第1章 05-高考真题练（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线与圆核心内容，涵盖直线方程、圆的方程、切线与弦长等考点。通过高考真题导入，衔接初中直线知识与高中圆的性质，构建从基础到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握相关知识。 其亮点在于融合高考真题与模拟题，提供代数法、几何法等多种解法，培养学生数学思维与直观想象。如2020全国Ⅲ文8题通过距离公式与几何性质两种思路求解，强化逻辑推理与模型意识。学生能提升解题能力，教师可借助系统解析优化教学，提高课堂效率。

第一章 直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 高考真题练 第1讲　描述运动的基本概念 考点1　直线的方程及其应用 1.[2020全国Ⅲ文,8]点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 ( ) A.1　　    B. 　　    C. 　　    D.2     B     解析    解法一:易得点(0,-1)到直线y=k(x+1),即kx-y+k=0的距离d= = , 因为k2+1≥2k,所以2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号, 即|k+1|≤ · , 所以d= ≤ , 故点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 . 解法二:由题意知,直线y=k(x+1)过点P(-1,0)且斜率存在,设Q(0,-1). 易知当直线PQ与直线y=k(x+1)垂直时,点Q到直线y=k(x+1)的距离最大,此时k=1,距离的最大值为|PQ|= . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025上海,15]已知A(0,1),B(1,2),C在Γ:x2-y2=1(x≥1,y≥0)上,则△ABC的面积( ) A.有最大值,但没有最小值 B.没有最大值,但有最小值 C.既有最大值,也有最小值 D.既没有最大值,也没有最小值     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得kAB= =1,则直线AB的方程为y-1=x,即x-y+1=0, 设C(a,b),则a2-b2=1,则a= , 根据点到直线的距离公式,得点C到直线AB的距离为 = = , 设f(b)= -b= , 由于b≥0,故f(b)关于b单调递减,f(b)max=f(0),无最小值, 即△ABC中,AB边上的高有最大值,无最小值, 又边AB的长度为定值,所以△ABC的面积有最大值,无最小值,A正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2020上海,7]已知直线l1:x+ay=1,l2:ax+y=1,若l1∥l2,则l1与l2的距离为_________. 解析　因为l1∥l2,所以1-a2=0,解得a=±1. 当a=1时,l1与l2重合,不符合题意; 当a=-1时,l1:x-y-1=0,l2:x-y+1=0,l1∥l2, 则l1与l2的距离d= = . 第1讲　描述运动的基本概念 考点2　圆的方程的求解 4.[2022全国乙,14]过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点①的一个圆的方程为_______________________________________________________________________________________. ①心中有“数”　待定系数法,几何法求圆的方程; 对点突破    P358疑难8 考教衔接 　　本题以四个点的坐标为载体,考查圆的方程的求解,属于中档题.本题与教材P33练习第3(2)题类似, 都是已知圆经过特殊的几点求圆的方程;不同之处:①教材是已知圆上三点的坐标,高考题是已知四点 的坐标,从中选三个;②高考题的结论开放,只需写出一个圆的方程即可.考查了学生转化与化归、运算 求解的能力. (y-1)2=5或  +  =  或   +(y-1)2= (写出一个即可)         (x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+ 第1讲　描述运动的基本概念 关键点拨　本题求解圆的方程的突破口是选择哪三点,本着计算简单的原则,点(0,0),(4,0)必选,若用待 定系数法,余下两点可任选一点;若用几何法,选择点(-1,1)求解更简单. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一(待定系数法): 依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 若圆过(0,0),(4,0),(-1,1), 则 解得  此时圆的方程为x2+y2-4x-6y=0, 即(x-2)2+(y-3)2=13. 若圆过(0,0),(4,0),(4,2), 则 解得  第1讲　描述运动的基本概念 此时圆的方程为x2+y2-4x-2y=0, 即(x-2)2+(y-1)2=5. 若圆过(0,0),(4,2),(-1,1), 则  解得  此时圆的方程为x2+y2- x- y=0, 第1讲　描述运动的基本概念 即 + = . 若圆过(-1,1),(4,0),(4,2), 则  解得  此时圆的方程为x2+y2- x-2y- =0, 即 +(y-1)2= . 第1讲　描述运动的基本概念 解法二(性质法):若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1), 根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上, 设A(0,0),B(4,0),C(-1,1), 易得AB的中垂线方程为x=2, AC的中垂线方程为y=x+1. 联立 解得圆心坐标为(2,3). 此时圆的半径r= = . 所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13. 同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5, + = , +(y-1)2= . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2022全国甲文,14]设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为 __________________________________.     (x-1)2+(y+1) 2=5     解析    解法一:∵点M在直线2x+y-1=0上, ∴可设M(a,1-2a), ∵点(3,0)和(0,1)均在☉M上, ∴点M到两点的距离相等且为半径r, 即 = , 化简得a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2, 解得a=1,∴M(1,-1),r= , 故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 解法二(几何法):设A(3,0),B(0,1),☉M的半径为r,则kAB= =- ,AB的中点坐标为 , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴AB的垂直平分线的方程为y- =3 ,即3x-y-4=0. 联立 解得  ∴M(1,-1), 则r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5, ∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 解法三(待定系数法):设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 依题意得 解得  所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 第1讲　描述运动的基本概念 考点3　圆的切线与弦长 6.[2025全国一卷,7]已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y= x+2的距离为1的点有且仅有2个,则r的取值 范围是 ( ) A.(0,1)　　    B.(1,3)　　     C.(3,+∞)　　    D.(0,+∞)     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆x2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心E(0,-2),半径为r, 到直线y= x+2的距离为1的点有且仅有2个, 圆心E(0,-2)到直线y= x+2的距离d= =2,如图所示,   当r=1时,圆上有且仅有一个点(A点)到直线y= x+2的距离等于1; 当r=3时,圆上有且仅有三个点(B,C,D点)到直线y= x+2的距离等于1, 当r∈(1,3)时,圆上有且仅有两个点到直线y= x+2的距离等于1,故B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2024全国甲文,10]已知直线ax+by-a+2b=0①与圆C:x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值②为  ( ) A.2　　    B.3　　    C.4　　    D.6 ①关键点拨　直线方程含参,过定点;对点突破    P350疑难3 ②心中有“数”　垂直时弦长最小;对点突破    P365疑难11     C     解析     考教衔接 本题来源于教材P46复习题一C组第2题,都是直线过定点,已知圆的一般方程,求直线与圆相交的弦长问 题;不同之处:教材中所过定点的坐标现形,而高考真题中直线方程含双参,该直线所过定点的坐标隐形; 教材是探索性的解答题,知弦长判断直线是否存在,而高考真题是求弦长的最小值,明显高考真题的表 述直观简单.两题难度相当,都重视对转化与化归能力、运算求解能力的考查. 第1讲　描述运动的基本概念 关键点拨　直线方程含两个参数,通过变形得到所过的定点P,通过画出图形,结合圆的几何性质判断出 当弦与PC垂直时,弦长取最小值.解析　直线方程ax+by-a+2b=0可变形为a(x-1)+b(y+2)=0,所以直线过定 点P(1,-2), 将圆C的方程化为标准形式为x2+(y+2)2=5,即圆心C(0,-2),半径r= , 则|PC|=1, 故当PC⊥AB时,|AB|取得最小值,为2 =2× =4. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2021北京,9]已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N.当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m=  ( ) A.±1　　    B.± 　　    C.± 　　    D.±2     C     解析    解法一:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2, 则圆心到直线y=kx+m的距离d= , 则|MN|=2 , 当k=0时,|MN|取得最小值,为2 =2,解得m=± . 解法二(几何法):设直线l:y=kx+m,则l与y轴交于点A(0,m),设圆x2+y2=4为圆C,则圆心C(0,0), 当k变化时,要使l被圆C截得的弦长最小,则圆心C到l的距离d最大,易得dmax=|AC|,则|m|= = , 所以m=± . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2023新课标Ⅰ,6]过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=( ) A.1　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　设P(0,-2),圆x2+y2-4x-1=0, 即(x-2)2+y2=5,则圆心为(2,0),半径为 ,记M(2,0). 设过点P(0,-2)且与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条切线分别是PA,PB,A,B为切点,连接PM,AM,如图, 则∠APB=2∠APM,易知|AM|= ,|PM|=2 , 则sin∠APM= = , |AP|= = , 所以cos∠APM= = , 所以sin α=sin∠APB=2sin∠APM·cos∠APM= . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2023全国乙文,11]已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 ( ) A.1+ 　　    B.4　　     C.1+3 　　    D.7     C     解析　将x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9, 表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆, 令x-y=t(关键),则x-y-t=0, 由题可知直线x-y-t=0和圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点, 所以 ≤3,解得1-3 ≤t≤1+3 , 所以x-y的最大值为1+3 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2023全国乙理,12]已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC 的中点.若|PO|= ,则 · 的最大值为( ) A. + 　　    B. +  C.1+ 　　    D.2+      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:由D为BC的中点可知OD与PD垂直,即点D的轨迹是以OP为直径的圆周在☉O内部的部分. 取OP的中点M,则|DM|= = ,并且 = + , 由于|PA|= =1,有 · =  · = | || |·cos∠APO= | |2= , 同时 · ≤|PA|·|MD|= , 因此 · = ·( + )= · + · ≤ + ,当 与 同向平行时取到最大值,因此正确选 项为A. 解法二:第一步,设变量,表示向量的模及向量夹角. 连接OA,由题可知|OA|=1,OA⊥PA, 第1讲　描述运动的基本概念 因为|OP|= ,所以由勾股定理可得|PA|=1,则∠POA= . 设直线OP绕点P逆时针旋转角θ后与直线PD重合, 则- <θ< ,∠APD= +θ,且|PD|= cos θ. 第二步,用二倍角公式和辅助角公式求三角函数的最值. 所以 · =| |·| |cos  = cos θ·cos  = cos θ =cos2θ-sin θcos θ = + cos 2θ- sin 2θ = + cos ≤ + ,故 · 的最大值为 + . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025天津,12]已知直线x-y+6=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C,D两 点.若|AB|=3|CD|,则r=_________.     2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为直线x-y+6=0与x轴交于A(-6,0),与y轴交于B(0,6), 所以|AB|= =6 , 所以|CD|=2 , 圆(x+1)2+(y-3)2=r2的半径为r, 圆心(-1,3)到直线x-y+6=0的距离为d= = , 故|CD|=2 =2 =2 ,解得r=2.   第1讲　描述运动的基本概念 13.[2022新高考Ⅱ,15]设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点, 则a的取值范围是_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:由题易知kAB= , 所以直线AB关于直线y=a对称的直线方程为y-a=- x, 即(3-a)x-2y+2a=0, 由题意可得圆心(-3,-2)到该直线的距离小于或等于半径, 所以 ≤1,即6a2-11a+3≤0, 解得 ≤a≤ . 解法二:设圆(x+3)2+(y+2)2=1关于直线y=a的对称圆为圆C, 易知圆心C(-3,2a+2),半径r=1. 易知直线AB的方程为y= x+a, 第1讲　描述运动的基本概念 即(a-3)x-2y+2a=0. 根据题意可知直线AB与圆C有公共点, 则 ≤1, 整理得6a2-11a+3≤0,解得 ≤a≤ . 解后反思　本题两种解法是不同的思路,解法一是求直线AB关于直线y=a的对称直线m,直线m与已知圆 有公共点,再求范围.解法二是求已知圆关于直线y=a的对称圆圆C,圆C与已知直线有公共点,再求范围. 这两种思路是求对称问题的常见思路,要熟练掌握. 第1讲　描述运动的基本概念 强基计划 14.[2026北京清华大学强基计划]已知正方形ABCD,点P满足|PA|∶|PB|∶|PC|=1∶2∶k,则k的可能取值 为( ) A.1,2　　    B.2,3　　    C.3,4　　    D.1,3     B     解析　设点P(x,y),以A为原点建立平面直角坐标系,如图, 设正方形的边长为1, 则A(0,0),B(1,0),C(1,1), 因为|PA|∶|PB|∶|PC|=1∶2∶k, 所以|PB|2=4|PA|2,|PC|2=k2|PA|2, 由|PB|2=4|PA|2,得(x-1)2+y2=4(x2+y2), 整理得 +y2= , 第1讲　描述运动的基本概念 则点P在以O1 为圆心,r1= 为半径的圆O1上. 由|PC|2=k2|PA|2, 得(x-1)2+(y-1)2=k2(x2+y2), 当k=1时,y=-x+1,点P在直线y=-x+1上, 联立  得3x2-2x+1=0, Δ=4-12=-8<0,方程无解,所以k=1不符合题意. 当k≠1时,整理(x-1)2+(y-1)2=k2(x2+y2),得 + = , 第1讲　描述运动的基本概念 此时点P在以O2 为圆心, r2= 为半径的圆O2上, 故要使满足题意的点P存在,则圆O1与圆O2要有交点. 当k=2时,O2 ,r2= , 此时 <|O1O2|= < , 则圆O1与圆O2有交点,故k=2符合题意; 当k=3时,O2 ,r2= , 此时 <|O1O2|= < , 第1讲　描述运动的基本概念 则圆O1与圆O2有交点,故k=3符合题意; 当k=4时,O2 ,r2= , 此时|O1O2|= < ,则圆O1与圆O2内含,无交点,故k=4不符合题意. 综上,k的可能取值为2和3. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026江苏东南大学强基计划]已知直线 + =1和圆x2+y2=400的交点都是整点,则满足 + ≥  的直线有__________条.     32     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆x2+y2=400上的整数点有(±20,0),(±16,±12),(±12,±16),(0,±20), 用A(x1,y1),B(x2,y2)表示这些整数点中的不同的两点, 则直线AB与直线 + =1为同一条直线, 直线 + =1与x轴的交点为(n,0),与y轴的交点为(0,m), 故过点A,B的直线的斜率一定存在且不为0,该直线不过原点, 易知直线AB:y-y1= (x-x1), 令x=0,得y= , 令y=0,得x= , 则m= ,n= , 第1讲　描述运动的基本概念 故 + = . 所有情况列表如下: (20,0) (16, ±12) (-16, ±12) (12, ±16) (-12, ±16) (0, ±20) 6条     (符合)     (符合)   (符合) (-20,0) 由于对称性可知,同上共6条 (0,20), (0,-20) 由对称性可知,同上共(6-2)×2=8条 第1讲　描述运动的基本概念 (16,12) (12, 16) (12, -16) (-12, -16) (-12, 16) 3条     (符合)   (符合)   (符合) (16,-12), (-16,12), (-16,-12) 由对称性可知,同上共3×3=9条 综上可知,符合题意的直线共6+6+8+3+9=32条. 第1讲　描述运动的基本概念 三年模拟练 第1讲　描述运动的基本概念 应用实践 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026湖南长沙周南中学考试]设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=1上任意一点,若t= -a的最 小值为b,且a>1,b>2,则 + 的最小值为( ) A.8　　    B.4　　     C.3　　    D.2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆C的圆心C(2,0),半径r=1. 由t= -a, 得a+t=  = , 可理解为圆C上的点P(x,y)与点A(5,-4)间的距离,其最小值为|CA|-r= -1=4, 依题意得a+b=4,则(a-1)+(b-2)=1, 则 + = [(a-1)+(b-2)]=2+ + ≥4,当且仅当a= ,b= 时取等号.故 + 的 最小值为4. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2025江西抚州南城一中月考]下列选项正确的是 (__________) A.过点(-1,2)且和直线3x+2y+7=0平行的直线方程为3x+2y-1=0 B.若直线l的斜率k∈[-1,1],则直线l的倾斜角α∈  C.若直线l1:x-2y+3=0与l2:2x+ay-2=0平行,则l1与l2间的距离为  D.圆C1:x2+y2-4x-2y+4=0和圆C2:x2+y2-6y+5=0相交     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,设与直线3x+2y+7=0平行的直线方程为3x+2y+c=0(c≠7), 把(-1,2)代入,得-3+4+c=0,解得c=-1, 则所求直线方程为3x+2y-1=0,A正确; 对于B,若k∈[-1,1],则α∈ ∪ ,B错误; 对于C,若l1∥l2,则1×a=-2×2,解得a=-4, 则l2:2x-4y-2=0,即x-2y-1=0, 所以l1与l2间的距离d= = ,C错误; 对于D,圆C1的圆心C1(2,1),半径r1=1,圆C2的圆心C2(0,3),半径r2=2, 因为|C1C2|= =2 ,且1<2 <3,即|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,所以圆C1和圆C2相交,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河南检测]已知圆C的标准方程为(x-4)2+y2=16,设过圆心C且不与x轴重合的直线与圆C相交于A, B两点,O为坐标原点,连接OA,OB并延长,与直线x=8分别相交于点D,E,则 的最小值为 ( ) A.2　　    B.3　　     C.4　　    D.5     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析    思路分析 　　设直线OA的方程为y=kx(k≠0)→与圆的方程联立→求出点A的坐标(同理得B的坐标)→ =  · =k2+ +2→利用基本不等式求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知∠AOB= , 设直线OA的方程为y=kx(k≠0), 则直线OB的方程为y=- x(k≠0). 由 得(1+k2)x2-8x=0, 解得 或  则点A的坐标为 , 同理可得点B的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 由题可知D(8,8k),E .  = = · , 因为 = = =1+k2, 同理得 = , 所以 = = =k2+ +2≥2 +2=4,当且仅当k=±1时等号成立,故 的最小值为 4. 第1讲　描述运动的基本概念   第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026安徽蚌埠A层高中联考]下列命题正确的是 ( ) A.若点(2,1)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0外,则k>2或k<-4 B.已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1与直线y=kx,对于任意的θ∈R,总存在k∈R,使直线与圆相切 C.已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1与直线y=kx,对于任意的k∈R,总存在θ∈R,使直线与圆相切 D.已知点P(x,y)是直线2x+y+4=0上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=1的两条切线,A,B是切点,则四边形 PACB的面积的最小值为      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,若点(2,1)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0外, 则  即  解得- <k<-4或2<k< ,故A错误; 对于B,圆M的圆心M(-cos θ,sin θ), 所以圆心M到直线y=kx的距离d= = , 当sin θ=0时,cos θ=±1, 所以d= = <1, 第1讲　描述运动的基本概念 此时不存在k∈R,使直线与圆相切,故B错误; 对于C,令cos θ= ,sin θ= , 则d=1,即对于任意的k∈R,总存在θ∈R,使直线与圆相切,故C正确; 对于D,圆C的圆心C(0,1),半径r= , 圆心C(0,1)到直线2x+y+4=0的距离为 = , 则|PC|的最小值为 , 由|PA|= 得|PA|的最小值为 , S四边形PACB=2S△PAC=2× ×|PA|r= |PA|, 故四边形PACB的面积的最小值为 × = ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[创新题·新情境][2025山东A7联盟开学考试]对于平面上的动点P,若满足对于A(x1,y1),B(x2,y2),PA,PB 的长度的比值为t(t不为0),则称P点运动所得的轨迹为“完美曲线”.若A(-2,0),B(4,0),t=2,则下列曲线和 “完美曲线”有交点的个数为 ( ) (1)y=3ln 3; (2)y2=3x; (3)8y-x+6=0; (4)(x-2)2+(y- )2=2. A.2　　    B.3　　     C.4　　    D.1     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设P(x,y),由题意可得 =2, 即 =4,化简得x2+y2-12x+20=0, 即(x-6)2+y2=16, 故“完美曲线”是圆心为(6,0),半径r=4的圆. 对于(1),y=3ln 3∈[-4,4],故函数y=3ln 3的图象与“完美曲线”有交点; 对于(2),联立 消去y并整理,得x2-9x+20=0, 解得x1=4,x2=5,故有交点; 对于(3),圆心(6,0)在直线8y-x+6=0上, 故直线与圆相交,有交点; 第1讲　描述运动的基本概念 对于(4),(x-2)2+(y- )2=2表示圆心为(2, ),半径R= 的圆, 则两圆的圆心距为 = ∈[4- ,4+ ],故两圆相交,有交点. 综上所述,四条曲线和“完美曲线”均有交点. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏南京外国语学校月考]我们把平面内到定点B的距离不大于定点A到B的距离的 (n∈N+,n ≥2)的动点的集合称为A关于B的n阶亲密点域,记为动点符合Zn(A,B).已知P(-2,5),Q(1,1),动点M(x,y)符 合Z5(P,Q),则|x-y+2|的最大值是( ) A.2+ 　　    B.2-  C. +1　　    D. -1     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为动点M(x,y)符合Z5(P,Q), 所以动点M到定点Q的距离不大于定点P到定点Q的距离的 , 即|MQ|≤ |PQ|, 即 ≤  =1, 则0≤(x-1)2+(y-1)2≤1, 所以点M的轨迹是以Q(1,1)为圆心,1为半径的圆及其内部. 令x-y+2=z,即x-y+2-z=0,令直线l的方程为x-y+2-z=0, 要求|x-y+2|的最大值,即求当直线l与圆Q相交或相切时|z|的最大值, 易求得点Q到直线l的距离为d= = , 第1讲　描述运动的基本概念 平移直线l与圆Q相切时,点Q到直线l的距离等于圆Q的半径r=1, 即d=1,即 =1, 解得z=2- 或z=2+ , 当直线l与圆Q相交时,0≤d<1, 即0≤ <1,即0≤|2-z|< , 解得2- <z<2+ , 故2- ≤z≤2+ , 即2- ≤|z|≤2+ , 所以|z|max=2+ , 即|x-y+2|max=2+ . 第1讲　描述运动的基本概念   第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026广东广州期中]已知P为圆C1:(x-5)2+y2=4位于第一象限的一点,过点P作圆C2:x2+y2-2ax+a2-a+2=0 (2<a<5)的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,直线PM,PN分别交x轴于点A(1,0),B(4,0),则 =_________,|MN| =_________.               2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　将圆C2的方程化成标准方程,为(x-a)2+y2=a-2,其圆心为C2(a,0). 设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则 + =4, 所以 = = =2. 由题意知PC2平分∠APB, 所以 = =2, 即|AC2|=2|BC2|,又2<a<5, 故a-1=2|4-a|,所以a=3, 则C2:(x-3)2+y2=1, 所以点N与点B(4,0)重合, (点B在圆C2上,又在切线PN上,因此点B是切点,与点N重合) 第1讲　描述运动的基本概念 此时|C2M|=1,|AC2|=2|BC2|=2|MC2|, 则∠MAC2=30°,可得M , 所以|MN|= = . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025湖北四地七校期中联考]已知圆C:x2+y2-4x-2my+4=0,直线C1:y=x+2,折线C2:y=|x-2|+2,若C与C1恰 有一个公共点,则实数m=__________;若C与C2恰有两个公共点,则实数m的取值范围是______________.     (1,+∞)     　-4±4      第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆C的方程可化为(x-2)2+(y-m)2=m2,则圆心C(2,m),半径为|m|,故m≠0, 若C与C1:x-y+2=0恰有一个公共点, 则 =|m|,解得m=-4±4 . 因为C与C2均关于直线x=2对称,注意到C2与直线x=2的交点为(2,2),所以C与C2恰有两个公共点等价于C 与C2在x∈(2,+∞)内只有1个公共点,且C不过点(2,2),此时C2:y=x,且22+22-4×2-4m+4≠0,故m≠1. 由 消去y并整理,得x2-(2+m)x+2=0, 即关于x的方程x2-(2+m)x+2=0在(2,+∞)内仅有一解, 则 或  第1讲　描述运动的基本概念 或  解得m>1, 所以实数m的取值范围是(1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 翻页 考场速解　由C不过点(2,2)知点(2,2)在圆C内,则22+22-8-4m+4<0,解得m>1,所以实数m的取值范围是(1,+ ∞). 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025江西抚州临川第二中学月考] (1)若直线l1的一个方向向量为a=(1,2),且l1在y轴上的截距为-2,求直线l1的方程; (2)已知直线l2:m(x-1)+y-2m+1=0恒过定点P,直线l3:x-my+2m+1=0恒过定点Q,且l2和l3交于点M. ①求出定点P,Q的坐标; ②求△MPQ的面积的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得直线l1的斜率为2,与y轴的交点为(0,-2), 由点斜式可得直线l1:y+2=2x, 即2x-y-2=0. (2)①方程m(x-1)+y-2m+1=0可化为m(x-3)+y+1=0,∴P(3,-1), 方程x-my+2m+1=0可化为x+1+m(2-y)=0,∴Q(-1,2). ②由m(x-3)+y+1=0,得m= , 由x+1+m(2-y)=0,得m= , 则 = ,化简得x2+y2-2x-y-5=0,即(x-1)2+ = , ∴点M在圆心为 ,半径r= 的圆上, 第1讲　描述运动的基本概念 易得直线PQ: = ,即3x+4y-5=0,则圆心 到直线PQ的距离d= =0, ∴圆上的点到线段PQ的距离的最大值为r= ,此时S△MPQ= |PQ|r= × × = , 则△MPQ的面积的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 迁移创新 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025广东名校联盟期中]定义:P是圆C外一点,若过点P所作的圆C的两条切线PM,PN(M,N为切点)相 互垂直,记圆D经过点P,M,N,C,则称P为圆C的“伴随点”,圆D为“C-P伴随圆”.已知O为坐标原点, 圆O:x2+y2=26,P为圆O的“伴随点”,圆G为“O-P伴随圆”(M,N为相关切点). (1)求点P所在曲线的方程; (2)已知点P的横坐标为6,且位于第一象限. (i)求圆G的方程; (ii)直线MN与x轴、y轴分别交于点E,F,过点T(0,5)且斜率为k的直线l与圆G有两个不同的交点A,B,若 ·  = ,求l的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为P为圆O的“伴随点”,所以四边形PMON为正方形, 则|PO|= × =2 , 所以点P的轨迹是以O为圆心,2 为半径的圆, 故点P所在曲线的方程为x2+y2=52. (2)易得P(6,4). (i)因为四边形PMON为正方形, 所以圆心G(3,2),半径为 = , 故圆G的方程为(x-3)2+(y-2)2=13. (ii)因为直线MN为圆G与圆O的公共弦所在直线,所以直线MN的方程为3x+2y-13=0. 令y=0,得x= ,令x=0,得y= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以E ,F , 则 = × =30. 易知直线l的方程为y=kx+5,代入(x-3)2+(y-2)2=13, 整理得(1+k2)x2-6(1-k)x+5=0, 则Δ=36(1-k)2-20(1+k2)>0, 解得k< 或k> . 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2= ,x1x2= , 所以 · =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+5)·(kx2+5)=(1+k2)x1x2+5k(x1+x2)+25= +30. 第1讲　描述运动的基本概念 由题意可得 +30=30, 解得k=1(舍去)或k=0. 故l的方程为y=5. 第1讲　描述运动的基本概念 $