析：设P(m，n)，当切线斜率存在时，设斜率为k，则过点P的切线为y－n＝k(x－m).联立得(k2a2＋1)x2＋2ka2(n－km)x＋a2[(n－km)2－1]＝0.因为直线与椭圆相切，所以Δ＝4k2a4(n－km)2－4a2(k2a2＋1)[(n－km)2－1]＝0，整理得(a2－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0.设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，因为PA⊥PB，所以k1k2＝＝－1，即m2＋n2＝1＋a2，所以点P在以(0，0)为圆心， 为半径的圆上，即(0，0)到直线ax＋y－4＝0的距离为，由＝，解得a＝(负值已舍去).当切线斜率有一条为0，另一条不存在时，若点P(a，4－a2)，此时4－a2＝1，a＝，若点P(－a，4＋a2)，此时4＋a2＝1，无解．综上，a＝.又因为b＝1，所以c＝＝，e＝＝ . 答案： 16.如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，且交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点． (1)求抛物线的方程； (2)求|AB|＋|CD|的值． 解：(1)由圆的方程x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，可知圆心坐标为(2，0)，半径为2，故抛物线的焦点为F(2，0)，故抛物线的方程为y2＝8x. (2)|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，因为|BC|为已知圆的直径，所以|BC|＝4，则|AB|＋|CD|＝|AD|－4.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，因为|AD|＝|AF|＋|FD|，而点A，D在抛物线上，故|AD|＝x1＋x2＋4.由已知可得直线l的方程为y＝2(x－2)，由消去y得x2－6x＋4＝0，Δ＝36－16＝20>0，所以x1＋x2＝6，所以|AD|＝6＋4＝10，所以|AB|＋|CD|＝10－4＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $