3.2 第2课时 抛物线方程及性质的应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

第2课时　抛物线方程及性质的应用 学习目标 1.掌握与抛物线有关的轨迹问题和实际问题．　2.会利用抛物线定义求解相关的最值问题．　3.能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题． 一　焦半径和焦点弦、通径 1．抛物线的焦半径 定义 以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段 焦半径公式 P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点． ①若抛物线y2＝2px(p>0)，则|PF|＝x0＋； ②若抛物线y2＝－2px(p>0)，则|PF|＝－x0； ③若抛物线x2＝2py(p>0)，则|PF|＝y0＋； ④若抛物线x2＝－2py(p>0)，则|PF|＝－y0 2.焦点弦 设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在的直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可． 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径，通径长为2p. 　(1)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为(　　) A．6 B．9 C．12 D．14 (2)(2024·河南南阳检测)已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且垂直于x轴的直线与C在第一象限内交于点A，点B(－3，0)，若|FB|＝|AF|＋1，则p＝____________． 【解析】　(1) 如图所示，过点A，M，B分别作准线x＝－1的垂线，垂足分别为C，M′，D，由抛物线的定义，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，因为点M为AB的中点，且|MM′|＝6，所以|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12. (2)由题意可知F，令x＝，则y2＝p2，故|AF|＝p，由B(－3，0)，|FB|＝|AF|＋1得＋3＝p＋1，解得p＝4. 【答案】　(1)C　(2)4 求抛物线的焦半径和焦点弦、通径，除了需要把抛物线的方程化为标准形式外，还需要结合抛物线的定义求解． [跟踪训练1] (1)已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P(1，y)在抛物线C上，则|PF|＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由y＝2x2，得x2＝y，则p＝.又点P(1，y)在抛物线C上，所以y＝2.由抛物线的定义，知|PF|＝2＋＝2＋＝.故选C． (2)若过抛物线y＝2x2的焦点作垂直于y轴的垂线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝_____________________________________________． 解析：抛物线的方程可化为x2＝y，则2p＝，又因为AB为抛物线的通径，所以|AB|＝. 答案： 二　与抛物线有关的轨迹问题 　(1)已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是(　　) A．x2＝－y B．x2＝y C．x2＝4y D．x2＝－4y (2)已知点A(1，0)，M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足·＝0.若点P满足＝2，则点P的轨迹方程是________________________________． 【解析】　(1)设M(x，y)，B(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y＋1，又y0＝2x＋1，所以2y＋1＝2×(2x)2＋1，即y＝4x2，所以x2＝y，即为所求点M的轨迹方程．故选B． (2)设M点坐标为(a，0)，N点坐标为(0，b)，点P坐标为(x，y)，则＝(－1，b)，＝(－a，b)，所以·＝a＋b2＝0，则a＝－b2.而＝(x－a，y)，＝(x，y－b)，又＝2，所以解得代入a＝－b2可得y2＝4x. 【答案】　(1)B　(2)y2＝4x 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程． (2)定义法：利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程． (3)相关点法：利用两个动点间的关系求动点的轨迹方程． [跟踪训练2] (1)在平面直角坐标系中，已知M(－1，2)，N(1，0)，动点P满足|·|＝||，则动点P的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．x2＝4y C．y2＝－4x D．x2＝－4y 解析：选A．设P(x，y)，则＝(－1－x，2－y)，＝(1，0)，＝(1－x，－y)，因为|·|＝||，所以|1＋x|＝，整理得y2＝4x. (2)已知平面上动点P到定点F(1，0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程． 解：方法一：设点P的坐标为(x，y)，则有＝|x|＋1.两边同时平方并化简，得y2＝2x＋2|x|，即y2＝故动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0). 方法二：由题意知动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点符合题意；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0). 三　抛物线中的最值问题 　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点D(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值． 【解】　由抛物线的定义知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点D(0，2)和抛物线的焦点F(，0)三点共线(P在线段DF上)时距离之和最小，所以最小距离d＝＝. 【变式探究】 1．(综合变式)若将本例中的点D(0，2)改为“点A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值． 解：将x＝3代入y2＝2x，得y＝±，所以点A在抛物线内部．设点P到准线l：x＝－的距离为d， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是.即|PA|＋|PF|的最小值是. 2．(综合变式)若将本例中的点D(0，2)换为“直线l1：3x－4y＋＝0”，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值． 解：如图，PA1垂直于直线l1于点A1，作PQ垂直于准线l于点Q，则|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.|A1F| 的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离 d＝＝1，即所求距离之和的最小值为1. 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． [跟踪训练3] (2024·江西省吉水县第二中学期末)已知抛物线C：y2＝8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2＋y2－4x＋3＝0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：选C． 如图，连接PD，圆D：(x－2)2＋y2＝1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB＝2SRt△PAD＝|PA|.又|PA|＝，所以当|PD|最小时，四边形PADB的面积最小．过点P向抛物线的准线x＝－2作垂线，垂足为E，则|PD|＝|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|＝2.故(S四边形PADB)min＝()min＝.故选C． 四　抛物线的实际应用问题 　如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知灯口圆的直径为60 cm，灯的深度为40 cm. (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点．光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66 cm，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 【解】　(1)如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴(抛物线开口方向是x轴的正方向)，以1 cm为单位长度，则可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0).灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为(40，30)，代入抛物线方程得302＝2p×40，解得p＝，则×＝5.625(cm).故光源应安置在与顶点相距5.625 cm处． (2)由(1)可得抛物线方程为y2＝x.灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为＝33.故将y＝33代入抛物线方程求得x＝＝48.4.此时，探照灯的深度为48.4 cm. 解决抛物线实际应用问题的五个步骤 [跟踪训练4] 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分为0.75 m，货物的宽度与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？ 解：以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系(如图).设抛物线的方程是x2＝－2py(p＞0)，由题意知A(4，－5)在抛物线上，故16＝－2p×(－5)，所以p＝，则抛物线的方程是x2＝－y(－4≤x≤4).设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于点B，B′时，木船开始不能通航．设B(2，y′)，故22＝－y′，所以y′＝－.所以＋0.75＝2(m).故当水面上涨到与拱顶相距2 m时，木船开始不能通航． 1．抛物线x＝8y2的通径长为(　　) A．8 B．4 C． D． 解析：选C．抛物线x＝8y2，即y2＝x，可得2p＝，因此通径长为.故选C． 2．已知抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x 解析：选D．设抛物线C的方程为y2＝2px，p>0，因为|MF|＝2＋ ＝6，所以p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝16x.故选D． 3．已知点P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x＝－1的距离之和的最小值是____________． 解析：依题意设P在抛物线准线上的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F(1，0).由y2＝4x可知x＝－1是抛物线的准线，依抛物线的定义知P到直线x＝－1的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0，－1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝. 答案： 4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．则水位下降1 m后，水面宽为________m. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2 m. 答案：2 1．已学习：与抛物线有关的轨迹问题和最值问题、抛物线的实际应用． 2．须贯通：灵活求解抛物线的轨迹问题和最值问题． 3．应注意：用定义法求轨迹未考虑变量的取值范围而致错． 学科网（北京）股份有限公司 $