第2章 再练一课(范围：§1)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦椭圆的标准方程、离心率及焦点性质，通过“再练一课”承接函数曲线知识，以典型例题为支架，构建从基础定义到综合应用的学习脉络。 其亮点在于通过分层题型（单选、多选、解答）与详细解析，如用余弦定理推导离心率范围，培养学生数学思维与推理能力。教师可直接利用答案与解析提升教学效率，学生能通过实例深化对椭圆性质的理解，发展数学语言表达与问题解决能力。

第二章　圆锥曲线 <<< 再练一课(范围：§1) 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D B C C BC ACD 题号 9 10 11 12 答案 ABD +＝1 4，3 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)设椭圆的标准方程为 +＝1(a>0，b>0)， 因为椭圆经过点P，Q(0，－2)， 所以 所以椭圆的标准方程为+＝1. 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)依题意得 由b2＝a2－c2＝64，得b＝8， 所以椭圆的标准方程为+＝1或+＝1. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)由题意得椭圆C的焦点在x轴上，设椭圆C的方程为+＝1(a>b> 0)，因为直线l：2x+5y－10＝0过点(5，0)和(0，2， 可得b＝2且c＝5， 则a＝＝7， 所以所求椭圆的方程为+＝1. (2)点P在椭圆C上， 根据椭圆的定义， 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 可得|PF1|+|PF2|＝2a＝14， 因为|PF1|－|PF2|＝2，可得|PF1|＝8，|PF2|＝6， 又因为c＝5，可得|F1F2|＝2c＝10， 则|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2， 即△PF1F2是直角三角形， 所以△PF1F2外接圆的圆心为O(0，0)，半径r＝c＝5， 所以△PF1F2外接圆的方程为x2+y2＝25. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)设椭圆方程为+＝1(a>b>0)， |PF1|＝m，|PF2|＝n， 则m+n＝2a. 在△PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2＝m2+n2－2mncos 60° ＝(m+n)2－3mn ＝4a2－3mn≥4a2－3· 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号). 所以≥，即e≥. 又0<e<1， 所以e的取值范围是. (2)由(1)知mn＝b2， 所以mnsin 60°＝b2， 即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 一、单项选择题 1.若点A(a，1)在椭圆＝1的内部，则a的取值范围是 A.－<a< B.a<－或a> C.－2<a<2 D.－1<a<1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知<1， 解得－<a<. 解析 2.设椭圆的标准方程为＝1，其焦点在x轴上，则k的取值范围是 A.(3，4) B.(3，＋∞) C.(3，5) D.(4，5) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意，得解得4<k<5. 解析 3.已知椭圆＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为 A.(－2，0) B.(－3，0) C.(－4，0) D.(－5，0) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为圆x2＋y2－6x＋8＝0化为标准形式可得(x－3)2＋y2＝1，故其圆心为 (3，0)，所以椭圆＝1(a>b>0)的一个焦点为F(3，0)， 得c＝3. 又因为短轴长为2b＝8，得b＝4， 所以a＝＝5， 可得椭圆的左顶点为(－5，0). 解析 4.P是椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为 A.30° B.60° C.120° D.150° √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵|PF1|＋|PF2|＝8， cos∠F1PF2＝ ＝ ＝. 又∵∠F1PF2∈[0，π)， ∴∠F1PF2＝60°. 解析 5.已知椭圆G的中心为坐标原点O，F，B分别为椭圆G的右焦点和短轴端点，点O到直线BF的距离为，若过点F且垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G的方程是 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设椭圆方程为＝1(a>b>0)， 由已知可得＝2， 结合a2＝b2＋c2，解得a＝4，b＝2. 解析 6.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A.(0，1) B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设M(x，y)，∵·＝0， ∴点M的轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为圆的直径. ∵点M总在椭圆内部，∴b>c， ∴c2<b2＝a2－c2， ∴a2>2c2，∴<. 又0<e<1，∴0<e<. 解析 二、多项选择题 7.若椭圆＝1的离心率为，则k的值可能为 A.－21 B.21 C.－ D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝9， b2＝4＋k，得c2＝5－k. 由，得k＝－； 当焦点在y轴上时，a2＝4＋k，b2＝9， 得c2＝k－5. 由，得k＝21. 解析 8.椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是 A.若a＝b，则满足∠F1PF2＝90°的点P有两个 B.若a<b，则满足∠F1PF2＝90°的点P有四个 C.△PF1F2的面积的最大值为 D.△PF1F2的周长小于4a 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 记椭圆C的上、下顶点分别为B1，B2，易知∠F1PF2≤∠F1B1F2＝∠F1B2F2. 选项A中，∠F1B1F2＝∠F1B2F2＝90°，故正确； 选项B中，∠F1B1F2＝∠F1B2F2<90°，不存在90°的∠F1PF2，故错误； 选项C中，≤·2c·b＝bc≤，当且仅当b＝c时取等号， 故正确； 选项D中，△PF1F2的周长＝2c＋2a<4a，故正确. 解析 9.椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，则以下说法正确的是 A.过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8 B.椭圆C上存在点P，使得·＝0 C.椭圆C的离心率为 D.P为椭圆C上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，则点P，Q的最大距离为3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 对于选项A，由椭圆定义， 可得|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a＝4， 因此△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8，故A正确； 对于选项B，设P(m，n)，则＋n2＝1，且－2≤m≤2. 又F1(－，0)，F2(，0)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以＝(－－m，－n)，＝(－m，－n)，因此·＝(－ －m)(－m)＋n2＝m2＋1－－3＝－2＝0， 解得m＝±∈[－2，2]，故B正确； 对于选项C，因为a2＝4，b2＝1， 所以c2＝4－1＝3，即c＝， 所以离心率e＝，故C错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于选项D，设P(x1，y1)， 则点P到圆x2＋y2＝1的圆心的距离为|PO|＝. 因为－1≤y1≤1， 所以|PQ|max＝|PO|max＋1＝＋1＝3， 故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的 椭圆的离心率为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图，|AB|＝2c＝4， ∵点C在椭圆上， ∴|CB|＋|CA|＝2a＝3＋5＝8， ∴e＝. 解析 11.设圆(x＋1)2＋y2＝36的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程 为　　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ＝1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为点M为线段AQ的垂直平分线上的一点， 所以|MA|＝|MQ|， 所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝6>2＝|AC|， 所以点M的轨迹为椭圆，且a＝3，c＝1，b2＝a2－c2＝8， 所以点M的轨迹方程为＝1. 解析 12.设F1，F2分别是椭圆＝1的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，则·的最大值和最小值分别为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4，3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知a＝，b＝2，c＝1， ∴F1(－1，0)，F2(1，0)， 设点P(x，y)， 则·＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)＝x2＋y2－1＝x2＋4－x2－1＝x2＋3， ∵x∈[－]， ∴当x＝±时，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值且最大值为4； 当x＝0时，即点P为椭圆短轴端点时，·有最小值且最小值为3. 解析 四、解答题 13.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过P(－3，0)，Q(0，－2)两点； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设椭圆的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 因为椭圆经过点P，Q(0，－2)， 所以 所以椭圆的标准方程为＝1. 解 (2)长轴长等于20，离心率等于. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 依题意得 由b2＝a2－c2＝64，得b＝8， 所以椭圆的标准方程为＝1或＝1. 解 14.已知直线l：2x＋5y－10＝0过椭圆C的右焦点和上顶点. (1)求椭圆C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意得椭圆C的焦点在x轴上，设椭圆C的方程为＝1(a>b>0)， 因为直线l：2x＋5y－10＝0过点(5，0)和(0，2)， 可得b＝2且c＝5， 则a＝＝7， 所以所求椭圆的方程为＝1. 解 (2)若点P在椭圆C上，且|PF1|－|PF2|＝2，求△PF1F2的外接圆的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 点P在椭圆C上， 根据椭圆的定义， 可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝14， 因为|PF1|－|PF2|＝2， 可得|PF1|＝8，|PF2|＝6， 又因为c＝5，可得|F1F2|＝2c＝10， 则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即△PF1F2是直角三角形， 所以△PF1F2外接圆的圆心为O(0，0)， 半径r＝c＝5， 所以△PF1F2外接圆的方程为x2＋y2＝25. 解 15.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设椭圆方程为＝1(a>b>0)， |PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a. 在△PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn ＝4a2－3mn≥4a2－3· ＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号). 所以≥，即e≥. 又0<e<1，所以e的取值范围是. 解 (2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)知mn＝b2， 所以mnsin 60°＝b2， 即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 证明 第二章　圆锥曲线 <<< $