02-§2 03-专题强化练4 求离心率的值或范围（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦圆锥曲线离心率求解，通过典型例题（如2025广东韶关综合测试题）导入，连接椭圆与双曲线性质，构建从椭圆短轴端点与圆位置关系到双曲线离心率范围的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于精选近年模拟题，通过焦点三角形、动圆相切等情境，培养学生用数学眼光观察几何关系，用数学思维推理（如余弦定理应用），用数学语言规范表达。例如第2题构造对称线段，第5题分析动圆轨迹，提升学生解题能力，为教师提供系统教学资源。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 专题强化练4　求离心率的值或范围 专题专项练 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2025广东韶关综合测试]椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与椭 圆C没有公共点,则双曲线 - =1的离心率的取值范围是 ( ) A. 　　    B. 　　    C.(1, )　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=a2-b2, 由题知椭圆短轴的端点在此圆外, 则b2>a2-b2,解得a2<2b2, 则双曲线的离心率e= > = ,由a>b,得e= < = , 故双曲线的离心率的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河南九师联盟质量检测]如图,F1,F2分别是椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点,A,B是C上的两 点, =2 ,且∠F1AF2= ,则C的离心率为( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,延长AF1交椭圆C于另一点P,连接PF2,由 =2 ,得AF1∥BF2,   由椭圆的对称性得 = , 设|AF1|=2t(t>0),则|PF1|=t,|AF2|=2a-2t,|PF2|=2a-t. 在△APF2中,由余弦定理得|PF2|2=|AP|2+|AF2|2-2|AP||AF2|cos∠PAF2, 即(2a-t)2=(3t)2+(2a-2t)2-2×3t×(2a-2t)× ,所以t= , 则|AF1|= ,|AF2|= . 第1讲　描述运动的基本概念 设椭圆C的半焦距为c, 在△F1AF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|cos∠F1AF2, 即4c2= + -2× × × , 整理得 = , 所以C的离心率e= = . 方法技巧　对于与焦点三角形有关的离心率问题,常用的方法是邻补角的余弦值的和为0、一个角的 余弦值在两个三角形内算两次. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西南昌进贤第二中学期中]如图,双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲 线上一点,满足|PF2|=|F1F2|,直线PF1与圆x2+y2=a2相切,则双曲线的离心率e为( )   A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析    设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M,连接OM, 则|OM|=a,又|OF1|=c,所以|F1M|=b. 过F2作F2H⊥PF1于点H,则HF2∥OM, 因为|PF2|=|F1F2|, 所以H为PF1的中点, 易得△F1MO∽△F1HF2, 所以 = = , 所以|HF1|=2b,则|PF1|=4b, 又|PF2|=|F1F2|=2c,|PF1|-|PF2|=2a,所以4b-2c=2a,则2b=c+a. 联立 得5a2+2ac-3c2=0,则a=-c(舍)或5a=3c,所以e= = .   第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026浙江嘉兴模拟]已知椭圆C1和双曲线C2有相同的焦点F1,F2,M是它们的一个公共点,且∠F1MF2=  ,若C1的离心率为 ,则C2的离心率为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设椭圆C1: + =1(a>b>0),双曲线C2: -  =1(m>0,n>0),F1(-c,0),F2(c,0). 因为C1与C2有相同的焦点, 所以a2-b2=c2,m2+n2=c2. 不妨设点M位于第一象限,且|MF1|=t1,|MF2|=t2, 因为点M在椭圆C1上,所以t1+t2=2a,① 在△MF1F2中,|F1F2|=2c, 由余弦定理得,4c2= + -2t1t2cos ,② 由①②得t1t2=4(a2-c2), 由 = 得a= c, 第1讲　描述运动的基本概念 所以t1t2=4 = c2. 因为点M在双曲线C2上, 所以t1-t2=2m,③ 由②③得3t1t2=4(c2-m2), 所以3× c2=4(c2-m2), 得m2= c2,所以m= c, 所以双曲线C2的离心率为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026广东深圳期中]已知圆C1:(x+1)2+y2=16,圆C2:(x-1)2+y2=r2(0<r<2),动圆M与圆C1,圆C2都相切,若动 圆圆心M的轨迹是两个椭圆,且两个椭圆的离心率分别为e1,e2,则 + =( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可得C1(-1,0),C2(1,0), 如图1,动圆M与圆C1内切,切点为T,与圆C2外切,切点为N, 此时|MN|=|MT|,|TC1|=4,|NC2|=r, 所以|MC1|+|MC2|=|MC1|+|MN|+|NC2|=|MC1|+|MT|+|NC2|=|TC1|+|NC2|=4+r>|C1C2|=2, 故圆心M的轨迹是以C1(-1,0),C2(1,0)为焦点,且长轴长为4+r,焦距为2的椭圆, 设2a1=4+r,2c1=2,则a1=2+ r,c1=1, 故该椭圆的离心率为e1= = . 如图2,动圆M与圆C1、圆C2均内切,切点分别为W,Q, 第1讲　描述运动的基本概念  图1     图2 则|C1W|=4,|C1W|=|MC1|+|MW|,|MW|=|MQ|,|MQ|=|MC2|+|QC2|=|MC2|+r, 则|MC1|+|MC2|=|C1W|-|MW|+|MC2|=|C1W|-|MQ|+|MC2|=4-(|MQ|-|MC2|)=4-|QC2|=4-r>|C1C2|=2, 故圆心M的轨迹是以C1(-1,0),C2(1,0)为焦点,且长轴长为4-r,焦距为2的椭圆, 设2a2=4-r,2c2=2,则a2=2- r,c2=1, 故该椭圆的离心率为e2= = , 所以 + =2+ r+2- r=4. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026天津五区县重点校期中联考]设椭圆 + =1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P是椭圆上一点,且∠F1PF2 = ,若△F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为R,r,当R=3r时,椭圆的离心率为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得|F1F2|=2c, 在△PF1F2中,由正弦定理得2R= = = ,故R= . 由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a, 故 = (|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r=(a+c)r. 在△PF1F2中,由余弦定理得, cos∠F1PF2=  = , 即 = , 第1讲　描述运动的基本概念 得|PF1||PF2|= , 则 = |PF1||PF2|sin∠F1PF2= ·|PF1||PF2|= × = , 故(a+c)r= ,得r= , 因为R=3r,所以 =3× , 得 = ,故椭圆的离心率为 . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026湖南A佳教育联盟期中]已知A,B为双曲线Γ: - =1(a>0,b>0)上关于原点O对称的两点(异于顶 点),点C在双曲线上且满足直线AC,AB的斜率之积为-6,设直线BC与x轴的交点为P,若| |2+3 · =0, 则双曲线Γ的离心率为_________.     2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图:   设A(x1,y1),C(x0,y0),则B(-x1,-y1). 由 得 - =0, 即 = , 所以 = . 第1讲　描述运动的基本概念 又kCA= ,kCB= , 所以kCA·kCB= . 又kCA·kAB=-6,所以 =- . 设P(t,0),由| |2+3 · =0,得t2+3tx1=0,所以t=-3x1. 由C,B,P三点共线得kCB=kBP, 则 = =- , 所以- = =- ,所以 =3, 故双曲线Γ的离心率e= = =2. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江西多校月考]已知A,B分别是椭圆C: + =1(a>b>0)的上、下顶点,M是椭圆C上一动点. (1)若直线MA,MB的斜率之积为- ,且C的短轴长为2 ,求C的方程; (2)若P是圆x2+y2-2by=0上一动点,且|MP|≤3b,求C的离心率e的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)易知A(0,b),B(0,-b), 设点M(x0,y0),则 + =1, 则 -b2=- , 则kMA·kMB= · = = =- =- , 又C的短轴长为2 ,即2b=2 ,故b= , 所以b2=6,a2=8, 所以C的方程为 + =1. (2)方程x2+y2-2by=0可化为x2+(y-b)2=b2,则圆心为A(0,b),半径为b, 因为|MP|≤3b,所以|MA|≤2b. 第1讲　描述运动的基本概念 设M(x0,y0),则 + =1, 则 =a2 , 所以|MA|2= +(y0-b)2=a2 +(y0-b)2=-  + +a2+b2,-b≤y0≤b. 当- ≤-b,即b2≥c2时,(|MA|2)max=4b2,即|MA|max=2b,符合题意, 由b2≥c2,可得a2≥2c2,所以0<e≤ ; 当- >-b,即b2<c2时,(|MA|2)max= +a2+b2,令 +a2+b2≤(2b)2=4b2,化简得(c2-b2)2≤0,所以c2=b2,这与b2<c2矛 盾,不符合题意. 综上,C的离心率的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 $