第1章 03-易混易错练1（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

第一章 直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 易混易错练1 专题专项练 第1讲　描述运动的基本概念 易错点1　忽略直线斜率不存在的情况致错 1.[2025四川遂宁段考]圆C:(x-1)2+y2=8内有一点P(-1,-1),弦AB所在的直线过点P且倾斜角为α. (1)当α=135°时,求弦AB的长; (2)若弦AB被点P平分,求弦AB所在的直线方程; (3)若|AB|=4,求弦AB所在的直线方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)圆C:(x-1)2+y2=8的圆心为C(1,0),半径r=2 . 当α=135°时,弦AB所在直线的斜率为tan 135°=-1,又该直线过P(-1,-1), 所以其方程为y+1=-(x+1),即x+y+2=0. 又圆心C(1,0)到直线AB的距离d= = ,所以|AB|=2 =2 = . (2)易知kCP= = ,过圆心和弦中点的直线垂直平分弦AB, 所以直线AB的斜率为- =-2, 因此直线AB的方程为y+1=-2(x+1),即2x+y+3=0. (3)设圆心C到直线AB的距离为d', 由|AB|=4,得4=2 =2 , 第1讲　描述运动的基本概念 所以d'=2. 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y+1=k(x+1),即kx-y+k-1=0, 则圆心C(1,0)到直线AB的距离d'= =2,解得k=- , 此时直线AB的方程为- x-y- -1=0,即3x+4y+7=0; 当直线AB的斜率不存在时(易错点),其方程为x=-1, 则圆心C(1,0)到此直线的距离为2,显然成立. 综上所述,直线AB的方程为x=-1或3x+4y+7=0. 易错警示　在直线与圆的位置关系中,求直线方程时,通常设直线方程为点斜式,点斜式使用的前提是 斜率存在,容易忽略斜率不存在的情况;而对于轨迹方程的求解,要注意结合图形对求得的结论进行检 验,要注意一些特殊情况是否符合. 第1讲　描述运动的基本概念 易错点2　忽视题中的隐含条件致错 2.[2026湖北水果湖高级中学月考]与圆(x-2)2+y2=2相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有 ( ) A.2条　　    B.3条　　    C.4条　　    D.6条          B 第1讲　描述运动的基本概念 解析　①当直线不经过原点时,设截距为a,a≠0,则直线方程为 + =1,即x+y-a=0. 因为该直线与圆(x-2)2+y2=2相切, 所以圆心(2,0)到直线的距离等于圆的半径 ,即 = , 化简得|a-2|=2,解得a=4或a=0(舍去). 故直线方程为x+y-4=0. ②当直线经过原点时,设直线方程为y=kx,即kx-y=0(易错点). 因为直线与圆(x-2)2+y2=2相切, 所以圆心(2,0)到直线的距离等于圆的半径 ,即 = , 化简得k2-1=0,解得k=±1.故直线方程为y=x或y=-x. 综上,共有3条直线符合题目要求. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　在求解与直线相关的问题时要注意隐含条件,若题目中出现截距相等、互为相反数,或在一 坐标轴上的截距是其在另一坐标轴上的截距的m倍(m>0)等条件时要考虑截距为0的情形. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江西赣州实验学校月考]以下四个命题中,不正确的是 ( ) A.直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)能表示所有过定点(-3,3)的直线 B.若直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则a=-3 C.若直线l1:x-2y+3=0与l2:2x+ay-2=0平行,则l1与l2间的距离为  D.过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(-2,1),B(-1,- -1)两点的线段总有公共点,则l的倾斜角α的取值范 围为 ∪      AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,直线方程可化为(x+3)m+3x+4y-3=0, 令 解得  则该直线恒过定点(-3,3), 但是方程(3+m)x+4y-3+3m=0无法表示直线x=-3(易错点),故A中命题错误; 对于B,若l1⊥l2,则a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即(a-1)(a+3)=0,解得a=-3或a=1,故B中命题错误; 对于C,由l1∥l2得a=-4,则l2:2x-4y-2=0, 又l1:2x-4y+6=0(易错点), 所以l1与l2间的距离d= = ,故C中命题正确; 对于D,如图, 第1讲　描述运动的基本概念   因为kPA= =-1, kPB= = , 所以直线l的斜率的取值范围为[-1, ], 又α∈[0,π), 所以直线l的倾斜角α的取值范围为 ∪ ,故D中命题正确. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　设直线方程时,要注意直线方程的适用范围,点斜式和斜截式都不能表示垂直于x轴的直线, 两点式表示不垂直于坐标轴的直线,截距式表示不垂直于坐标轴且不过原点的直线,使用公式时要注意 公式的适用条件. 　　求直线的斜率和倾斜角时,要结合y=tan x的图象求解,若斜率不存在,即倾斜角为 的直线也符合 题意. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026江西部分学校联考]已知曲线M:y=2- ,曲线N:y=-3+ .设P,Q分别为 曲线M,N上的动点,A为x轴上的动点,则( ) A.|AP|的最小值为  B.|PQ|的最小值为 -2 C.直线y=x-2与曲线M,N的公共点的个数之和为3 D.当|AP|+|AQ|取得最小值时,点A的横坐标为      BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由y=2- , 得(x-3)2+(y-2)2=1(y≤2), 则曲线M为圆(x-3)2+(y-2)2=1(M为圆心)位于直线y=2上及下方的部分(易错点), 由y=-3+ , 得(x+1)2+(y+3)2=1(y≥-3), 则曲线N为圆(x+1)2+(y+3)2=1(N为圆心)位于直线y=-3上及上方的部分(易错点). 对于A,|AP|≥|AM|-1≥2-1=1,故A错误; 对于B,|PQ|≥|MN|-1-1= -2= -2,故B正确; 对于C,对于y=x-2,当x=4时,y=2,所以点(4,2)在直线y=x-2上, 又点(4,2)的坐标满足曲线M的方程, 所以直线y=x-2与曲线M有2个公共点, 第1讲　描述运动的基本概念 对于y=x-2,当x=-2时,y=-4,所以点(-2,-4)在直线y=x-2上, 又点(-2,-4)的坐标不满足曲线N的方程, 所以直线y=x-2与曲线N有1个公共点, 所以直线y=x-2与曲线M,N的公共点的个数之和为3,故C正确; 对于D,当点M,P,A,Q,N共线时,|AP|+|AQ|取得最小值, 直线MN的方程为y-2= ×(x-3), 即5x-4y-7=0,令y=0,得x= , 所以当|AP|+|AQ|取得最小值时,点A的横坐标为 ,故D错误. 易错警示　在求轨迹方程时,要注意验证,排除不符合题意的点或线. 第1讲　描述运动的基本概念 5.已知以点C (t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为坐标原点. (1)试写出圆C的标准方程; (2)求证:△OAB的面积为定值; (3)设直线y=-2x+4与圆C交于M,N两点,若|OM|=|ON|,求圆C的标准方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设圆C的半径为r(r>0), 则圆C:(x-t)2+ =r2, 又圆C过原点,所以t2+ =r2, 所以圆C的标准方程为(x-t)2+ =t2+ (t∈R,t≠0). (2)证明:由(1)知,圆C的标准方程为(x-t)2+ =t2+ , 令x=0,得yB= ,令y=0,得xA=2t, 则S△OAB=  =4, 所以△OAB的面积为定值. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由|OM|=|ON|可知MN的垂直平分线过原点, 又弦的垂直平分线必过圆心, 所以直线OC与直线y=-2x+4垂直, 则有kOC·(-2)=-1, 即 ·(-2)=-1,解得t=±2, 所以圆心C(2,1)或C(-2,-1), 则圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5. 当圆C的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,圆心到直线2x+y-4=0的距离d= = > ,直线与圆不相交,故 舍去(易错点). 所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　审题不严,对题中的隐含条件处理不当,常会造成解题错误,如直线与圆相交时,要在有交点 的情况下研究其他问题. 第1讲　描述运动的基本概念 $