第1章 04-思想方法练1（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦“直线与圆”核心内容，涵盖函数与方程、分类讨论等思想方法，通过点在圆上运动求最值等例题导入，从直线与圆的基础方程到综合应用思想方法，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点是思想方法系统整合，结合高考题、模拟题分层训练，通过几何意义转化培养数学眼光、思维与语言。例如数形结合中将绝对值表达式转化为点到直线距离，提升学生推理能力与模型观念，助力教师高效教学与学生思维发展。

第一章 直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法练1 专题专项练 第1讲　描述运动的基本概念 一、函数与方程思想在直线与圆中的应用 1.[2025江西南昌进贤第一中学联考]已知点A,B,C在圆x2+y2=4上运动,且BC的中点为D(1,0),若点P的坐 标为(5,0),则| + + |的最大值为 ( ) A.11　　    B.13　　    C.15　　    D.17     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由点在圆上设出点A的坐标(用三角函数表示),结合三角函数的性质求解. 因为点A在圆x2+y2=4上,所以可设A(2cos θ,2sin θ),θ∈[0,2π),  =(-4,0), =(2cos θ-5,2sin θ), 又 + =2 =(-8,0), 所以 + + =(2cos θ-13,2sin θ), 所以| + + | = = , 所以当cos θ=-1,即θ=π时,| + + |取得最大值,为 =15. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西宜春中学月考]已知直线l:(a-1)y=(2a-3)x+1. (1)求直线l所过的定点; (2)若直线l不经过第四象限,求实数a的取值范围; (3)当直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最小时,求l的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)将(a-1)y=(2a-3)x+1化成a(2x-y)-3x+y+1=0, 由 (列出方程组求定点坐标) 解得 所以直线l过定点(1,2). (2)因为直线l不经过第四象限,且过定点(1,2),所以直线l的斜率存在,所以a≠1, 直线l的方程可化为y= x+ ,记点A(1,2),则kOA=2,   由图可得0≤ ≤2,解得a≥ , 第1讲　描述运动的基本概念 因此实数a的取值范围是 . (3)已知直线l:(a-1)y=(2a-3)x+1, 由题意知a≠1,a≠ , 令x=0,得y= ,由 >0,解得a>1, 令y=0,得x= ,由 >0,解得a< , 所以1<a< . 设直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为S, 则S= × × =  第1讲　描述运动的基本概念 = ,1<a< . 将面积S用含a的二次函数表示,用二次函数的性质求解. 当a= 时,S取得最小值, 此时直线l的方程为 y= x+1,即2x+y-4=0. 思想方法　在本章中,方程思想主要体现在求两条直线的交点坐标、直线过定点、利用待定系数法求直 线或圆的方程、相关公式的运用等方面;函数思想主要体现在求最值(范围)问题中(如借助圆的方程实现 坐标代换或三角换元),把所求问题转化为相关函数(二次函数、三角函数等)问题,利用函数性质求解. 第1讲　描述运动的基本概念 二、分类讨论思想在直线与圆中的应用 3.[2026湖北武汉第六中学月考]设直线l的方程为x-ycos θ+2=0,则l的倾斜角α的取值范围是 ( ) A.[0,π]　　    B.  C. 　　    D. ∪      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当cos θ=0时,l:x+2=0,此时直线l的倾斜角α= . 当cos θ≠0时,直线l的斜率为tan α= , 因为cos θ∈[-1,0)∪(0,1], 所以 ∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 又因为α∈[0,π), 所以结合正切函数的图象可得α∈ ∪ . 综上,直线l的倾斜角α的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江西上饶广丰中学月考]已知点P(3,4)到直线l的距离为5,且直线l在两坐标轴上的截距相等,则 满足条件的直线共有 ( ) A.1条　　    B.2条　　    C.3条　　    D.4条     C     解析　①当直线l经过原点时,设直线l:y=kx(k≠0), 则点P(3,4)到直线l的距离为 =5,化简得(4k+3)2=0, 解得k=- (二重根); ②当直线l不经过原点时, 设直线l: + =1,即x+y-a=0, 则点P(3,4)到直线l的距离为 =5,解得a=7±5 . 综上所述,符合条件的直线有3条. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026湖南岳阳一中模拟]已知圆C1:(x+3)2+y2=a2(a>7)和圆C2:(x-3)2+y2=1,动圆M与圆C1,圆C2均相切,P 是△MC1C2的内心,且 + =3 ,则a= ( ) A.9或11　    B.11　    C.17或19　    D.19     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆C1的圆心C1(-3,0),半径R1=a,圆C2的圆心C2(3,0),半径R2=1, 因为a>7,所以圆心距|C1C2|=6<R1-R2=a-1,所以圆C2内含于圆C1. 设△MC1C2内切圆的半径为r0,因为P为△MC1C2的内心,且 + =3 , 所以 |C1M|r0+ |C2M|r0=3× ·|C1C2|r0,得|C1M|+|C2M|=3|C1C2|. 设圆M的半径为r, 题目中没有说明动圆M与圆C1,圆C2相切的类型,所以需要分情况讨论. 当动圆M内切于圆C1,且与圆C2外切(r<a)时,有|C1M|=R1-r=a-r,|C2M|=R2+r=1+r, 所以|C1M|+|C2M|=a+1,所以3|C1C2|=18=a+1,得a=17; 当动圆M内切于圆C1,圆C2内切于动圆M时,有|C1M|=R1-r=a-r,|C2M|=r-R2=r-1, 所以|C1M|+|C2M|=a-1,所以3|C1C2|=18=a-1,得a=19. 综上可得,a=17或a=19. 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　在直线与圆的相关问题中,有时需要设出直线斜率,此时要考虑斜率是否一定存在;遇到直 线与圆、圆与圆的位置关系等问题时,通常要结合图形,不同的位置关系对应不同的代数关系,即点(圆 心)到直线的距离、两圆心间的距离和半径之间的大小关系等,这都是分类讨论思想在本章中的体现. 第1讲　描述运动的基本概念 三、数形结合思想在直线与圆中的应用 6.[2026河北衡水第二中学调研考试]已知P(x,y)是圆C:(x-1)2+(y-2)2= 上任意一点,则|x-2y|+|x-2y+7|的 值是( ) A. 　　    B. 　　    C.7　　    D.7      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　|x-2y|+|x-2y+7| =  , 设d1,d2分别表示点P(x,y)到直线x-2y=0和x-2y+7=0的距离,则|x-2y|+|x-2y+7|= (d1+d2). 将代数式|x-2y|+|x-2y+7|通过其几何意义转化为点P(x,y)到直线x-2y=0和x-2y+7=0的距离的和的 倍,画 出图形,直观求解. 易知两条直线平行,且均与圆C相离,如图,可知d1+d2= = , 所以|x-2y|+|x-2y+7|= (d1+d2)=7.   第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025福建福州外国语学校质检]在等腰Rt△ABC中,|AB|=|AC|=4,P为AB上异于A,B的一点,光线从P出 发,经BC,CA边反射后又回到点P.设光线与BC,CA边的交点分别为Q,R,若光线QR经过△ABC的重心,则| AP|等于( ) A.2　　    B.1　　    C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以A为原点,AB所在的直线为x轴,AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示. 构建平面直角坐标系,借助几何图形解决问题.则A(0,0),B(4,0),C(0,4). 设△ABC的重心为D,则D . 设P点坐标为(m,0),m>0,P点关于y轴的对称点为P1,则P1(-m,0), 易得直线BC的方程为x+y-4=0,设P点关于直线BC的对称点为P2, 则P2(4,4-m), 根据光线反射原理,可知P1,P2均在QR所在的直线上,所以 = , 即 = ,解得m= 或m=0.当m=0时,P点与A点重合,故舍去. 故|AP|=m= . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025安徽A10联盟期中]已知实数x,y满足y= +1,则 的取值范围为_________. 解析　因为y= +1,所以x2+(y-1)2=4(y≥1),其表示圆x2+(y-1)2=4在直线y=1上及上方的部分, 设该曲线上一动点P(x,y), 则 表示点P与点A(-4,-1)连线的斜率.如图, 数形结合,找出临界位置. 当直线AP和半圆相切时,直线AP的斜率取得最大值, 设此时直线AP的方程为y+1=k(x+4)(k≠0),即kx-y+4k-1=0, 则 =2,解得k= 或k=0(舍去), 则直线AP的斜率的最大值为 ; 当点P为(2,1)时,直线AP的斜率取得最小值,为 = .综上, 的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 思想方法　数形结合思想在本章中的应用主要体现在两个方面:一方面是在遇到求代数式的取值范围 时,通常赋予其几何意义,通过斜率公式、距离公式等把代数式的取值转化为点与点连线的斜率或点到 点(直线)的距离,再结合相关知识解决问题;另一方面是建系,结合图形特点建立平面直角坐标系,把几 何图形代数化,通过坐标运算,结合对称等知识解决问题. 第1讲　描述运动的基本概念 四、转化与化归思想在直线与圆中的应用 9.[2026江西上饶玉山第一中学月考]已知x,y∈R,则(x-y)2+ 的最小值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.2 -      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析    (x-y)2+ 可看成点(x,x+1)到点 的距离的平方, 点(x,x+1)在直线y=x+1上,点 在函数y=- 的图象上, 将问题转化为求y=- 的图象上的点到直线y=x+1的距离的平方的最小值,即将代数式的最值问题,通过 其几何意义转化为图象上的点到直线的距离的平方的最值. 设y=-  的图象上一动点P ,x<0, 所以点P到直线y=x+1的距离为 , 因为-x- ≥2 =2, 第1讲　描述运动的基本概念 当且仅当-x=- ,即x=-1时取等号, 所以x+ +1≤-1, 故 ≥ , 所以(x-y)2+ 的最小值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025江西南昌师大附中期中]若实数x,y满足(x-2)2+y2=1,则下列结论错误的是( ) A.2x+y≤4+ 　　    B.(x-2)y≤  C.- ≤ ≤ 　　    D.2x-y≤5     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析    (x-2)2+y2=1表示以(2,0)为圆心,1为半径的圆. 对于A,设2x+y=t,则直线2x+y-t=0与圆(x-2)2+y2=1有公共点, 所以 ≤1,解得4- ≤t≤4+ , 所以2x+y≤4+ ,故A中结论正确; 将求2x+y的取值范围转化为求直线2x+y=t与圆有公共点时t的取值范围. 对于B,由(x-2)2+y2≥2(x-2)y知(x-2)y≤ ,当且仅当x=2+ ,y= 或x=2- ,y=- 时取“=”,故B中结论 正确; 对于C, 表示圆(x-2)2+y2=1上一点(x,y)与坐标原点连线的斜率,如图, 第1讲　描述运动的基本概念   由图知圆上的点与坐标原点连线的倾斜角的范围是 ∪ , 故- ≤ ≤ ,故C中结论正确; 赋予 几何意义,转化为圆上的点(x,y)与坐标原点连线的斜率问题. 对于D,x=3,y=0,满足(x-2)2+y2=1,但2x-y=6>5,故D中结论错误. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江西赣州中学阶段检测]已知☉O1:x2+(y-2)2=1,☉O2:(x-3)2+(y-6)2=9,过x轴上一点P分别作圆O1, O2的切线,切点分别是M,N,当|PM|+|PN|取得最小值时,点P的坐标为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆O1的圆心O1(0,2),半径r1=1, 圆O2的圆心O2(3,6),半径r2=3, 设P(t,0),则|PM|= = , |PN|= = , 所以|PM|+|PN|= +  =  + , 取A(0,- ),B(3,3 ), 则|PM|+|PN|=|PA|+|PB|≥|AB|= = , 当且仅当P,A,B三点共线时取等号, 对代数式变式,将问题转化为点P到两定点A(0,- ),B(3,3 )的距离的和的最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 此时直线AB的方程为y+ = (x-0), 令y=0,得x= , 所以当|PM|+|PN|取得最小值时,点P的坐标为 .   思想方法　本章中转化与化归思想的应用主要体现在将一般点或一般图形问题转化为特殊点或特殊 图形问题,将具有特殊结构的代数式、函数、方程等,通过其几何意义转化为与圆的方程、距离公式、 斜率公式等有关的问题进行解决. 第1讲　描述运动的基本概念 五年高考练 第1讲　描述运动的基本概念 考点1　直线的方程及其应用 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2020全国Ⅲ文,8]点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 ( ) A.1　　    B. 　　    C. 　　    D.2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:易得点(0,-1)到直线y=k(x+1),即kx-y+k=0的距离d= = , 因为k2+1≥2k,所以2(k2+1)≥k2+2k+1=|k+1|2,当且仅当k=1时取等号, 即|k+1|≤ · , 所以d= ≤ , 故点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 . 解法二:由题意知,直线y=k(x+1)过点P(-1,0)且斜率存在,设Q(0,-1). 易知当直线PQ与直线y=k(x+1)垂直时,点Q到直线y=k(x+1)的距离最大,此时k=1,距离的最大值为|PQ|=  . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025上海,15]已知A(0,1),B(1,2),C在Γ:x2-y2=1(x≥1,y≥0)上,则△ABC的面积( ) A.有最大值,但没有最小值 B.没有最大值,但有最小值 C.既有最大值,也有最小值 D.既没有最大值,也没有最小值     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得kAB= =1,则直线AB的方程为y-1=x,即x-y+1=0, 设C(a,b),则a2-b2=1,则a= , 根据点到直线的距离公式,得点C到直线AB的距离为 = = , 设f(b)= -b= , 由于b≥0,故f(b)关于b单调递减,f(b)max=f(0),无最小值, 即△ABC中,AB边上的高有最大值,无最小值, 又边AB的长度为定值,所以△ABC的面积有最大值,无最小值,A正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2020上海,7]已知直线l1:x+ay=1,l2:ax+y=1,若l1∥l2,则l1与l2的距离为_________.           第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为l1∥l2,所以1-a2=0,解得a=±1. 当a=1时,l1与l2重合,不符合题意; 当a=-1时,l1:x-y-1=0,l2:x-y+1=0,l1∥l2, 则l1与l2的距离d= = . 第1讲　描述运动的基本概念 考点2　圆的方程的求解 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2022全国乙,14]过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点①的一个圆的方程为____________________________ _____________________________________. ①心中有“数”　待定系数法,几何法求圆的方程; 对点突破    P358疑难8 考教衔接 　　本题以四个点的坐标为载体,考查圆的方程的求解,属于中档题.本题与教材P33练习第3(2)题类似, 都是已知圆经过特殊的几点求圆的方程;不同之处:①教材是已知圆上三点的坐标,高考题是已知四点 的坐标,从中选三个;②高考题的结论开放,只需写出一个圆的方程即可.考查了学生转化与化归、运算 求解的能力. (y-1)2=5或 + = 或 +(y-1)2= (写出一个即可)         (x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+ 第1讲　描述运动的基本概念 关键点拨　本题求解圆的方程的突破口是选择哪三点,本着计算简单的原则,点(0,0),(4,0)必选,若用待 定系数法,余下两点可任选一点;若用几何法,选择点(-1,1)求解更简单. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一(待定系数法): 依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 若圆过(0,0),(4,0),(-1,1), 则 解得  此时圆的方程为x2+y2-4x-6y=0, 即(x-2)2+(y-3)2=13. 若圆过(0,0),(4,0),(4,2), 则 解得  第1讲　描述运动的基本概念 此时圆的方程为x2+y2-4x-2y=0, 即(x-2)2+(y-1)2=5. 若圆过(0,0),(4,2),(-1,1), 则  解得  此时圆的方程为x2+y2- x- y=0, 第1讲　描述运动的基本概念 即 + = . 若圆过(-1,1),(4,0),(4,2), 则  解得  此时圆的方程为x2+y2- x-2y- =0, 即 +(y-1)2= . 第1讲　描述运动的基本概念 解法二(性质法):若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1), 根据圆的几何性质知圆心在弦的中垂线上, 设A(0,0),B(4,0),C(-1,1), 易得AB的中垂线方程为x=2, AC的中垂线方程为y=x+1. 联立 解得圆心坐标为(2,3). 此时圆的半径r= = . 所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13. 同理,其他三种情况下圆的方程分别为(x-2)2+(y-1)2=5, + = , +(y-1)2= . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2022全国甲文,14]设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为________________ _______. 2=5         (x-1)2+(y+1) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:∵点M在直线2x+y-1=0上, ∴可设M(a,1-2a), ∵点(3,0)和(0,1)均在☉M上, ∴点M到两点的距离相等且为半径r, 即 = , 化简得a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2, 解得a=1,∴M(1,-1),r= , 故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 解法二(几何法):设A(3,0),B(0,1),☉M的半径为r,则kAB= =- , AB的中点坐标为 , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴AB的垂直平分线的方程为y- =3 ,即3x-y-4=0. 联立 解得  ∴M(1,-1), 则r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5, ∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 解法三(待定系数法):设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 依题意得 解得  所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 第1讲　描述运动的基本概念 考点3　圆的切线与弦长 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025全国一卷,7]已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y= x+2的距离为1的点有且仅有2个,则r的取值 范围是 ( ) A.(0,1)　　    B.(1,3)　　     C.(3,+∞)　　    D.(0,+∞)     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆x2+(y+2)2=r2(r>0)的圆心E(0,-2),半径为r, 到直线y= x+2的距离为1的点有且仅有2个, 圆心E(0,-2)到直线y= x+2的距离d= =2,如图所示,   当r=1时,圆上有且仅有一个点(A点)到直线y= x+2的距离等于1; 当r=3时,圆上有且仅有三个点(B,C,D点)到直线y= x+2的距离等于1, 当r∈(1,3)时,圆上有且仅有两个点到直线y= x+2的距离等于1,故B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2024全国甲文,10]已知直线ax+by-a+2b=0①与圆C:x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值②为  ( ) A.2　　    B.3　　    C.4　　    D.6 ①关键点拨　直线方程含参,过定点;对点突破    P350疑难3 ②心中有“数”　垂直时弦长最小;对点突破    P365疑难11     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析     考教衔接 本题来源于教材P46复习题一C组第2题,都是直线过定点,已知圆的一般方程,求直线与圆相交的弦长问 题;不同之处:教材中所过定点的坐标现形,而高考真题中直线方程含双参,该直线所过定点的坐标隐形; 教材是探索性的解答题,知弦长判断直线是否存在,而高考真题是求弦长的最小值,明显高考真题的表 述直观简单.两题难度相当,都重视对转化与化归能力、运算求解能力的考查. 第1讲　描述运动的基本概念 翻页 关键点拨　直线方程含两个参数,通过变形得到所过的定点P,通过画出图形,结合圆的几何性质判断出 当弦与PC垂直时,弦长取最小值.解析　直线方程ax+by-a+2b=0可变形为a(x-1)+b(y+2)=0,所以直线过定 点P(1,-2), 将圆C的方程化为标准形式为x2+(y+2)2=5,即圆心C(0,-2),半径r= , 则|PC|=1, 故当PC⊥AB时,|AB|取得最小值,为2 =2× =4. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2021北京,9]已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N.当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m=  ( ) A.±1　　    B.± 　　     C.± 　　    D.±2     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2, 则圆心到直线y=kx+m的距离d= , 则|MN|=2 , 当k=0时,|MN|取得最小值,为2 =2,解得m=± . 解法二(几何法):设直线l:y=kx+m,则l与y轴交于点A(0,m), 设圆x2+y2=4为圆C,则圆心C(0,0), 当k变化时,要使l被圆C截得的弦长最小,则圆心C到l的距离d最大,易得dmax=|AC|,则|m|= = ,所以 m=± . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2023新课标Ⅰ,6]过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=( ) A.1　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设P(0,-2),圆x2+y2-4x-1=0, 即(x-2)2+y2=5,则圆心为(2,0),半径为 ,记M(2,0). 设过点P(0,-2)且与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条切线分别是PA,PB,A,B为切点,连接PM,AM,如图, 则∠APB=2∠APM,易知|AM|= ,|PM|=2 , 则sin∠APM= = , |AP|= = , 所以cos∠APM= = , 所以sin α=sin∠APB=2sin∠APM·cos∠APM= . 第1讲　描述运动的基本概念   第1讲　描述运动的基本概念 10.[2023全国乙文,11]已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 ( ) A.1+ 　　    B.4　　     C.1+3 　　    D.7     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　将x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9, 表示以(2,1)为圆心,3为半径的圆, 令x-y=t(关键),则x-y-t=0, 由题可知直线x-y-t=0和圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点, 所以 ≤3,解得1-3 ≤t≤1+3 , 所以x-y的最大值为1+3 . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2023全国乙理,12]已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC 的中点.若|PO|= ,则 · 的最大值为( ) A. + 　　    B. +  C.1+ 　　    D.2+      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:由D为BC的中点可知OD与PD垂直,即点D的轨迹是以OP为直径的圆周在☉O内部的部 分. 取OP的中点M,则|DM|= = ,并且 = + , 由于|PA|= =1,有 · =  · = | || |·cos∠APO= | |2= , 同时 · ≤|PA|·|MD|= , 因此 · = ·( + )= · + · ≤ + ,当 与 同向平行时取到最大值,因此正确选 项为A. 解法二:第一步,设变量,表示向量的模及向量夹角. 连接OA,由题可知|OA|=1,OA⊥PA, 第1讲　描述运动的基本概念 因为|OP|= ,所以由勾股定理可得|PA|=1,则∠POA= . 设直线OP绕点P逆时针旋转角θ后与直线PD重合, 则- <θ< ,∠APD= +θ,且|PD|= cos θ. 第二步,用二倍角公式和辅助角公式求三角函数的最值. 所以 · =| |·| |cos  = cos θ·cos  = cos θ  =cos2θ-sin θcos θ 第1讲　描述运动的基本概念 = + cos 2θ- sin 2θ = + cos ≤ + , 故 · 的最大值为 + . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025天津,12]已知直线x-y+6=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C,D两 点.若|AB|=3|CD|,则r=_________.     2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为直线x-y+6=0与x轴交于A(-6,0),与y轴交于B(0,6), 所以|AB|= =6 , 所以|CD|=2 , 圆(x+1)2+(y-3)2=r2的半径为r, 圆心(-1,3)到直线x-y+6=0的距离为d= = , 故|CD|=2 =2 =2 ,解得r=2.   第1讲　描述运动的基本概念 13.[2022新高考Ⅱ,15]设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点, 则a的取值范围是_________.           第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:由题易知kAB= , 所以直线AB关于直线y=a对称的直线方程为y-a=- x, 即(3-a)x-2y+2a=0, 由题意可得圆心(-3,-2)到该直线的距离小于或等于半径, 所以 ≤1,即6a2-11a+3≤0, 解得 ≤a≤ . 解法二:设圆(x+3)2+(y+2)2=1关于直线y=a的对称圆为圆C, 易知圆心C(-3,2a+2),半径r=1. 易知直线AB的方程为y= x+a, 第1讲　描述运动的基本概念 即(a-3)x-2y+2a=0. 根据题意可知直线AB与圆C有公共点, 则 ≤1, 整理得6a2-11a+3≤0,解得 ≤a≤ . 第1讲　描述运动的基本概念 翻页 解后反思　本题两种解法是不同的思路,解法一是求直线AB关于直线y=a的对称直线m,直线m与已知圆 有公共点,再求范围.解法二是求已知圆关于直线y=a的对称圆圆C,圆C与已知直线有公共点,再求范围. 这两种思路是求对称问题的常见思路,要熟练掌握. 第1讲　描述运动的基本概念 强基计划 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026北京清华大学强基计划]已知正方形ABCD,点P满足|PA|∶|PB|∶|PC|=1∶2∶k,则k的可能取值 为( ) A.1,2　　    B.2,3　　     C.3,4　　    D.1,3     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设点P(x,y),以A为原点建立平面直角坐标系,如图,   设正方形的边长为1, 则A(0,0),B(1,0),C(1,1), 因为|PA|∶|PB|∶|PC|=1∶2∶k, 所以|PB|2=4|PA|2,|PC|2=k2|PA|2, 由|PB|2=4|PA|2,得(x-1)2+y2=4(x2+y2), 整理得 +y2= , 第1讲　描述运动的基本概念 则点P在以O1 为圆心,r1= 为半径的圆O1上. 由|PC|2=k2|PA|2, 得(x-1)2+(y-1)2=k2(x2+y2), 当k=1时,y=-x+1,点P在直线y=-x+1上, 联立  得3x2-2x+1=0, Δ=4-12=-8<0,方程无解,所以k=1不符合题意. 当k≠1时,整理(x-1)2+(y-1)2=k2(x2+y2),得 + = , 第1讲　描述运动的基本概念 此时点P在以O2 为圆心, r2= 为半径的圆O2上, 故要使满足题意的点P存在,则圆O1与圆O2要有交点. 当k=2时,O2 ,r2= , 此时 <|O1O2|= < , 则圆O1与圆O2有交点,故k=2符合题意; 当k=3时,O2 ,r2= , 此时 <|O1O2|= < , 第1讲　描述运动的基本概念 则圆O1与圆O2有交点,故k=3符合题意; 当k=4时,O2 ,r2= , 此时|O1O2|= < ,则圆O1与圆O2内含,无交点,故k=4不符合题意. 综上,k的可能取值为2和3. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2026江苏东南大学强基计划]已知直线 + =1和圆x2+y2=400的交点都是整点,则满足 + ≥  的直线有__________条.     32     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆x2+y2=400上的整数点有(±20,0),(±16,±12),(±12,±16),(0,±20), 用A(x1,y1),B(x2,y2)表示这些整数点中的不同的两点, 则直线AB与直线 + =1为同一条直线, 直线 + =1与x轴的交点为(n,0),与y轴的交点为(0,m), 故过点A,B的直线的斜率一定存在且不为0,该直线不过原点, 易知直线AB:y-y1= (x-x1), 令x=0,得y= , 令y=0,得x= , 则m= ,n= , 第1讲　描述运动的基本概念 故 + = . 所有情况列表如下: 第1讲　描述运动的基本概念 (20,0) (16, ±12) (-16, ±12) (12, ±16) (-12, ±16) (0, ±20) 6条     (符合)     (符合)   (符合) (-20,0) 由于对称性可知,同上共6条 (0,20), (0,-20) 由对称性可知,同上共(6-2)×2=8条 第1讲　描述运动的基本概念 (16,12) (12, 16) (12, -16) (-12, -16) (-12, 16) 3条     (符合)   (符合)   (符合) (16,-12), (-16,12), (-16,-12) 由对称性可知,同上共3×3=9条 第1讲　描述运动的基本概念 综上可知,符合题意的直线共6+6+8+3+9=32条. 第1讲　描述运动的基本概念 三年模拟练 第1讲　描述运动的基本概念 应用实践 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026湖南长沙周南中学考试]设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=1上任意一点,若t= -a的最 小值为b,且a>1,b>2,则 + 的最小值为( ) A.8　　    B.4　　     C.3　　    D.2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆C的圆心C(2,0),半径r=1. 由t= -a, 得a+t=  = , 可理解为圆C上的点P(x,y)与点A(5,-4)间的距离,其最小值为|CA|-r= -1=4, 依题意得a+b=4,则(a-1)+(b-2)=1, 则 + = [(a-1)+(b-2)]=2+ + ≥4,当且仅当a= ,b= 时取等号.故 + 的 最小值为4. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2025江西抚州南城一中月考]下列选项正确的是 (__________) A.过点(-1,2)且和直线3x+2y+7=0平行的直线方程为3x+2y-1=0 B.若直线l的斜率k∈[-1,1],则直线l的倾斜角α∈  C.若直线l1:x-2y+3=0与l2:2x+ay-2=0平行,则l1与l2间的距离为  D.圆C1:x2+y2-4x-2y+4=0和圆C2:x2+y2-6y+5=0相交     AD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,设与直线3x+2y+7=0平行的直线方程为3x+2y+c=0(c≠7), 把(-1,2)代入,得-3+4+c=0,解得c=-1, 则所求直线方程为3x+2y-1=0,A正确; 对于B,若k∈[-1,1],则α∈ ∪ ,B错误; 对于C,若l1∥l2,则1×a=-2×2,解得a=-4, 则l2:2x-4y-2=0,即x-2y-1=0, 所以l1与l2间的距离d= = ,C错误; 对于D,圆C1的圆心C1(2,1),半径r1=1,圆C2的圆心C2(0,3),半径r2=2, 因为|C1C2|= =2 ,且1<2 <3,即|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2,所以圆C1和圆C2相交,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河南检测]已知圆C的标准方程为(x-4)2+y2=16,设过圆心C且不与x轴重合的直线与圆C相交于A, B两点,O为坐标原点,连接OA,OB并延长,与直线x=8分别相交于点D,E,则 的最小值为 ( ) A.2　　    B.3　　     C.4　　    D.5     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析    思路分析 　　设直线OA的方程为y=kx(k≠0)→与圆的方程联立→求出点A的坐标(同理得B的坐标)→ =  · =k2+ +2→利用基本不等式求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知∠AOB= , 设直线OA的方程为y=kx(k≠0), 则直线OB的方程为y=- x(k≠0). 由 得(1+k2)x2-8x=0, 解得 或  则点A的坐标为 , 同理可得点B的坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 由题可知D(8,8k),E .  = = · , 因为 = = =1+k2, 同理得 = , 所以 = = =k2+ +2≥2 +2=4,当且仅当k=±1时等号成立,故 的最小值为 4. 第1讲　描述运动的基本概念   第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026安徽蚌埠A层高中联考]下列命题正确的是 ( ) A.若点(2,1)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0外,则k>2或k<-4 B.已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1与直线y=kx,对于任意的θ∈R,总存在k∈R,使直线与圆相切 C.已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1与直线y=kx,对于任意的k∈R,总存在θ∈R,使直线与圆相切 D.已知点P(x,y)是直线2x+y+4=0上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=1的两条切线,A,B是切点,则四边形 PACB的面积的最小值为      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,若点(2,1)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0外, 则  即  解得- <k<-4或2<k< ,故A错误; 对于B,圆M的圆心M(-cos θ,sin θ), 所以圆心M到直线y=kx的距离d= = , 当sin θ=0时,cos θ=±1, 所以d= = <1, 第1讲　描述运动的基本概念 此时不存在k∈R,使直线与圆相切,故B错误; 对于C,令cos θ= ,sin θ= , 则d=1,即对于任意的k∈R,总存在θ∈R,使直线与圆相切,故C正确; 对于D,圆C的圆心C(0,1),半径r= , 圆心C(0,1)到直线2x+y+4=0的距离为 = , 则|PC|的最小值为 , 由|PA|= 得|PA|的最小值为 , S四边形PACB=2S△PAC=2× ×|PA|r= |PA|, 故四边形PACB的面积的最小值为 × = ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[创新题·新情境][2025山东A7联盟开学考试]对于平面上的动点P,若满足对于A(x1,y1),B(x2,y2),PA,PB 的长度的比值为t(t不为0),则称P点运动所得的轨迹为“完美曲线”.若A(-2,0),B(4,0),t=2,则下列曲线和 “完美曲线”有交点的个数为 ( ) (1)y=3ln 3; (2)y2=3x; (3)8y-x+6=0; (4)(x-2)2+(y- )2=2. A.2　　    B.3　　     C.4　　    D.1     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设P(x,y),由题意可得 =2, 即 =4,化简得x2+y2-12x+20=0, 即(x-6)2+y2=16, 故“完美曲线”是圆心为(6,0),半径r=4的圆. 对于(1),y=3ln 3∈[-4,4],故函数y=3ln 3的图象与“完美曲线”有交点; 对于(2),联立 消去y并整理,得x2-9x+20=0, 解得x1=4,x2=5,故有交点; 对于(3),圆心(6,0)在直线8y-x+6=0上, 故直线与圆相交,有交点; 第1讲　描述运动的基本概念 对于(4),(x-2)2+(y- )2=2表示圆心为(2, ),半径R= 的圆, 则两圆的圆心距为 = ∈[4- ,4+ ],故两圆相交,有交点. 综上所述,四条曲线和“完美曲线”均有交点. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江苏南京外国语学校月考]我们把平面内到定点B的距离不大于定点A到B的距离的 (n∈N+,n ≥2)的动点的集合称为A关于B的n阶亲密点域,记为动点符合Zn(A,B).已知P(-2,5),Q(1,1),动点M(x,y)符 合Z5(P,Q),则|x-y+2|的最大值是( ) A.2+ 　　    B.2-  C. +1　　    D. -1     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为动点M(x,y)符合Z5(P,Q), 所以动点M到定点Q的距离不大于定点P到定点Q的距离的 , 即|MQ|≤ |PQ|, 即 ≤  =1, 则0≤(x-1)2+(y-1)2≤1, 所以点M的轨迹是以Q(1,1)为圆心,1为半径的圆及其内部. 令x-y+2=z,即x-y+2-z=0,令直线l的方程为x-y+2-z=0, 要求|x-y+2|的最大值,即求当直线l与圆Q相交或相切时|z|的最大值, 易求得点Q到直线l的距离为d= = , 第1讲　描述运动的基本概念 平移直线l与圆Q相切时,点Q到直线l的距离等于圆Q的半径r=1, 即d=1,即 =1, 解得z=2- 或z=2+ , 当直线l与圆Q相交时,0≤d<1, 即0≤ <1,即0≤|2-z|< , 解得2- <z<2+ , 故2- ≤z≤2+ , 即2- ≤|z|≤2+ , 所以|z|max=2+ , 即|x-y+2|max=2+ . 第1讲　描述运动的基本概念   第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026广东广州期中]已知P为圆C1:(x-5)2+y2=4位于第一象限的一点,过点P作圆C2:x2+y2-2ax+a2-a+2=0 (2<a<5)的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,直线PM,PN分别交x轴于点A(1,0),B(4,0),则 =_________,|MN| =_________.               2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　将圆C2的方程化成标准方程,为(x-a)2+y2=a-2,其圆心为C2(a,0). 设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则 + =4, 所以 = = =2. 由题意知PC2平分∠APB, 所以 = =2, 即|AC2|=2|BC2|,又2<a<5, 故a-1=2|4-a|,所以a=3, 则C2:(x-3)2+y2=1, 所以点N与点B(4,0)重合, (点B在圆C2上,又在切线PN上,因此点B是切点,与点N重合) 第1讲　描述运动的基本概念 此时|C2M|=1,|AC2|=2|BC2|=2|MC2|, 则∠MAC2=30°,可得M , 所以|MN|= = . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025湖北四地七校期中联考]已知圆C:x2+y2-4x-2my+4=0,直线C1:y=x+2,折线C2:y=|x-2|+2,若C与C1恰 有一个公共点,则实数m=__________;若C与C2恰有两个公共点,则实数m的取值范围是______________.     (1,+∞)     　-4±4      第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆C的方程可化为(x-2)2+(y-m)2=m2,则圆心C(2,m),半径为|m|,故m≠0, 若C与C1:x-y+2=0恰有一个公共点, 则 =|m|,解得m=-4±4 . 因为C与C2均关于直线x=2对称,注意到C2与直线x=2的交点为(2,2),所以C与C2恰有两个公共点等价于C 与C2在x∈(2,+∞)内只有1个公共点,且C不过点(2,2),此时C2:y=x,且22+22-4×2-4m+4≠0,故m≠1. 由 消去y并整理,得x2-(2+m)x+2=0, 即关于x的方程x2-(2+m)x+2=0在(2,+∞)内仅有一解, 则 或  第1讲　描述运动的基本概念 或  解得m>1, 所以实数m的取值范围是(1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 翻页 考场速解　由C不过点(2,2)知点(2,2)在圆C内,则22+22-8-4m+4<0,解得m>1,所以实数m的取值范围是(1,+ ∞). 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025江西抚州临川第二中学月考] (1)若直线l1的一个方向向量为a=(1,2),且l1在y轴上的截距为-2,求直线l1的方程; (2)已知直线l2:m(x-1)+y-2m+1=0恒过定点P,直线l3:x-my+2m+1=0恒过定点Q,且l2和l3交于点M. ①求出定点P,Q的坐标; ②求△MPQ的面积的最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得直线l1的斜率为2,与y轴的交点为(0,-2), 由点斜式可得直线l1:y+2=2x, 即2x-y-2=0. (2)①方程m(x-1)+y-2m+1=0可化为m(x-3)+y+1=0,∴P(3,-1), 方程x-my+2m+1=0可化为x+1+m(2-y)=0,∴Q(-1,2). ②由m(x-3)+y+1=0,得m= , 由x+1+m(2-y)=0,得m= , 则 = ,化简得x2+y2-2x-y-5=0,即(x-1)2+ = , ∴点M在圆心为 ,半径r= 的圆上, 第1讲　描述运动的基本概念 易得直线PQ: = ,即3x+4y-5=0,则圆心 到直线PQ的距离d= =0, ∴圆上的点到线段PQ的距离的最大值为r= ,此时S△MPQ= |PQ|r= × × = , 则△MPQ的面积的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 迁移创新 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2025广东名校联盟期中]定义:P是圆C外一点,若过点P所作的圆C的两条切线PM,PN(M,N为切点)相 互垂直,记圆D经过点P,M,N,C,则称P为圆C的“伴随点”,圆D为“C-P伴随圆”.已知O为坐标原点, 圆O:x2+y2=26,P为圆O的“伴随点”,圆G为“O-P伴随圆”(M,N为相关切点). (1)求点P所在曲线的方程; (2)已知点P的横坐标为6,且位于第一象限. (i)求圆G的方程; (ii)直线MN与x轴、y轴分别交于点E,F,过点T(0,5)且斜率为k的直线l与圆G有两个不同的交点A,B,若 ·  = ,求l的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为P为圆O的“伴随点”,所以四边形PMON为正方形, 则|PO|= × =2 , 所以点P的轨迹是以O为圆心,2 为半径的圆, 故点P所在曲线的方程为x2+y2=52. (2)易得P(6,4). (i)因为四边形PMON为正方形, 所以圆心G(3,2),半径为 = , 故圆G的方程为(x-3)2+(y-2)2=13. (ii)因为直线MN为圆G与圆O的公共弦所在直线,所以直线MN的方程为3x+2y-13=0. 令y=0,得x= ,令x=0,得y= , 第1讲　描述运动的基本概念 所以E ,F , 则 = × =30. 易知直线l的方程为y=kx+5,代入(x-3)2+(y-2)2=13, 整理得(1+k2)x2-6(1-k)x+5=0, 则Δ=36(1-k)2-20(1+k2)>0, 解得k< 或k> . 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2= ,x1x2= , 所以 · =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+5)·(kx2+5)=(1+k2)x1x2+5k(x1+x2)+25= +30. 第1讲　描述运动的基本概念 由题意可得 +30=30, 解得k=1(舍去)或k=0. 故l的方程为y=5. 第1讲　描述运动的基本概念 $