1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．(2024·安徽阜阳期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为2，则C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选D．由题设，知可得 则b2＝a2－c2＝3，所以C的方程为＋＝1.故选D． 2．(2024·广西梧州苍梧中学期中)已知椭圆C：＋＝1的焦距是2，则离心率e的值是(　　) A． B．或 C．或 D．或 解析：选B．因为椭圆C：＋＝1的焦距是2，所以c＝1，当椭圆焦点在x轴上时，a2＝m＝4＋1＝5，所以e＝＝＝，当椭圆焦点在y轴上时，a2＝4，所以e＝＝，故A，C，D错误．故选B． 3．椭圆＋＝1与＋＝1(0<k<9)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 解析：选D．易知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为，椭圆＋＝1(0<k<9)的焦点在y轴上，则长轴长为2，短轴长为2，焦距为8，离心率为，所以两椭圆的焦距相等．故选D． 4．(2024·陕西渭南期中)已知椭圆＋＝1的长轴端点为M，N，不同于M，N的点P在此椭圆上，那么PM，PN的斜率之积为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选A．依题意可设PM，PN的斜率分别为k1，k2，M(2，0)，N(－2，0)，点P的坐标为(x0，y0)，P是椭圆上任意一点，则＋＝1，k1＝，k2＝，则k1k2＝＝＝－. 故选A． 5．已知椭圆E的左焦点为F，E上关于原点对称的两点A，B满足AF⊥BF，若tan ∠FAB的最小值为，则E的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：选D．设椭圆的右焦点为M，连接AM，BM，因为AF⊥BF，由椭圆的对称性知，四边形AFBM为矩形，所以|AM|＝|BF|，由椭圆的定义知，|AF|＋|AM|＝2a，所以|AF|＋|BF|＝2a，在Rt△ABF中，tan ∠FAB＝＝＝－1≥，所以|AF|≤，而|AF|≤a＋c，所以a＋c＝，即a＝3c，所以离心率e＝＝.故选D． 6．(多选)已知F为椭圆＋＝1的一个焦点， A，B为该椭圆的两个顶点，若|AF|＝2，|BF|＝3，则满足条件的椭圆方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选AC．由题意，当A，B为椭圆长轴的两个顶点时，可得解得所以b2＝a2－c2＝6，此时椭圆的方程为＋＝1；当A为椭圆短轴的顶点，B为长轴的顶点时，可得 解得则b2＝a2－c2＝3，此时椭圆的方程为＋＝1；当A为椭圆长轴的顶点，B为短轴的顶点时，可得解得则b2＝a2－c2＝8，此时椭圆的方程为＋＝1.故选AC． 7．(2024·广西梧州检测)焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6，0)的椭圆的标准方程是________________． 解析：因为椭圆的焦距等于4，故2c＝4，所以c＝2, 又因为椭圆的焦点在x轴上且过点P(6，0)，所以a＝6，所以b2＝a2－c2＝36－4＝32，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 8．(2024·江西联考)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，则△PF1F2面积与周长的比值的最大值为______________________． 解析：设椭圆＋＝1的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则a＝5，b＝4，c＝3，因为|F1F2|＝2c＝6，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以△PF1F2的周长为16，由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，△PF1F2的面积最大，所以△PF1F2面积的最大值为|F1F2|b＝bc＝12，所以△PF1F2面积与周长的比值的最大值为. 答案： 9．已知△AF1F2是等边三角形，M，N分别是边AF1和AF2的中点．若椭圆以F1，F2为焦点，且经过M，N，则椭圆的离心率等于________________． 解析：如图建立平面直角坐标系，连接NF1，因为△AF1F2是等边三角形，M，N分别是边AF1和AF2的中点，所以NF1⊥AF2，设△AF1F2的边长为2，则|F1F2|＝2c＝2，即c＝1，|NF2|＝|AF2|＝1，|NF1|＝＝，又|NF1|＋|NF2|＝2a＝＋1，所以a＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝－1. 答案：－1 10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程． 解：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0).由e＝知，＝，故＝，从而＝，所以b2＝a2.由△ABF2的周长|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，所以b2＝8.故椭圆C的标准方程为＋＝1. 11．(2024·江西南昌月考)已知A，B两点之间的距离为2 km，甲、乙两人沿着同一条线路跑步，这条线路上任意一点到A，B两点的距离之和为8 km.当甲到A，B两点的距离相等时，甲、乙两人之间距离的最大值为(　　) A．2 km B．4 km C．5 km D．10 km 解析：选A． 以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，可知甲、乙两人的跑步线路是以A，B为焦点的椭圆，2a＝8，2c＝2，即a＝4，c＝1，故椭圆的方程为＋＝1.因为甲到A，B两点的距离相等，所以甲在上(下)顶点处，根据对称性，不妨设甲所在位置为点P，乙所在位置为点Q(x0，y0)，则|PQ|2＝x＋(y0－)2.由＋＝1得|PQ|2＝16－＋(y0－)2＝－y－2y0＋31，对称轴为直线x＝－15<0，因为y0∈[－， ]，所以当y0＝－时，|PQ|2取得最大值，且最大值为60，故当甲到A，B两点的距离相等时，甲、乙两人之间距离的最大值为2 km.故选A． 12．(2024·河南南阳统考)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，A，B两点都在C上，且A，B关于坐标原点对称，下列说法错误的是(　　) A．|AB|的最大值为2 B．|AF1|＋|BF1|为定值 C．C的焦距是短轴长的2倍 D．存在点A，使得AF1⊥AF2 解析：选C．由题意，a2＝6，b2＝2，c2＝a2－b2＝4，所以a＝，b＝，c＝2，而|AB|≤2a＝2，＝，所以A正确，C错误； 由椭圆的对称性知，|AF1|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＝2a＝2，所以B正确；当A在y轴上时，cos ∠F1AF2＝<0，则∠F1AF2为钝角，所以存在点A，使得AF1⊥AF2，所以D正确．故选C． 13.如图所示，F是椭圆的左焦点，A，B是椭圆的端点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB，则椭圆的离心率为____________． 解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则F(－c，0)，A(a，0)，B(0，b)，因为P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，则P点的坐标为， 方法一：kAB＝－，因为OP∥AB，则直线OP的斜率为－，所以直线OP的方程为y＝－x，可得＝－×(－c)，整理得b＝c，所以椭圆的离心率e＝＝＝＝＝. 方法二：因为OP∥AB，则Rt△OPF∽Rt△ABO，可得＝，即＝，整理得b＝c，所以椭圆的离心率e＝＝＝ ＝＝. 答案： 14．已知F1，F2分别为椭圆W：＋y2＝1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点． (1)若点M的坐标为(1，m)(m>0)，求△F1MF2的面积； (2)若点M的坐标为(x0，y0)，且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的取值范围． 解：(1)因为点M(1，m)在椭圆W上，所以＋m2＝1，因为m>0，所以m＝.因为a＝2，b＝1，所以c＝＝，所以F1(－，0)，F2(，0)，即|F1F2|＝2，所以S△F1MF2＝|F1F2|m＝×2×＝. (2)由(1)知|F1F2|＝2，因为点M在椭圆W上，所以－2≤x0≤2，由余弦定理的推论得cos ∠F1MF2＝＝，因为∠F1MF2是钝角，所以(x0＋)2＋y＋(x0－)2＋y－12<0.又因为y＝1－，所以x<，解得－<x0<，故横坐标x0的取值范围是(－，). 15．(多选)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值可以为(　　) A．1 B． C．4 D．5 解析：选ABC．由已知得2b＝2，故b＝1， 因为△F1AB的面积为，所以(a－c)b＝，所以a－c＝2－，又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1，故a＋c＝2＋，所以a＝2，c＝， 所以＋＝＝＝＝＝，又a－c≤|PF1|≤a＋c，即2－≤|PF1|≤2＋，当|PF1|＝2时，－(|PF1|－2)2＋4最大，最大为4；当|PF1|＝2－或|PF1|＝2＋时，－(|PF1|－2)2＋4最小，最小为1，即1≤－(|PF1|－2)2＋4≤4，所以1≤≤4，即1≤＋≤4，所以＋的取值范围是[1，4].故选ABC． 16．(1)已知A，B为椭圆＋＝1(a>b>0)长轴上的两个端点，Q为椭圆上任意一点，证明：当点Q为椭圆短轴的端点时，∠AQB最大； (2)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，求实数m的取值范围． 解：(1)证明：如图， 作QP⊥AB，与x轴交于点P，不妨设Q(x，y)(0≤x<a，0<y≤b)，则|AP|＝a＋x，|BP|＝a－x，|PQ|＝y，所以tan ∠AQP＝，tan ∠BQP＝，tan ∠AQB＝＝＝，又因为x2＝a2－y2，所以tan ∠AQB＝，因为1－<0，所以∠AQB∈(，π)，所以当y＝b时，tan ∠AQB＝最大，此时∠AQB最大，所以当点Q为椭圆短轴的端点时，∠AQB最大． (2)①若椭圆焦点在x轴上，则0<m<3，设椭圆的短轴的一个顶点为E，由(1)可知，∠AEB≥∠AMB，所以120°≤∠AEB<180°，则60°≤∠AEO<90°，所以tan ∠AEO＝＝≥tan 60°＝，解得0<m≤1；②若椭圆焦点在y轴上，则m>3，设椭圆的短轴的一个顶点为D，由(1)可知，∠ADB≥∠AMB，所以120°≤∠ADB<180°，则60°≤∠ADO<90°，所以tan ∠ADO＝＝≥tan 60°＝，解得m≥9.综上，实数m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $