第2章 2.2 双曲线的简单几何性质（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

第二章　圆锥曲线 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 §2 双曲线 §2.2 双曲线的简单几何性质 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十三） Part 03 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 2c 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课时作业（十三） 点击进入word 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 1.掌握双曲线的简单几何性质．2.能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题． 1.通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象的核心素养．2.借助于几何性质的应用，提升学生的数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点　双曲线的简单几何性质 [问题1]　观察图形思考下面问题． (1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围限制？ 答：有限制，因为 eq \f(x2,a2)≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a. (2)观察双曲线图形，它是否是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是否是中心对称图形？对称中心是哪个点？ 答：关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． [问题2]　双曲线有几个顶点？它的顶点和焦点能在虚轴上吗？ 答：有两个顶点，但它的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上． ►知识填空 双曲线的简单几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 图形 焦点 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 顶点 焦距 |F1F2|＝ (a2＋b2＝c2) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 对称性 关于x轴、y轴、原点对称，既是轴对称图形，又是中心对称图形 渐近线 离心率 e＝ eq \f(c,a)(e＞1) eq \f(x,a)± eq \f(y,b)＝0 eq \f(x,b)± eq \f(y,a)＝0 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1与 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(　　) (2)双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1与 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(　　) (3)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．中心在原点，实轴上为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　) A． eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,9)＝1 B． eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,9)＝1或 eq \f(y2,25)－ eq \f(x2,9)＝1 C. eq \f(x2,100)－ eq \f(y2,36)＝1 D． eq \f(x2,100)－ eq \f(y2,36)＝1或 eq \f(y2,100)－ eq \f(x2,36)＝1 答案：B 3．双曲线 eq \f(x2,2)－ eq \f(y2,4)＝－3的渐近线方程为(　　) A．y＝± eq \r(2)x B．y＝±2x C．y＝± eq \f(\r(2),2)x D．y＝± eq \f(1,2)x 答案：A 4．若双曲线 eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,m)＝1的离心率e＝2，则m＝________． 答案：48 题型一　由双曲线方程求其几何性质 [例 1]　求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标，离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为 eq \f(x2,m)－ eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0)， 由此可知，实半轴长a＝ eq \r(m)， 虚半轴长b＝ eq \r(n)，c＝ eq \r(m＋n)， 焦点坐标为( eq \r(m＋n)，0)，(－ eq \r(m＋n)，0)， 离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(m＋n),\r(m))＝ eq \r(1＋\f(n,m))， 顶点坐标为(－ eq \r(m)，0)，( eq \r(m)，0)， 所以渐近线方程为y＝± eq \f(\r(n),\r(m))x. 即y＝± eq \f(\r(mn),m)x. [反思感悟] 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几个性质．　　 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(13),3)， 渐近线方程为y＝± eq \f(2,3)x. 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 解：双曲线的方程化为标准形式是 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,4)＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝ eq \r(13). 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)， 焦点坐标为(－ eq \r(13)，0)，( eq \r(13)，0)， 题型二　由双曲线的几何性质求其标准方程 [例 2]　求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为 eq \f(5,4)； (2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝± eq \f(3,2)x； (3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程． 解：(1)设双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1或 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0). 由题知2b＝12， eq \f(c,a)＝ eq \f(5,4)且c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8， ∴标准方程为 eq \f(x2,64)－ eq \f(y2,36)＝1或 eq \f(y2,64)－ eq \f(x2,36)＝1. (2)法一：当焦点在x轴上时，由 eq \f(b,a)＝ eq \f(3,2)且a＝3， ∴b＝ eq \f(9,2). ∴所求双曲线方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(4y2,81)＝1. 当焦点在y轴上时，由 eq \f(a,b)＝ eq \f(3,2)且a＝3， ∴b＝2. ∴所求双曲线方程为 eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,4)＝1. ∴标准方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(4y2,81)＝1或 eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,4)＝1. 法二：设以y＝± eq \f(3,2)x为渐近线的双曲线方程为 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a2＝4λ，∴2a＝2 eq \r(4)λ＝6⇒λ＝ eq \f(9,4)， 当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2 eq \r(－9)λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(4y2,81)＝1或 eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,4)＝1. (3)设与双曲线 eq \f(x2,2)－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为 eq \f(x2,2)－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝ eq \f(22,2)－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为 eq \f(y2,2)－ eq \f(x2,4)＝1. [反思感悟] 求双曲线标准方程的方法与技巧 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧： ①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)； ②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)； ③与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1共焦点的方程可设为 eq \f(x2,a2－λ)－ eq \f(y2,b2＋λ)＝1(λ≠0，－b2＜λ＜a2)； ④与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1或 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝λ或 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝λ(λ≠0)； ⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)； ⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0). 求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)与双曲线 eq \f(y2,4)－ eq \f(x2,3)＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)； (2)过点(2，0)，与双曲线 eq \f(y2,64)－ eq \f(x2,16)＝1的离心率相等． 解：(1)设所求双曲线方程为 eq \f(y2,4)－ eq \f(x2,3)＝λ(λ≠0). 由点M(3，－2)在双曲线上得 eq \f(4,4)－ eq \f(9,3)＝λ， 得λ＝－2. 故所求双曲线的标准方程为 eq \f(x2,6)－ eq \f(y2,8)＝1. 当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为 eq \f(y2,64)－ eq \f(x2,16)＝λ(λ＞0)，将点(2，0)代入方程得λ＝－ eq \f(1,4)＜0(舍去). 综上可知，所求双曲线的标准方程为 eq \f(x2,4)－y2＝1. 题型三　求双曲线的离心率 [例 3]　(1)已知点(2，3)在双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为______； (2)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________． 解析：(1)根据点(2，3)在双曲线上，得 eq \f(4,a2)－ eq \f(9,b2)＝1　①， 考虑到焦距为4，则2c＝4，即c＝2　②. 联立①②及a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝ eq \r(3)， 所以离心率e＝2. (2)设双曲线方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，不妨设一个焦点为F(c，0)，虚轴的一个端点为B(0，b)，则kFB＝－ eq \f(b,c).又渐近线的斜率为± eq \f(b,a)，所以由直线垂直得－ eq \f(b,c)· eq \f(b,a)＝－1(－ eq \f(b,a)显然不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2， 故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝ eq \f(\r(5)＋1,2)(负值舍去). 答案：(1)2　(2) eq \f(\r(5)＋1,2) [反思感悟] 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝ eq \f(c,a)得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))得解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.　 (多选)已知点F是双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值可以是(　　) A． eq \f(3,2)　　　　　　　　B． eq \r(3) C．2 D．3 解析：选AB　由题意易知点F的坐标为(－c，0)，A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(b2,a)))，E(a，0). ∵△ABE是锐角三角形，∴ eq \o(EA,\s\up6(→))· eq \o(EB,\s\up6(→))＞0， 即 eq \o(EA,\s\up6(→))· eq \o(EB,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c－a，\f(b2,a)))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c－a，－\f(b2,a)))＞0， 整理得3e2＋2e＞e4，∴e(e3－3e－3＋1)＜0， ∴e(e＋1)2(e－2)＜0，解得e∈(0，2). 又e＞1，∴e∈(1，2)，故选AB. [课堂小结] 1．掌握由方程研究几何性质的方法，弄清椭圆与双曲线几何性质的区别． 2．双曲线特有的性质：渐近线 (1)随着x和y趋向于无穷大，双曲线将无限地与渐近线接近，但永远没有交点；由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值，但无法确定焦点位置． (2)求渐近线的方程，常把双曲线的方程右边的常数写成“0”，分解因式即得渐近线方程，若已知渐近线方程mx＋ny＝0，求双曲线的方程，常将双曲线的方程设为 eq \f(x2,n2)－ eq \f(y2,m2)＝λ(λ≠0)求解． $$