2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选C．依题意，双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±x.故选C． 2．(2024·陕西咸阳检测)已知双曲线－＝1(a>0)的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由题意有2×＝3×(2×)，解得a＝.故选A． 3．实轴长与焦距之比为黄金数的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线－＝1(a>0，b>0)是黄金双曲线，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由题意＝，所以2a2＝(3－)c2＝(3－)(a2＋b2)，解得＝.故选A． 4．(2024·陕西西安铁一中学月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，F2关于C的一条渐近线的对称点为P.若|PF1|＝2，则△PF1F2的面积为(　　) A．2 B． C．3 D．4 解析：选D． 如图，设PF2与渐近线y＝x交于M，则F2M⊥OM，tan ∠MOF2＝，sin ∠MOF2＝，所以|MF2|＝|OF2|·sin ∠MOF2＝b，|OM|＝＝a，由O，M分别是F1F2与PF2的中点，知OM∥PF1且|OM|＝|PF1|＝1，即a＝1，由e＝得c＝，b＝2，所以S△＝4S△＝4××2×1＝4.故选D． 5．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A．实轴长为8 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 解析：选ABD．双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，可得a＝4，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.故选ABD． 6．(多选)(2024·河南焦作期中)已知双曲线C：x2－＝1，点P是C上任意一点，则下列结论正确的有(　　) A．双曲线C的离心率为 B．焦点到渐近线的距离为4 C．左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝4，则|PF2|＝2或|PF2|＝6 D．若左、右顶点分别为A，B，当P与A，B不重合时，直线PA与直线PB的斜率之积为16 解析：选ABD．由已知可得，a2＝1，a＝1，b2＝16，b＝4，所以c2＝a2＋b2＝17，c＝. 对于A，e＝＝，故A正确；对于B，双曲线的一条渐近线方程为4x－y＝0，右焦点坐标为(，0)，所以焦点到渐近线的距离为d＝＝4，故B正确；对于C，因为根据双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2，所以|PF2|＝2或|PF2|＝6.因为|PF2|>c－a＝－1，故|PF2|＝6，故C错误；对于D，设P(x0，y0)，A(－1，0)，B(1，0)，则kPA·kPB＝× ＝＝＝16，故D正确．故选ABD． 7．(2024·江西九江外国语学校检测)已知双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±2x，则实数a＝__________． 解析：－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，所以＝2，解得a＝3. 答案：3 8．(2024·陕西商洛期末)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则E的离心率为__________． 解析：因为E的一条渐近线的倾斜角为30°，所以＝，则E的离心率e＝＝＝. 答案： 9．已知双曲线＋＝1的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线的标准方程为__________，双曲线的渐近线方程为_________． 解析：由题意知，m<0.因为椭圆的离心率e1＝，所以双曲线的离心率e2＝2，即＝2，所以m＝－27，即双曲线的标准方程为－＝1，双曲线的渐近线方程为y＝±x. 答案：－＝1　y＝±x 10．已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程． 解：由椭圆方程化为标准方程＋＝1，可知c2＝64－16＝48.①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以解得所以双曲线的标准方程为－＝1；②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，所以解得所以双曲线的标准方程为－＝1.综上所述，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. 11.一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔．作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M(长杆OB绕O转动)，画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为(　) A． B． C． D． 解析：选D．设|MB|＝t，则由题意，可得|MO|＝12－t，|MA|＝8－t，有|MO|－|MA|＝4<|AO|＝10，由双曲线的定义可得动点M的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的焦距2c＝10，实轴长2a＝4，即c＝5，a＝2，所以e＝＝.故选D． 12．(2024·安徽阜阳期末)若双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则实数k的取值范围是____________． 解析：双曲线方程可化为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝.又因为e∈(1，2)，即1<<2，解得－12<k<0. 答案：(－12，0) 13.(2024·安徽滁州期末)已知双曲线－y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2－|PF2|2＝4，则△PF1F2的周长为__________． 解析：由题意可得b＝1，c＝，因为e＝＝，所以a＝，c＝2，因为P为双曲线右支上一点，所以|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又 |PF1|2－|PF2|2＝4，所以|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的周长为2＋2c＝2＋4. 答案：2＋4 14．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离是1 020 m．求该巨响发生处和接报中心的距离．(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上) 解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系．设A，B，C分别是正西、正东、正北方向的观测点，则A(－1 020，0)，B(1 020，0)，C(0，1 020).设P(x，y)为巨响发生处．由已知|PA|＝|PC|，故点P在线段AC的垂直平分线PO上，则PO的方程为y＝－x，又B点比A点晚4 s听到巨响，故|PB|－|PA|＝340×4＝1 360<2 040，则P点在以A，B为焦点的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左支上．依题意，得a＝680，c＝1 020，所以b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402，故双曲线的方程为－＝1，将y＝－x代入上式，得x＝±680，因为|PB|＞|PA|，所以x＝－680，y＝680，即P(－680，680)，故PO＝680.故该巨响发生处和接报中心的距离为680 m． 15．(2024·陕西西安期末)已知双曲线C的离心率为，焦点为F1，F2，点A在C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos ∠AF2F1＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选B．不妨设F1，F2为左、右焦点，由|F1A|＝2|F2A|可知A在双曲线右支上，则|F1A|－|F2A|＝2a，故|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，由于双曲线C的离心率为，则＝，即c＝a，在△AF2F1中，cos ∠AF2F1＝＝＝＝－.故选B． 16.如图，已知双曲线Г：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右两顶点分别是A1，A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P. (1)若d＝(2，)是Г的一条渐近线的一个方向向量，试求Г的两渐近线的夹角θ的正切值； (2)若|PA|＝1，|PB|＝5，|PC|＝2，|PD|＝4，试求双曲线Г的方程． 解：(1)双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，所以＝＜1，从而tan ＝，tan θ＝＝4. (2)设P(xP，yP)，则由条件知，xP＝(|PB|－|PA|)＋|PA|＝(|PB|＋|PA|)＝3，yP＝(|PC|＋|PD|)－|PC|＝(|PD|－|PC|)＝1，即P(3，1)，所以A(2，1)，C(3，3)，代入双曲线方程得－＝1， －＝1，解得故双曲线Г的方程为－＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $