02-§2 5-专题强化练3 圆的轨迹和隐圆问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线与圆中的圆的轨迹和隐圆问题，从直线与圆的基础内容导入，通过动点与已知圆的向量关系、斜率关系等引出轨迹问题，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于运用数学眼光抽象动点轨迹，借助数学思维推理两圆位置关系，通过相关点法求轨迹、两圆相切求半径等实例，总结解题技法与考场速解公式。助力学生提升轨迹问题解题能力，教师可利用系统例题与方法总结优化教学效率。

第一章 直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 专题强化练3　圆的轨迹和隐圆问题 专题专项练 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026江苏徐州新沂第二中学阶段检测]已知圆C:(x-3)2+y2=9,D是圆C上的动点,点E(2,4),若动点M满 足 =2 ,则点M的轨迹方程为( ) A. +(y-2)2=  B.(x-1)2+(y-8)2=9 C.(x-5)2+(y+8)2=81 D.(x-8)2+(y-1)2=9     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设M(x,y),D(m,n), 则 =(x-m,y-n), =(2-m,4-n), 由 =2 ,可得(x-m,y-n)=2(2-m,4-n),即 故  因为D是圆C上的动点, 所以(m-3)2+n2=9, 所以(4-x-3)2+(8-y)2=9,整理得(x-1)2+(y-8)2=9, 故点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-8)2=9. 解题技法　破解此类动点轨迹问题的方法是“相关点法”,当题目中已知某动点的轨迹方程,而要求的 点与该动点有关时,常找出要求的点与该动点间的关系,将动点的坐标用要求的点的坐标表示出来后, 将该动点的坐标代入该动点的轨迹方程得到要求的点的轨迹方程. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江西新余第十六中学月考]已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4,若点P在直线x-y-4=0上运动,过点P作圆C的 两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则直线AB所过的定点坐标为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆C:(x-2)2+(y-3)2=4①的圆心为C(2,3),半径为2, 由过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,知P,A,C,B四点共圆, 其中PC的中点为该圆的圆心,PC为该圆的一条直径, 设P(m,m-4),则PC的中点为 ,即 , |PC|=  = , 故过P,A,C,B的圆的方程为 + = ,变形得x2-(m+2)x+y2-(m-1)y=-5m+12②, ①②相减可得直线AB的方程,即(m-2)x+(m-7)y=5m-21,整理得m(x+y-5)-2x-7y+21=0, 令 解得 故直线AB所过的定点坐标为 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026重庆第一中学开学考试]已知|a|=2,|b|=1,a·b=0,|c+a|+|c-a|=4,d2-4b·d+3=0,则|c-d|的最大值为 ( ) A. +1　　    B.4　　     C. +2　　    D.2 +1 D     解析    思路分析 　　设a= =(2,0),b= =(0,1),c= =(m,n),d= =(p,q),A1(-2,0),将题干翻译成对应点的轨迹,再根据平 面几何知识求解. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设a= =(2,0),b= =(0,1),c= =(m,n),d= =(p,q),A1(-2,0). 由|c+a|+|c-a|=4,得 + =4=|AA1|, 即动点C(m,n)到两定点A(2,0),A1(-2,0)的距离之和等于|AA1|, 故点C的轨迹为线段AA1. 由d2-4b·d+3=0,得p2+q2-4q+3=0, 即p2+(q-2)2=1, 故点D的轨迹是以点E(0,2)为圆心,1为半径的圆. 易知|c-d|=| - |=| |≤|CE|+|ED|=|CE|+1,当且仅当D为CE的延长线与圆E的交点时等号成立, 故要求|c-d|的最大值,只需求|CE|的最大值, 由图可知,当C与A或A1重合时,|CE|取得最大值,为 =2 , 故|c-d|的最大值为2 +1. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026广东深圳南山实验教育集团期中]在平面直角坐标系xOy中,A(-2,0),B(4,0),点P满足  = .设点P的轨迹为C,则下列结论正确的是 ( ) A.轨迹C的方程为(x+4)2+y2=16 B.轨迹C上的点到直线3x-4y-13=0的最大距离为9 C.在轨迹C上存在点K使得|KO|=2|KA| D.当A,P,B三点不共线时,射线PO是∠APB的平分线     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,设P(x,y),则|PA|= ,|PB|= , 则 = ,整理得x2+y2+8x=0, 即(x+4)2+y2=16,故轨迹C的方程为(x+4)2+y2=16,故A正确; 对于B,设圆心C(-4,0)到直线3x-4y-13=0的距离为d, 则d= =5>4, 故直线3x-4y-13=0与圆C相离, 所以圆C上的点到直线3x-4y-13=0的最大距离为5+4=9,故B正确; 对于C,设K(x,y),则(x+4)2+y2=16,|KO|= ,2|KA|=2 , 因为|KO|=2|KA|, 所以 =2 , 第1讲　描述运动的基本概念 两边平方得x2+y2=4[(x+2)2+y2], 则x2+16-(x+4)2=4[(x+2)2+16-(x+4)2],整理得8x=16,解得x=2, 将x=2代入(x+4)2+y2=16,y无解, 所以不存在满足条件的点K,故C错误; 对于D,当A,P,B三点不共线时, = = = ,所以射线PO是∠APB的平分线,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 考场速解　若A(a,0),B(b,0),且 =λ,则点P的轨迹是圆心为 ,半径为 |AB|的圆,故本题中 点P的轨迹是圆心为 ,即(-4,0),半径为 =4的圆. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026重庆江北字水中学月考]已知直线y=kx+1(k∈R)恒过定点A,圆O:x2+y2=4上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2) 满足 =λ (λ∈R),则|2x1+y1+7|+|2x2+y2+7|的最小值为____________.     15-      第1讲　描述运动的基本概念 解析　易得直线y=kx+1(k∈R)恒过定点A(0,1),由02+12=1<4得点A在圆O内. 因为 =λ (λ∈R), 所以P,A,Q三点共线,且λ>0, 所以P,Q为过点A的直线与圆O的交点. 设线段PQ的中点为M(x0,y0),  + 表示点P,Q到直线2x+y+7=0的距离的和, 表示点M到直线2x+y+7=0 的距离. 过点P,M,Q分别作直线2x+y+7=0的垂线,垂足分别为P1,N,Q1,连接OM, 则|PP1|+|QQ1|=2|MN|,则 + =2× . 因为OM⊥PQ,直线PQ过点A,M, 第1讲　描述运动的基本概念 所以OM⊥AM, 所以点M在以线段OA的中点 为圆心, |OA|= 为半径的圆上,该圆的方程为x2+ = , 所以点M到直线2x+y+7=0的距离的最小值为 - = , 则 ≥ , 所以 + ≥3 -1, 所以|2x1+y1+7|+|2x2+y2+7|≥15- . 故|2x1+y1+7|+|2x2+y2+7|的最小值为15- . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江苏镇江一中、徐州三中等十三校期中]已知点A(4,0),圆C:(x-5)2+(y-4)2=r2(r>0),O为坐标原点. 若圆C上存在唯一的点P,满足kPA·kPO=-1,则r的取值集合为_________________.     {3,  ,  ,7}     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设点P(x,y),由kPA·kPO=-1可得 · =-1, 化简可得x2+y2-4x=0(x≠0,x≠4,y≠0), 即(x-2)2+y2=4(x≠0,x≠4,y≠0), 所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,去除A,O两点, 又点P在圆C上,且满足题意的点P唯一,所以两圆相切. 易知圆C的圆心C(5,4),半径为r,则两圆的圆心距为 =5, 当两圆外切时,r+2=5,则r=3,此时切点不为A,O两点,符合题意; 当两圆内切时,|r-2|=5,解得r=7(负值舍去),此时切点不为A,O两点,符合题意; 当圆C过点O时,(0-5)2+(0-4)2=r2(r>0),解得r= ,圆C不过点A,符合题意; 当圆C过点A时,(4-5)2+(0-4)2=r2(r>0),解得r= ,圆C不过点O,符合题意. 综上所述,r的取值集合为{3, , ,7}. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏镇江丹阳高级中学阶段检测]设A(1, ),B(4,0),D(1,- ),圆Q过A,B,D三个点. (1)求圆Q的方程; (2)设点C(-3, ),若圆Q上存在两个不同的点P,使得|PA|2+|PC|2=2λ成立,求实数λ的取值范围; (3)设斜率为k的直线l与圆Q相交于E,F两点(不与原点O重合),直线OE,OF的斜率分别为k1,k2,且k1k2=3,证 明:直线l恒过定点. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得圆心Q为线段AB和AD的垂直平分线的交点, 因为kAB= =- ,线段AB的中点为 , 所以线段AB的垂直平分线的方程为y- =  ,即 x-y-2 =0, 线段AD的垂直平分线的方程为y=0, 联立 解得  所以圆Q的圆心Q(2,0),半径为|QB|=2, 故圆Q的方程为(x-2)2+y2=4. (2)设P(x,y),因为|PA|2+|PC|2=2λ, 所以(x-1)2+(y- )2+(x+3)2+(y- )2=2λ,化简得(x+1)2+(y- )2=λ-4, 第1讲　描述运动的基本概念 所以λ>4,则点P在以M(-1, )为圆心, 为半径的圆上, 依题意知圆M与圆Q有两个交点, |MQ|= =2 , 则| -2|<2 < +2, 解得20-8 <λ<20+8 . 故实数λ的取值范围为(20-8 ,20+8 ). (3)证法一:设直线l的方程为y=kx+m,E(x1,y1),F(x2,y2),x1x2≠0, 由 得(1+k2)x2+2(km-2)x+m2=0, 则x1+x2=- ,x1x2= , 所以k1k2= =  第1讲　描述运动的基本概念 =  =k2+ =1+ =3, 解得m=2k, 故直线l的方程为y=k(x+2), 令 解得 即直线l恒过点(-2,0). 证法二(齐次化构造):由(1)知圆Q:x2+y2-4x=0,设直线l的方程为mx+ny=1, 所以x2+y2-4x(mx+ny)=0, 即(1-4m)x2-4nxy+y2=0, 第1讲　描述运动的基本概念 所以 -4n× +(1-4m)=0. 因为直线OE,OF的斜率分别为k1,k2,且k1k2=3, 所以k1,k2为 -4n× +(1-4m)=0的两个实根, 则1-4m=3,解得m=- , 所以直线l的方程为- x+ny=1, 则直线l恒过点(-2,0). 第1讲　描述运动的基本概念 $