1.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

第2课时　椭圆方程及性质的应用 学习目标 1.类比点与圆的位置关系研究点与椭圆的位置关系．　2.会利用椭圆的几何性质解决一些简单的实际问题．　3.了解代入法求解轨迹方程的方法． 一　点与椭圆的位置关系 设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则点P与椭圆的位置关系如表所示： 位置关系 满足条件 P在椭圆外 ＋________1 P在椭圆上 ＋________1 P在椭圆内 ＋________1 [答案自填] ＞　＝　＜ 　(1)已知椭圆C：＋＝1，点A(3cos θ，2sin θ)，则点A与椭圆C的位置关系是(　　) A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．点在椭圆上或椭圆内 (2)已知点P(m，1)在椭圆＋＝1的外部，则实数m的取值范围是________________． 【解析】　(1)因为＋＝1，所以点A在椭圆C上．故选A． (2)由题意可知＋>1，解得m>或m<－. 【答案】　(1)A　(2)∪(，＋∞) (1)判断点与椭圆的位置关系的方法有两种：定义法和代数法，根据题目条件选择合适的方法判断即可． (2)由点与椭圆的位置关系求参数时，把点的坐标代入椭圆方程，解不等式即可． [跟踪训练1] 若点A(m，1)在椭圆＋＝1的内部，则实数m的取值范围是(　　) A．(－，) B．(－∞，－)∪(，＋∞) C．(－2，2) D．(－1，1) 解析：选A．因为点A(m，1)在椭圆＋＝1的内部，所以＋＜1，整理得m2＜2，解得－＜m＜. 二　椭圆的实际应用 　(多选)2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米、远火点n千米，火星半径为r千米，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是(　　) A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2 C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为2 D．a2c1＜a1c2 【解析】　由已知得a1＞a2，b1＞b2，c1＞c2，所以a1＋c1＞a2＋c2，故A错误；由|PF|＝a1－c1＝a2－c2，故B正确；轨道Ⅱ的短轴长2b2＝2＝2＝2，故C正确；由a1－c1＝a2－c2得a1＋c2＝a2＋c1，两边平方得a＋c＋2a1c2＝a＋c＋2a2c1，即b＋2a1c2＝b＋2a2c1，由于b1＞b2＞0，故b＞b，所以a1c2＜a2c1，故D错误，故选BC． 【答案】　BC 解决和椭圆有关的实际问题的步骤 (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题； (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解； (3)用解得的结果说明原来的实际问题． [跟踪训练2] (多选)某探月检测器顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100 km，远月点与月球表面距离为400 km，已知月球的直径约为3 476 km，则下列关于椭圆的结论中正确的是(　　) A．焦距长约为300 km B．长轴长约为3 988 km C．两焦点坐标约为(150，0)，(－150，0) D．离心率约为 解析：选AD．设该椭圆的长半轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为×3 476＝1 738(km)，a－c＝100＋1 738＝1 838，a＋c＝400＋1 738＝2 138，2a＝1 838＋2 138＝3 976，a＝1 988，c＝2 138－1 988＝150，椭圆的离心率约为e＝＝＝，可得结论A，D项正确，B项错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误．故选AD． 三　代入法求轨迹方程 　已知在平面直角坐标系中，动点M到定点(－，0)的距离与它到定直线l：x＝－的距离之比为常数. (1)求动点M的轨迹Q的方程； (2)设点A(1，)，若P是(1)中轨迹Q上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程． 【解】　(1)设动点M(x，y)，由已知可得 ＝|x＋|， 即x2＋2x＋3＋y2＝(x2＋x＋)， 化简得＋y2＝1， 即所求动点M的轨迹Q的方程为＋y2＝1. (2)设B(x，y)，P(x0，y0)， 由得 由点P在轨迹Q上，得＋(2y－)2＝1，整理得(x－)2＋4(y－)2＝1， 所以线段PA的中点B的轨迹方程是 (x－)2＋4(y－)2＝1. 相关点代入法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)； (2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0； (3)将x0，y0代入其所在的曲线方程； (4)化简方程得所求方程，注意要检验是否有要删除的点． [跟踪训练3] 已知P(－4，－4)，Q是椭圆x2＋2y2＝16上的动点，M是线段PQ上的点，且满足＝，则动点M的轨迹方程是(　　) A．(x－3)2＋2(y－3)2＝1 B．(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1 C．(x＋1)2＋2(y＋1)2＝9 D．(x－1)2＋2(y－1)2＝9 解析：选B．设动点M(x，y)，Q(m，n)，因为＝，P(－4，－4)，即(x＋4，y＋4)＝(m－x，n－y)， 所以化简得又Q(m，n)在椭圆x2＋2y2＝16上，故16(x＋3)2＋32(y＋3)2＝16，即动点M的轨迹方程为(x＋3)2＋2(y＋3)2＝1. 1．已知椭圆C：＋＝1，点M(1，1)，则点M与椭圆C的位置关系是(　　) A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．点在圆上或圆内 解析：选B．因为＋＜1，所以点在椭圆内．故选B． 2．椭圆x2＋2y2＝1的通径长为(　　) A． B． C． D．1 解析：选D．椭圆x2＋2y2＝1的通径即过焦点并且和焦点所在的轴垂直的直线截得的线段长，右焦点为(，0)，直线为x＝，联立解得此直线和椭圆交点的纵坐标为±，则通径长为1.故选D． 3．人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆，设地球的半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1，r2，则卫星轨道的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由题意可得解得所以e＝＝.故选A． 4．设圆(x＋1)2＋y2＝36的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为___________________________________． 解析：设M(x，y).因为点M在线段AQ的垂直平分线上，所以|MA|＝|MQ|，又点M在圆C的半径CQ上，所以|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝6，所以|MC|＋|MA|＝6>2.故点M的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为 2a＝6的椭圆，b2＝a2－c2＝8，所以点M的轨迹方程为＋＝1. 答案：＋＝1 1．已学习：点与椭圆的位置关系、代入法求解轨迹方程． 2．须贯通：代入法求解轨迹方程有关的问题． 3．应注意：检验求解轨迹方程中是否有要删除的点或增加的点． 学科网（北京）股份有限公司 $