02-§2 02-2.2 双曲线的简单几何性质（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质，通过对比椭圆知识导入，以题组形式构建从定义到离心率、渐近线及方程应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是分层练习结合实际案例，如3D打印塔筒问题培养数学眼光，分类讨论渐近线夹角提升数学思维，规范解析过程强化数学语言。助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §2　双曲线 2.2　双曲线的简单几何性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　由双曲线的方程研究其简单几何性质 1.[2026天津第一中学滨海学校期中]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为 ,焦点到渐近线的 距离为3,则C的实轴长为 ( ) A. 　　    B.3　　    C.2 　　    D.6     D     解析　易得双曲线的一条渐近线方程为y=- x,即bx+ay=0,一个焦点为(c,0), 由题意得 =3,解得b=3, 由e= = ,a2+b2=c2,解得a=3(舍负),c=3 (舍负),所以C的实轴长为2a=6. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026陕西西安交通大学附属中学月考]若实数k满足0<k<9,则双曲线C1: - =1与C2: - =1 的 ( ) A.焦距相等　　    B.实轴长相等 C.虚轴长相等　　    D.离心率相等     A     解析　由题意得双曲线C1中,a1=5,b1= ,c1= = ,双曲线C2中,a2= ,b2=3,c2=  = ,2c1=2c2, 所以两双曲线的焦距相等,A正确, C1的实轴长为2a1=10,虚轴长为2b1=2 ,离心率e1= = , C2的实轴长为2a2=2 ,虚轴长为2b2=6,离心率e2= = ,2a1≠2a2,2b1≠2b2,e1≠e2,B,C,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江西入学摸底考试]若双曲线C的焦距是虚轴长的 倍,则 ( ) A.C的离心率为  B.C的渐近线方程为x±2y=0 C.C的渐近线夹角的正切值为  D.C的实轴长是虚轴长的 倍     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知2c=2 b,则c= b, 所以c2=5b2=5(c2-a2), 则4c2=5a2, 即c= a, 所以e= = ,故A正确; c= b= a,则a=2b, 所以渐近线方程为y=± x=± x或y=± x=±2x,即x±2y=0或2x±y=0,故B错误; 当其中一条渐近线的斜率为 时,设其倾斜角为θ1,则tan θ1= , 第1讲　描述运动的基本概念 故两条渐近线夹角的正切值为|tan 2θ1|= = = , 当其中一条渐近线的斜率为2时,设其倾斜角为θ2,则tan θ2=2, 故两条渐近线夹角的正切值为|tan 2θ2|= = = ,故C正确; 2a=2×2b,则实轴长是虚轴长的2倍,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　由双曲线的简单几何性质求其方程 4.[2025江西南昌第一中学期中]与双曲线x2- =1有共同的渐近线,且经过点( ,6)的双曲线的方程为  ( ) A. - =1　　    B. - =1 C. - =1　　    D. - =1     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可设所求双曲线的方程为x2- =k(k≠0,且k≠1), 又双曲线过点( ,6), ∴2- =k, 解得k=-2, ∴所求双曲线的方程为x2- =-2, 即 - =1. 方法技巧　与双曲线 - =1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0,且λ≠1). 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏江阴长泾中学期中]已知双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线互相垂直,实轴长为4,则双曲线 的标准方程为 ( ) A. - =1　　    B. - =1 C. - =1　　    D. - =1     B     解析　设双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0),由题意可知- · =-1,则a=b, 因为实轴长为4,所以2a=4,则a=2,则b=2, 所以双曲线的方程为 - =1. 考场速解　若双曲线的渐近线互相垂直,则双曲线必为等轴双曲线,由2a=4得a=2,则b=2. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026广东广州奥林匹克中学月考]已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的顶点到渐近线的距离为 ,焦点 到渐近线的距离为 ,则该双曲线的方程为 ( ) A. - =1　　    B. - =1 C. - =1　　    D. - =1     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　双曲线 - =1(a>0,b>0)的顶点为(±a,0),渐近线方程为bx±ay=0, 由题意可得 = , 即9a2b2=20(a2+b2),① 设双曲线的焦点为(-c,0),(c,0), 则 = =b= ,② 由①②可得a=2,b= , 故双曲线的方程为 - =1. 二级结论　　　双曲线的焦点到渐近线的距离为b,顶点到渐近线的距离为 ,故本题可由此结论直接 得到b= , = ,结合c2=a2+b2可得结果,或直接排除选项. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026重庆第十一中学期中]已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为 ,过右焦点F且垂直于x轴的 直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=8,则双曲线的 方程为 ( ) A. - =1　　    B. - =1 C. - =1　　    D. - =1     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,直线l是双曲线的一条渐近线,其方程为y= x,即bx-ay=0,   由题意知F(c,0),F是AB的中点, 过A作AC⊥l于点C,过B作BD⊥l于点D, 则|AC|=d1,|BD|=d2,过F作EF⊥l于点E, 则|EF|= =4,则 =b=4, 又 = ,c2=a2+b2,所以a=2 , 所以双曲线的方程为 - =1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江西大联考]3D打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属 或塑料等可黏合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术,如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型 塔筒,该塔筒是由离心率为 的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据 均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6  cm,下底直径为9  cm,喉部(中间最细处)的直径为8 cm,则该塔筒的高为 ( )   A.  cm　　    B.18 cm　　    C.  cm　　    D.18  cm     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　该塔筒的轴截面如图所示,以喉部的直径的中点O为原点,建立平面直角坐标系, 设A,B分别为上、下底面的对应点. 设塔筒所对应的双曲线的方程为 - =1(a>0,b>0), 因为e= = ,所以b2=9a2. 因为喉部(中间最细处)的直径为8 cm,所以2a=8,则a=4,b2=144,所以双曲线的方程为 - =1. 由题意可知xA=3 ,xB= , 代入双曲线方程得yA=3 (负值舍去),yB=- (正值舍去), 所以该塔筒的高为yA-yB=  cm. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江西上饶横峰中学期中]已知双曲线E: - =1(a>0,b>0)的中心为原点O,左、右焦点分别为F1, F2,离心率为 ,且过点M ,P是直线x= 上一点,点Q在双曲线E上,且满足 · =0. (1)求双曲线E的方程; (2)证明:直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得e2= =1+ = ,则 = , 把点M 代入双曲线方程得 - =1,∴a=4,b=3, ∴双曲线E的方程为 - =1. (2)证明:设Q(x0,y0),则 - =1, 即 = ( -16), 由(1)知F2(5,0),设P , 则 = , =(5-x0,-y0), ∴ · = (5-x0)+ty0=0, 第1讲　描述运动的基本概念 即ty0=-9+ x0, 故kPQ·kOQ= · = = = , ∴直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值 . 二级结论　　　已知A,B是双曲线 - =1(a>0,b>0)上任意两点,且弦AB不平行于x轴,P为线段AB的中 点,则有kAB·kOP= =e2-1,此定理可用于小题,或检验常规做法的结果是否正确. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　双曲线的渐近线与离心率 10.[2026江西上进联考]已知a>b>0,记椭圆 + =1的离心率为e1,双曲线 - =1的离心率为e2.若e1e2=  ,则 = ( ) A. 　　    B. 　　    C.2　　    D.3     C     解析　由题意得e1= ,e2= , 则e1e2= = , 则 = , 又 >0,所以 = ,所以 =2. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[易错题][2026湖北武汉华中师范大学第一附属中学月考] 若双曲线 - =1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角为60°,则该双曲线的离心率为 ( ) A. 　　    B.2 C.2或 　　    D. 或      C     解析　因为双曲线的两条渐近线的夹角为60°,所以两条渐近线的倾斜角为30°,150°或60°,120°,(渐近线 存在两种情况) 所以渐近线的斜率为± 或± , 所以 = 或 = . 双曲线的离心率e= = ,所以e= = 或e= =2. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江西景德镇质量检测]双曲线C:x2- =1,过点P(2,3)作C的两条渐近线的平行线,与两条渐近线 分别相交于点A,B,O为坐标原点,则平行四边形OAPB的面积是 ( ) A. 　　    B.1　　    C. 　　    D.2     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由双曲线方程得a=1,b= ,c=2.由题意得渐近线方程为y=± x, 由对称性不妨设直线PA的方程为y= (x-2)+3, 联立  解得  则A ,所以|OA|= =2- , 又点P(2,3)到直线y=- x的距离d= , 所以平行四边形OAPB的面积S=|OA|·d=(2- )× = . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江西南昌东方明珠高级中学模拟]已知双曲线E: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2, 直线l与E的两条渐近线分别交于点A,B,O为坐标原点,若2 = ,OA⊥AB,则E的离心率为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由对称性,不妨设A,B在x轴上方,双曲线的渐近线方程为y=± x, ∵2 = ,OA⊥AB,∴OA⊥AF2, 在Rt△OAF2中,|OF2|=c,tan∠AOF2= = , |AF2|即为点F2到渐近线y= x,即bx-ay=0的距离,为b, ∴|OA|=a,由 cyA= ab得yA= , ∴xA= ,∴A . ∵2 = ,F2(c,0), ∴2(xA-c,yA)=(xB-xA,yB-yA), 则xB=3xA-2c= ,yB=3yA= , 第1讲　描述运动的基本概念 又点B在渐近线y=- x上, ∴ =- × ,得c2=3a2, ∴e= = .   第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江西宜春丰城第九中学开学考试]如图,已知F1,F2是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,以 F2为圆心,a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A,B两点,若3|AB|≥|F1F2|,则双曲线的离心率的取值 范围是_________.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    F2(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离d= =b,所以|AB|=2 , 因为3|AB|≥|F1F2|, 所以3×2 ≥2c, 即9a2-9b2≥c2,即9a2≥5c2,所以 ≤ , 解得- ≤ ≤ , 又e>1,所以1<e≤ . 故e的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §2　双曲线 2.2　双曲线的简单几何性质 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　双曲线的渐近线和离心率 1.[2026湖南邵阳第二中学期中]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为 ,点P(m,n)在C上,则 -  的取值范围是 ( ) A. 　　    B. 　　     C.(-1,2]　　    D.(-2,2]     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知e2= =5, 所以c2=5a2,则b2=c2-a2=4a2, 因为P(m,n)在C上,所以 - =1, 则4m2-n2=4a2=b2>0,则-1< <1, 所以 - = - =1- - =- + ,-1< <1, 结合二次函数的性质可知 - 的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026重庆巴蜀中学开学考试]已知双曲线E: - =1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过点F的直 线与双曲线E的一条渐近线交于点P,与其左支交于点Q,且点P与点Q不在同一象限内,直线AP与直线 OQ(O为坐标原点)的交点M在双曲线E上,若 =-3 ,则双曲线E的离心率为 ( ) A. 　　    B. 　　     C.2　　    D.3     B     解析    思路点拨 　　设双曲线E的左焦点为F'→利用对称证明四边形MF'QF为平行四边形→△MAF'∽△PAF→利用相 似比求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为直线AP与OQ的交点M在双曲线E上, 所以点M与点Q关于原点对称, 设双曲线的左焦点为F',连接MF',QF',MF,因为|OF|=|OF'|,所以四边形MF'QF为平行四边形, 故MF'∥QF,|MF'|=|QF|, 易得△MAF'∽△PAF, 则 = = , 又 = =4,所以 =4, 所以3c=5a,故e= = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025河南豫北名校期中联考]如图,已知椭圆C1: + =1(a1>b1>0)和双曲线C2: - =1(a2>0,b2>0)有 公共的焦点F1,F2,P是C1与C2在第一象限内的公共点,线段PF1的垂直平分线经过坐标原点O,若C1的离心 率为 ,则C2的渐近线方程为 ( )   A.y=± x　　    B.y=± x C.y=± x　　    D.y=± x     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　令线段PF1的垂直平分线与PF1的交点为M,显然M是PF1的中点, 又O为F1F2的中点,所以OM∥PF2, 所以PF2⊥PF1, 则  则(2a1)2+(2a2)2=2(|PF1|2+|PF2|2)=2|F1F2|2, 令C1与C2的半焦距为c, 由 = 得a1= c,于是 +(2a2)2=2(2c)2, 解得a2= c,则b2= c,则 = , 所以C2的渐近线方程为y=± x. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026江西赣州十八县(市、区)二十四校期中]如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,|CD|=2|AB|, |AD|= |AB|,E为线段AC上的一点,以A,B为顶点的双曲线M经过点E,且 ≤ ≤ ,则M的离心率可能 为( )   A. 　　    B. 　　    C.2　　    D.      BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,以AB的中点为原点,建立平面直角坐标系,   设M: - =1(a>0,b>0),E(x0,y0), 则A(-a,0),B(a,0),易得C(2a,2a), 则 =(3a,2a), =(x0+a,y0). 设 =λ , 则 =λ ,即(x0+a,y0)=(3aλ,2aλ), 第1讲　描述运动的基本概念 则 解得  则E(3aλ-a,2aλ),代入M的方程得 - =1, 即(3λ-1)2- =1, 则(9λ-6)c2=(13λ-6)a2, 则e2= = +1. 因为函数f(x)= +1在 上单调递减,所以f =3≤f(x)≤f =5,所以3≤e2≤5, 又e>1,故 ≤e≤ ,结合选项知B,C,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西赣州于都第二中学月考]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为F2(2,0),若圆M:(x+2)2+ (y-6)2=4上存在点P使得PF2的中点在C的渐近线上,则C的离心率的取值范围为 ( ) A.[2,+∞)　　    B.[3,+∞)　　     C.(1,2]　　    D.(1,3]     B     解析    思路点拨 　　设P(x0,y0),得PF2的中点Q ,求得y0=± (x0+2), 　　由直线y=± (x+2)与圆M有公共点得到 ≤2,求得 ≥8,进而得双曲线的离心率的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得c=2,即a2+b2=4,双曲线C的渐近线方程为y=± x, 圆M的圆心为M(-2,6),半径r=2, 设P(x0,y0),PF2的中点为Q, 则Q ,由点P在双曲线C的渐近线上, 可得 =± × ,即y0=± (x0+2), 所以点P在直线± x-y± =0上, 因为圆M上存在点P满足条件, 所以直线y=± (x+2)与圆M有公共点, 第1讲　描述运动的基本概念 所以圆心M到直线± x-y± =0的距离d= = ≤2, 可得 ≥8,则e2= = =1+ ≥9, 又e>1,所以e≥3, 所以双曲线C的离心率的取值范围为[3,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025浙江星辰联盟期中]已知点M(-4,0),N(4,0),若直线上存在点P,使|PM|-|PN|=6,同时存在点Q,使|QN| -|QM|=6,则称该直线为“两全其美线”.下列直线中为“两全其美线”的是 ( ) A.y= x　　    B.x=4　　     C.y= x　　    D.y=2x     C     解析　由|PM|-|PN|=6<|MN|=8,得点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为6的双曲线的右支, 设为C1,其方程为 - =1(x≥3), 由|QN|-|QM|=6<|MN|=8,得点Q的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为6的双曲线的左支, 设为C2,其方程为 - =1(x≤-3), 则当且仅当直线PQ与双曲线C: - =1的两支相交时,直线PQ为“两全其美线”. 第1讲　描述运动的基本概念 对于A,双曲线C的渐近线方程为y=± x,所以直线y= x与C无公共点,A不符合题意. 对于B,直线x=4与C2无公共点,B不符合题意. 对于C,由0< < ,知直线y= x过C的中心,且过C的两条渐近线所夹(含焦点)的区域,故直线y= x与C的 两支相交,C符合题意. 对于D,由2> ,知直线y=2x过C的中心,且过两条渐近线所夹(含虚轴)的区域,故直线y=2x与C无公共点, D不符合题意. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　双曲线的几何性质的综合应用 7.[2026四川南充阆中东风中学月考]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在 C的左支上,过点M作C的一条渐近线的垂线,垂足为N,则当|MF2|+|MN|取得最小值16时,△F1NF2的面积的 最大值为( ) A.16　　    B.32　　    C.36　　    D.64     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得|MF2|-|MF1|=2a, 故|MF2|=|MF1|+2a, 易知点F1(-c,0)到渐近线y=- x, 即bx+ay=0的距离为|F1N|= =b, 所以|MF2|+|MN|=|MF1|+2a+|MN|≥|F1N|+2a≥b+2a,当且仅当M,F1,N三点共线时两个等号同时成立, 所以|MF2|+|MN|的最小值为b+2a=16, 所以16=b+2a≥2 ,则ab≤32,当且仅当b=2a,即b=8,a=4时等号成立, 所以 =2 =2× |NF1||NO|=ab≤32, 故△F1NF2的面积的最大值为32. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2026江西宜春十校协作体联考] 已知F1,F2分别为双曲线C: - =1(a>0,b>0)和椭圆E: + =1 的左、右焦点,P为C与E在 第一象限内的交点,若∠PF1F2= ,则( ) A.C的渐近线方程为 x±y=0 B.E的短轴长是C的虚轴长的2 倍 C.E的离心率和C的离心率的积为1 D.△PF1F2的面积为2 a2     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得  所以  在△PF1F2中,由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|·cos∠PF1F2,即4a2=16a2+4c2-8 ac(c为半焦距), 所以 -2 × +3=0, 解得 = , 则 = , 故C的渐近线的方程为y=± x, 即 x±y=0,故A正确; 第1讲　描述运动的基本概念 由A知,c= a,b= a, 由c2=9a2-m2=a2+b2=3a2,得m= a, 故E的短轴长为2m=2 a,C的虚轴长为2b=2 a,则 = = ,则E的短轴长是C的虚轴长的 倍, 故B错误; 由 = ,知C的离心率为 ,E的离心率为 = × = , × =1,则E的离心率和C的离心率的积为1, 故C正确; 由∠PF1F2= ,|PF1|=4a,|F1F2|=2c=2 a,得 = |PF1||F1F2|sin = ×4a×2 a× =2 a2,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[多选题][2026江西景德镇乐平第一中学期中]已知等轴双曲线x2-y2=4的左、右顶点分别为A,B,P(x0,y 0)为双曲线右支上任意一点(异于A,B两点),设∠PAB=α,∠PBA=β,点P到两条渐近线的距离分别为d1,d2, 则下列选项正确的是( ) A.双曲线x2-y2=4的离心率e=  B. 的值随着x0的增大而增大 C.tan αtan β=-1 D.d1与d2的乘积为定值且为1     AC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,等轴双曲线的离心率为 ,故A正确; 对于B,在△PAB中,由正弦定理得 = = , 显然α,π-β均为锐角,且随着x0的增大,α逐渐增大,π-β逐渐减小,则随着x0的增大,sin α逐渐增大,sin(π-β)逐 渐减小,且均为正数, 所以 的值随着x0的增大而减小,故B错误; 对于C,P(x0,y0)为双曲线右支上任意一点,满足 - =4,易得A(-2,0),B(2,0), 则tan αtan β=-kPAkPB=- × =- =-1,故C正确; 对于D,双曲线C:x2-y2=4的渐近线的方程为y=±x,即x±y=0, 则d1d2= × = =2,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 二级结论　　    1.双曲线的第三定义:平面内与两定点A(-a,0),A2(a,0)的斜率的积等于常数 的点的轨 迹是双曲线(不含两定点),其中两定点为双曲线的顶点,故本题C选项,tan αtan β=-kPAkPB=- =-1. 2.双曲线上任意一点到双曲线两条渐近线的距离的乘积为定值  ,故本题D选项,d1d2=  =2. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江西南昌外国语学校期中]已知△ABC中,tan =3tan ,双曲线E以B,C为焦点,且经过点A,则E 的两条渐近线的夹角为______;tan +tan 的取值范围为___________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c. 不妨设B,C分别为左、右焦点, 设△ABC的内心为I,过点I作BC,AC,AB的垂线,垂足分别为M,N,P, 设△ABC内切圆的半径为r, 则|MI|=|NI|=|PI|=r.   根据三角形内心的性质可知|AP|=|AN|,|BP|=|BM|,|CM|=|CN|, 因为双曲线E以B,C为焦点,且经过点A,所以||AC|-|AB||=2a,即||AN|+|CN|-|AP|-|BP||=||CN|-|BP||=||CM|-|BM||=2a, 第1讲　描述运动的基本概念 因为tan =3tan , 所以B>C,所以|AC|>|AB|, 所以点A在双曲线的左支上, 则|CM|-|BM|=2a. 又|CM|+|BM|=2c, 所以|CM|=c+a,|BM|=c-a, 所以M为双曲线的左顶点, 则tan = = ,tan = = ,所以 = ,则 =2,所以 = ,则E的两条渐近线的倾斜角 分别为 和 ,故两条渐近线的夹角为 . 第1讲　描述运动的基本概念 因为tan =tan = = =  = = - tan , 所以tan +tan = + ·tan , 易得C∈ ,则 ∈ , 所以tan ∈ , 所以 + tan > . 故tan +tan 的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026河南新乡教学目标测评]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)过点(2 ,2 ),且离心率e=2. (1)求双曲线C的方程; (2)设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,E为右顶点,过F2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点(其中点 A位于第一象限),M,N分别为△AF1F2,△BF1F2的内心. ①证明:M,E,N三点共线; ②设直线AB的倾斜角为θ,用θ表示|ME|-|NE|,并求出|ME|-|NE|的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)将(2 ,2 )代入双曲线方程,得 - =1, 因为e= =2,所以c=2a, 联立 解得  所以双曲线C的方程为 - =1. (2)①证明:如图,设△AF1F2的内切圆与AF1,AF2,F1F2分别切于点H,D,G, 第1讲　描述运动的基本概念   则|AH|=|AD|,|HF1|=|GF1|,|DF2|=|GF2|,所以|AF1|-|AF2|=|AH|+|HF1|-|AD|-|DF2|=|HF1|-|DF2|=|GF1|-|GF2|=2a,又| GF1|+|GF2|=2c, 所以|GF1|=a+c,|GF2|=c-a, 又|EF1|=a+c,|EF2|=c-a, 所以G与E(a,0)重合,所以点M的横坐标为a,同理可得N的横坐标也为a, 所以M,E,N三点共线. ②连接MF2,NF2,易得∠EF2M= ,∠EF2N= , 第1讲　描述运动的基本概念 则|ME|-|NE|=(c-a)tan -(c-a)tan  =(c-a)·  =(c-a)·  =(c-a)·  =(c-a)× = = . 第1讲　描述运动的基本概念 当θ= 时,|ME|-|NE|=0; 当θ≠ 时, 易得双曲线C的两条渐近线的斜率为± =± , 则两条渐近线的倾斜角分别为 和 , 因为A,B两点在双曲线的右支上, 所以 <θ< ,且θ≠ , 所以tan θ<- 或tan θ> ,所以- < < ,且 ≠0, 则|ME|-|NE|= ∈ ∪ . 综上,|ME|-|NE|的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　以对勾函数为背景,研究双曲线的性质 12.[多选题][2025陕西汉中普通高中十校联盟期中]某数学兴趣小组的同学在探究函数f(x)=   的图象和性质时,发现该函数的图象是双曲线,且存在实数k,使得∀x>0,f(x)>kx恒成立.据此,下面的结论 成立的是 ( ) A.实数k的最大值为  B.该双曲线的离心率为  C.该双曲线的一个顶点是( ,2 ) D.该双曲线的焦距为8     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析    ∀x>0,f(x)>kx恒成立, 即∀x>0,  >kx恒成立, 则∀x>0,k< + 恒成立, 当x>0时, + > ,则k≤ ,A正确; 如图,双曲线的一条渐近线为直线y= x,倾斜角为30°,另一条渐近线为直线x=0,则两条渐近线的夹角 为60°,设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c,   第1讲　描述运动的基本概念 则 =tan 30°= , 则双曲线的离心率e= = = ,B正确; 双曲线的实轴所在的直线为两条渐近线夹角的平分线所在直线, 易知其倾斜角为60°,方程为y= x, 联立  解得 或  所以双曲线的顶点为( ,3),(- ,-3),C错误; 由C知2a= =4 , 即a=2 ,则c=4,所以双曲线的焦距为2c=8,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 $