第2章 2.1 双曲线及其标准方程（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

第二章　圆锥曲线 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 §2 双曲线 §2.1 双曲线及其标准方程 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十二） Part 03 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课 前 预 习 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 差的绝对值 焦点 焦距 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课 堂 互 动 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 课时作业（十二） 点击进入word 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 谢谢观看 第二章　圆锥曲线 选择性必修第一册 数学 学习目标 素养要求 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2.掌握双曲线的标准方程及其求法．3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题． 1.通过双曲线概念的学习，培养数学抽象的核心素养．2.通过双曲线标准方程以及与双曲线有关的轨迹问题的探究，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　双曲线的定义 [问题]　若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？ 答：曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线． ►知识填空 双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之 等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线． 这两个定点F1，F2叫作双曲线的 ，两个焦点间的距离叫作双曲线的 ． 知识点二　双曲线的标准方程 [问题1]　双曲线的标准方程是左右两侧各具有怎样的结构特征？ 答：双曲线的标准方程左端为两平方项的差，右端为常数1. [问题2]　类比椭圆的标准方程，双曲线的标准方程可以根据x2与y2的分母大小来判断双曲线焦点的位置吗？ 答：双曲线的焦点位置不是由标准方程中x2与y2的分母大小判断，而是根据x2与y2项的系数的正负区分． [问题3]　双曲线方程中a与b，c的关系是怎样的？ 答：a与b的大小关系不确定，a＜c，且a，b，c满足b2＝c2－a2. ►知识填空 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0) 图形 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1 焦点坐标 a，b，c的 关系式 a2＋b2＝c2 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线．(　　) (2)对于双曲线标准方程，三个参数a，b，c中，最大的一定是c.(　　) (3)方程 eq \f(x2,m)－ eq \f(y2,n)＝1(mn＞0)表示的曲线一定是双曲线．(　　) (4)在双曲线方程 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)中，必有a＞b＞0.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知点F1(－4，0)，F2(4，0)，曲线上的动点P到F1，F2的距离之差为6，则曲线方程为(　　) A． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,7)＝1(x＞0)　　　B． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,7)＝1 C． eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,7)＝1(y＞0) D． eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,7)＝1 答案：A 3．双曲线 eq \f(x2,10)－ eq \f(y2,2)＝1的焦距为(　　) A．3 eq \r(2) B．4 eq \r(2) C．3 eq \r(3) D．4 eq \r(3) 答案：D 4．已知双曲线 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为________． 解析：设双曲线的两个焦点为F1，F2， |PF1|＝3，所以P在靠近F1的一支上． 因为|PF2|＝|PF1|＋2a＝3＋6＝9. 所以P到另一个焦点的距离为9. 答案：9 题型一　双曲线定义的应用 [例 1]　若F1、F2是双曲线 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 解：(1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知，||MF2|－16|＝6， 即|MF2|－16＝±6， 解得|MF2|＝10或|MF2|＝22. (2)由 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 由定义和余弦定理得 |PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， (1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知，||MF2|－16|＝6， 即|MF2|－16＝±6， 解得|MF2|＝10或|MF2|＝22. (2)由 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 由定义和余弦定理得 |PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， ∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝ eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝ eq \f(1,2)×64× eq \f(\r(3),2)＝16 eq \r(3). [反思感悟] 双曲线中的焦点三角形 双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的△PF1F2称为焦点三角形，令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有： (1)定义：|r1－r2|＝2a； (2)余弦定理：4c2＝r eq \o\al(2,1)＋r eq \o\al(2,2)－2r1·r2cos θ； (3)面积公式：S△PF1F2＝ eq \f(1,2)r1r2sin θ. 一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．　 已知双曲线方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，点A，B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为(　　) A．2a＋2m　　　　　B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m 解析：选B　设△ABF1的周长为C，则C＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB|＝2a＋2a＋2m＝4a＋2m. 题型二　求双曲线的标准方程 [例 2]　据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(4\r(10),3)))； (2)与双曲线 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且经过点(3 eq \r(2)，2)； (3)过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上． 解：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－ eq \f(16,15)× eq \f(160,9)<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为 eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,b2)＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为 eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,9)＝1. (2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.① ∵双曲线经过点(3 eq \r(2)，2)，∴ eq \f(18,a2)－ eq \f(4,b2)＝1.② 由①②得a2＝12，b2＝8， ∴双曲线的标准方程为 eq \f(x2,12)－ eq \f(y2,8)＝1. 法二：设所求双曲线的方程为 eq \f(x2,16－λ)－ eq \f(y2,4＋λ)＝1(－4<λ<16). ∵双曲线过点(3 eq \r(2)，2)，∴ eq \f(18,16－λ)－ eq \f(4,4＋λ)＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去). ∴双曲线的标准方程为 eq \f(x2,12)－ eq \f(y2,8)＝1. (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点P，Q在双曲线上， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9A＋\f(225,16)B＝1，,\f(256,9)A＋25B＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A＝－\f(1,16)，,B＝\f(1,9)．)) ∴双曲线的标准方程为 eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,16)＝1. [反思感悟] 双曲线标准方程的两种求法 定义法待定系 根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程 数法 先设出双曲线的标准方程 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1或 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可 　 [提醒]　若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0. 已知与双曲线 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1共焦点的双曲线过点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))，求该双曲线的标准方程． 解：已知双曲线 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，所以c＝5. 设所求双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0). 依题意，c＝5， 所以b2＝c2－a2＝25－a2， 故双曲线方程可写为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,25－a2)＝1， 因为点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))在双曲线上， 所以 eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),2)))\s\up12(2),a2)－ eq \f((－\r(6))2,25－a2)＝1. 化简得，4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝ eq \f(125,4). 又当a2＝ eq \f(125,4)时，b2＝25－a2＝25－ eq \f(125,4)＝－ eq \f(25,4)＜0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24. 所以所求双曲线的标准方程为x2－ eq \f(y2,24)＝1. 题型三　与双曲线有关的轨迹问题 [例 3]　 如图，在△ABC中，已知|AB|＝4 eq \r(2)，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． 解： 以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2 eq \r(2)，0)，B(2 eq \r(2)，0). 由正弦定理得sin A＝ eq \f(|BC|,2R)，sin B＝ eq \f(|AC|,2R)，sin C＝ eq \f(|AC|,2R)(R为△ABC的外接圆半径). 因为2sin A＋sin C＝2sin B， 所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 从而有|AC|－|BC|＝ eq \f(1,2)|AB|＝2 eq \r(2)＜|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点). 因为a＝ eq \r(2)，c＝2 eq \r(2)，所以b2＝c2－a2＝6， 即所求轨迹方程为 eq \f(x2,2)－ eq \f(y2,6)＝1(x＞ eq \r(2)). [反思感悟] 求与双曲线有关的轨迹问题的常用方法 (1)列出等量关系，化简得到方程，注意化简变形的等价性． (2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程． [提醒]　检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．　　 1．(多选)当α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))时，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示的轨迹可以是(　　) A．两条直线　　　　　　B．圆 C．椭圆 D．双曲线 解析：选ACD　当α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))时， sin α∈ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，cos α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))). ①当sin α＞0，cos α＞0时，可得方程x2sin α＋y2 cos α＝1表示椭圆． ②当sin α＞0，cos α＜0时，表示双曲线． ③当sin α＝1，cos α＝0时，可能是两条直线．故选ACD. 2．动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，则动圆圆心M的轨迹方程为________． 解析：设动圆半径为R， 因为圆M与圆C1外切，且与圆C2内切， 所以|MC1|＝R＋3，|MC2|＝R－1， 所以|MC1|－|MC2|＝4. 所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支， 且有a＝2，c＝3，b2＝c2－a2＝5， 所以所求轨迹方程为 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1(x≥2). 答案： eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1(x≥2) [课堂小结] 1．双曲线定义的理解 (1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左、右焦点， 若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上； 若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上． (2)双曲线定义的双向运用 ①若 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|MF1|－|MF2|))＝2a(0＜2a＜|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线； ②若动点M在双曲线上，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|MF1|－|MF2|))＝2a. 2．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． $$