第2章 3.2 抛物线的简单几何性质（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

第二章　圆锥曲线 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 §3 抛物线 §3.1 抛物线及其标准方程 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十五） Part 03 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 x轴 y轴 原点 e＝1 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课时作业（十五） 点击进入word 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 1.掌握抛物线的几何性质．2.能运用抛物线的性质解决有关问题．3.掌握抛物线焦点弦问题的求解方法． 1.通过抛物线几何性质的探究，培养直观想象的核心素养．2.借助抛物线几何性质的应用及焦点弦问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　抛物线的简单几何性质 [问题1]　观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图象，分析其几何图形存在哪些区别？ 答：抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，有两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线、一个顶点、一个焦点，没有中心． [问题2]　根据抛物线方程y2＝2px(p＞0)，如何确定横坐标x的范围？ 答：由抛物线y2＝2px(p＞0)有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2px＝y2≥0，,p＞0，))所以x≥0.所以抛物线的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． ►知识填空 抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 续表 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 性 质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 离心率 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形.(　　) (2)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上．(　　) (3)直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切．(　　) (4)抛物线焦点到准线的距离等于p.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1，0)，且|AB|＝1，则点A的横坐标为(　　) A．－2　　　　　　　　　　B．0 C．－2或0 D．－2或2 解析：选B　由y2＝4x知B(1，0)为焦点，所以准线为x＝－1，由抛物线定义知xA＋ eq \f(p,2)＝1，得xA＝0. 3．(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A.y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝16x D．y2＝－16x 解析：选AB　设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)，p＝4，可得抛物线方程． 4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________． 答案：2 题型一　由抛物线的几何性质求其标准方程 [例 1]　已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 解：(1)因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，－3)位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下． 法一：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))). 因为M(m，－3)在抛物线上且|MF|＝5， 故 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(p,2)))\s\up12(2))＝5，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝±2\r(6)．)) 所以m＝±2 eq \r(6)，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. 法二：如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点为F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))，准线l：y＝ eq \f(p,2)，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋ eq \f(p,2)，所以3＋ eq \f(p,2)＝5，解得p＝4.又点M在抛物线上，所以m2＝24，解得m＝±2 eq \r(6).所以m＝±2 eq \r(6)，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. [反思感悟] 求抛物线标准方程的一般步骤是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中p的值，从而求出方程.　　 题型二　抛物线几何性质的应用 [例 2]　已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点．若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 解析：因为△OAB的面积为4，所以 eq \f(1,2)·| eq \f(p,2)|·2|p|＝4，所以p＝±2 eq \r(2)，所以抛物线方程为y2＝±4 eq \r(2)x. 若抛物线y2＝mx(m＞0)的准线与圆x2＋y2－4x－5＝0相切，求抛物线的准线和标准方程． 解：由x2＋y2－4x－5＝0，得(x－2)2＋y2＝9， 所以圆心为(2，0)，半径为3. y2＝mx(m＞0)的准线方程为y＝－ eq \f(m,4). 由已知得2＋ eq \f(m,4)＝3，解得m＝4. 所以抛物线的准线方程为x＝－1，标准方程为y2＝4x. [反思感悟] 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题．　　 　已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程． 解：由题知，抛物线的焦点F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)). ∵抛物线关于x轴对称，|OA|＝|OB|， ∴△ABO为等腰三角形． ∴A，B两点关于x轴对称． 设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)， ∵△ABO的垂心恰为抛物线的焦点， ∴BF⊥OA，则kBF·kOA＝－1， 即 eq \f(－y0－0,x0－\f(p,2))· eq \f(y0,x0)＝－1. 又∵y eq \o\al(2,0)＝2px0，∴x0＝ eq \f(5,2)p. ∴直线AB的方程为x＝ eq \f(5p,2). 题型三　抛物线的焦半径和焦点弦问题 [例 3]　已知抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝ eq \f(5,2)p，求AB所在直线的方程． 解：∵过焦点的弦长|AB|＝ eq \f(5,2)p， ∴弦所在的直线的斜率存在且不为零， 设直线AB的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵y2＝2px的焦点为F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).∴直线方程为y＝k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))). 由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))整理得 k2x2－(k2p＋2p)x＋ eq \f(1,4)k2p2＝0(k≠0)， ∴x1＋x2＝ eq \f(k2p＋2p,k2)， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(k2p＋2p,k2)＋p， 又|AB|＝ eq \f(5,2)p， ∴ eq \f(k2p＋2p,k2)＋p＝ eq \f(5,2)p，∴k＝±2. ∴所求直线方程为y＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))或 y＝－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))). eq \a\vs4\al([反思感悟]) 抛物线焦点弦问题的解法 (1)由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解． (2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合根与系数的关系求解． (3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式，也可以利用弦长公式，但由于弦过焦点，结合抛物线的定义得出焦点弦长为x1＋x2＋p，同时由弦长x1＋x2＋p≥2 eq \r(x1x2)＋p＝2p知，通径是所有弦中最短的弦. 1．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　) A．10　　　　　　　B．8 C．6 D．4 解析：选B　由抛物线y2＝4x，得p＝2，设抛物线的焦点为F，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝x1＋ eq \f(p,2)＋x2＋ eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选B. 2．(变结论)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离． 解：设AB中点为M(x0，y0)， 由例题解答可知2x0＝x1＋x2＝ eq \f(3,2)p， 所以AB的中点M到y轴的距离为 eq \f(3,4)p. [课堂小结] 1．抛物线的离心率e＝1.经常会利用此结论将点到点的距离与点到直线的距离互相转化． 2．通径 (1)定义：通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的通径，如图所示． 对于抛物线y2＝2px(p＞0)，由A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p))，可得|AB|＝2p.故抛物线的通径长为2p. (2)通径是所有焦点弦中最短的弦． $$