01-§1 06-1.6 平面直角坐标系中的距离公式（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面直角坐标系中的距离公式，涵盖两点间、点到直线及平行线间距离公式的基础应用与综合拓展，通过题组递进设置搭建学习支架，衔接直线方程与后续圆的知识脉络。 其亮点在于以多地区月考真题为载体，融入函数转化（如第4题距离差模型）、轨迹分析（如第6题椭圆到直线距离）等题型，培养学生数学眼光与逻辑推理能力。创新题型“定积直线”结合新定义考查应用意识，助力学生提升解题思维，教师可直接用于分层教学与能力训练。

第一章 直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §1　直线与直线的方程 1.6　平面直角坐标系中的距离公式 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　两点间的距离公式及其简单应用 1.[2026吉林长春实验中学月考]在平面直角坐标系xOy中,点P(x,2-3x)在第一象限内,则|OP|的取值范围 是 ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为点P(x,2-3x)在第一象限内, 所以 解得0<x< , |OP|= = , 令f(x)=10x2-12x+4,0<x< , 易得f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x= , 所以f(x)的最小值为f = ,且f(x)<f(0)=4,即 ≤f(x)<4, 所以 ≤ <2, 所以|OP|的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025广东汕头期中]点A(2,-4)到直线l:mx-y-4m-8=0(m为实数)的距离的最大值是( ) A.5　　    B.2 　　    C.4　　    D.      B     解析　直线l的方程可化为y+8=m(x-4), 令 得 故直线l恒过点(4,-8),不妨设B(4,-8), 易知点A到直线l的距离的最大值为AB的长,此时l⊥AB. |AB|= =2 ,所以点A到直线l的距离的最大值为2 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河南南阳第一中学月考]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l:y=kx+1上的两点,若|x1-x2|=4,且|AB|=5,则直 线l的方程的一般式为___________________________.     3x-4y+4=0或3x+4y-4=0     解析　由两点间的距离公式得|AB|= ,(*) A,B在直线l:y=kx+1上,则y1=kx1+1,y2=kx2+1,代入(*)式,化简得|AB|= |x1-x2|, 所以4 =5,解得k=± , 所以直线l的方程为y= x+1或y=- x+1,化成一般式为3x-4y+4=0或3x+4y-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026黑龙江九师联盟质量检测]函数f(x)= - 的最大值为__________.     2      解析    f(x)= - = - , 问题转化为求动点P(x,0)与点A(-1,3),B(1,1)的距离之差的最大值,即|PA|-|PB|的最大值. 因为|PA|-|PB|≤|AB|(三角形两边之差小于第三边),当且仅当P,A,B三点共线时等号成立, 所以f(x)max=|AB|= =2 ,此时P(2,0). 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　点到直线的距离公式及其简单应用 5.[2025河北石家庄精英中学期中]已知A(4,0),B(2,a)两点到直线l:x+y-5=0的距离相等,则a= ( ) A.2　　    B.4　　     C.1或4　　    D.2或4     D     解析　由点到直线的距离公式得 = ,即|a-3|=1,所以a=2或a=4. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河南部分校联考]在平面直角坐标系中,记d为点P(3cos θ,2sin θ),Q(4+2t,3-t)间的距离,当θ,t变化 时,d的最小值为 ( ) A.1　　    B. 　　     C. 　　    D.3      C     解析　设 消去t可得x+2y-10=0,即动点Q的轨迹是直线x+2y-10=0. 点P到直线x+2y-10=0的距离为 =   , (将两个动点之间的距离转化为动点到直线的距离) sin(θ+φ)∈[-1,1],所以|5sin(θ+φ)-10|∈[5,15],所以dmin= = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[教材习题改编]已知直线l经过点(-2,3),且原点到直线l的距离等于2,则直线l的方程为 _________________________.     x+2=0或5x+12y-26=0     解析    解法一:当直线l的斜率不存在时,其方程为x+2=0,原点到直线l的距离等于2,满足题意; 当直线l的斜率存在时,设其方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0, 由原点到直线l的距离为2,得 =2,解得k=- ,则直线l的方程为5x+12y-26=0. 综上,直线l的方程为x+2=0或5x+12y-26=0. 解法二:设直线l的方程为A(x+2)+B(y-3)=0(这种设法可以避免讨论斜率不存在的情况,直接解出两个结果), 即Ax+By+2A-3B=0,由原点到直线l的距离为2,得 =2, 则5B2-12AB=0,解得B=0或B= A,当B=0时,直线l的方程为x+2=0; 当B= A时,直线l的方程为5x+12y-26=0.综上,直线l的方程为x+2=0或5x+12y-26=0. 第1讲　描述运动的基本概念 知识拓展　过定点P(x0,y0)的直线系方程可设为A(x-x0)+B(y-y0)=0(A,B为参数). 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026福建三明一中月考]直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为 __________________.     2x+3y+12=0     解析　由ax+y+3a-1=0得(x+3)a+(y-1)=0,由 得 ∴M(-3,1),则点M不在直线2x+3y-6=0上. 设直线2x+3y-6=0关于点M对称的直线方程为2x+3y+C=0(C≠-6), 则 = ,解得C=12或C=-6(舍), 故所求直线方程为2x+3y+12=0. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　两条平行线间的距离公式及其简单应用 9.[2026江西抚州宜黄第一中学月考]若直线l1:ax-y+1=0与直线l2:(a+2)x-ay-1=0平行,则l1与l2之间的距离 为( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     解析　∵l1∥l2,∴-a2=-(a+2),且-a≠a+2,解得a=2, 则l1:2x-y+1=0,l2:4x-2y-1=0, 即2x-y- =0, ∴l1与l2之间的距离为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026湖南长沙雅礼中学质量检测]已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x+2y+1=0和3x+ 2y+4=0,另一组对边所在的直线方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0,则|c1-c2|= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.6     D     解析　直线3x+2y+1=0与3x+2y+4=0间的距离d1= = , 直线4x-6y+c1=0与4x-6y+c2=0间的距离d2= = |c1-c2|, 由正方形的特征可知d1=d2,即 = |c1-c2|,解得|c1-c2|=6. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[易错题][2026浙江绍兴上虞中学月考]若直线m被两平行直线l1:x- y+ =0与l2:x- y+3 =0所截 得的线段的长为 ,则直线m的倾斜角为________________.     75°或165°     解析　两平行直线l1与l2间的距离d= = , 因为直线m被l1与l2所截得的线段的长为 , > , 所以直线m与两平行直线l1与l2的夹角为锐角,设为α,则sin α= = , 则α=45°,易知l1的斜率为 , 则其倾斜角为30°, 故直线m的倾斜角为30°+45°=75°或180°-(45°-30°)=165°. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　本题的易错点是容易忽视直线m存在两种情况,如图.   第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025江西上饶第二中学月考]已知直线l1:3(x-1)+4(y-1)=0,l2:3x+4(y+2)=0,点A和点B分别是直线l1,l2上 的动点. (1)若直线AB经过原点O,且|AB|=3,求直线AB的方程; (2)设线段AB的中点为P,求点P到原点O的最短距离. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)将l1,l2的方程化为一般式方程得l1:3x+4y-7=0,l2:3x+4y+8=0, 则两直线平行, 故两直线之间的距离d= =3, 又|AB|=3,所以直线AB和两直线均垂直. 因为l1,l2的斜率均为- ,所以kAB= . 又直线AB经过原点O,所以直线AB的方程为y= x. (2)因为l1∥l2,所以线段AB的中点P的轨迹方程为3x+4y+ =0,即3x+4y+ =0, 所以点P到原点O的最短距离即点O到直线3x+4y+ =0的距离, 即为 = ,所以点P到原点O的最短距离为 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §1　直线与直线的方程 1.6　平面直角坐标系中的距离公式 第1讲　描述运动的基本概念 题组　距离公式的综合应用 1.[2026广东汕头潮阳实验学校月考]已知点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射到直线 OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是( ) A.3 　　    B.6　　    C.2 　　    D.2      C     解析　由题意得直线AB的方程为x+y=4,设P关于直线AB的对称点为Q(a,b), 则 解得 即Q(4,2),(另解:点(m,n)关于直线y=-x+b的对称点为(b-n,b-m),则P(2,0)关于直 线x+y=4的对称点为Q(4,2)) 又P关于y轴的对称点为T(-2,0), (经谁反射,就关于谁对称,将已知点对称两次) 所以光线所经过的路程为|QT|= =2 . 第1讲　描述运动的基本概念 二级结论　　 点(m,n)关于直线y=x的对称点为(n,m); 　　点(m,n)关于直线y=-x的对称点为(-n,-m); 　　点(m,n)关于直线y=x+b的对称点为(n-b,m+b); 　　点(m,n)关于直线y=-x+b的对称点为(b-n,b-m). 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西阶段性练习]已知实数a,b,c,d满足 = = ,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　由实数a,b,c,d满足 = = , 得3a-4b=0,3c-4d+9=0, 故点(a,b)在直线3x-4y=0上,点(c,d)在直线3x-4y+9=0上, 而(a-c)2+(b-d)2表示点(a,b)和点(c,d)之间的距离的平方, 故(a-c)2+(b-d)2的最小值为两平行直线3x-4y=0和3x-4y+9=0间的距离的平方,为 = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026江西上饶蓝天中学月考]已知点M(-1,1),N(2,1),且P在直线l:x+y+2=0上,则( ) A.存在点P,使得PM⊥PN B.存在点P,使得2|PM|=|PN| C.|PM|+|PN|的最小值为  D.若P(a,b),则a2+b2的最小值为1     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,解法一:设P(a,-a-2),当a=-1时,P(-1,-1),此时PM⊥x轴,kPN= = ≠0,故PM与PN不垂直; 同理当a=2时,P(2,-4),PM与PN不垂直; 当a≠-1且a≠2时,由kPM·kPN= · =-1,可得2a2+5a+7=0, 该方程无实数解,故PM与PN不垂直. 综上,不存在点P,使得PM⊥PN,A错误. 解法二:设P(a,-a-2),则 =(-1-a,a+3), =(2-a,a+3), 则 · =2a2+5a+7,令 · =0,即2a2+5a+7=0, 此方程无解,所以PM与PN不垂直. (利用向量,可以避免考虑斜率不存在的情况) 故不存在点P,使得PM⊥PN,A错误. 第1讲　描述运动的基本概念 对于B,设P(a,-a-2),若2|PM|=|PN|, 则2 = , 化简得2a2+10a+9=0,Δ=102-4×2×9=28>0,故方程有解,故存在点P,使得2|PM|=|PN|,B正确. 对于C,如图,设M(-1,1)关于直线l的对称点为M'(m,n), 则 解得 则M'(-3,-1), 所以|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|M'N|= = ,当且仅当M',P,N三点共线时取等号(点P在线 段M'N上),C正确. 对于D,易知b=-a-2,则a2+b2=a2+(-a-2)2=2a2+4a+4=2(a+1)2+2≥2,当a=-1时等号成立,故a2+b2的最小值为2, D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025辽宁沈阳五校协作体期中]下列结论正确的是( ) A.若直线ax+y+1=0与直线4x+ay+2=0平行,则它们之间的距离为  B.原点O到直线kx+(2k+1)y-3k-1=0的距离的最大值为2 C.点A(5,0)关于直线l:y=2x的对称点A'的坐标为(-3,4) D.直线 + =1与坐标轴围成的三角形的面积为m2+m     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由题意得a2-4=0,∴a=±2, 当a=2时,两直线方程均为2x+y+1=0,不符合题意,舍去, 当a=-2时,两直线方程分别为2x-y-1=0,2x-y+1=0, ∴两直线间的距离d= = ,A错误; 对于B,直线kx+(2k+1)y-3k-1=0即(x+2y-3)k+(y-1)=0, ∴直线过定点(1,1),设为A, ∴原点O到直线的距离的最大值在直线与OA垂直时取得, ∴距离的最大值为|OA|= = ,B错误; 对于C,易得直线l的斜率k=2,则kAA'=- , ∴直线AA'的方程为y=- (x-5), 第1讲　描述运动的基本概念 联立 解得  则点A'的坐标为(1×2-5,2×2-0), 即(-3,4),C正确; 对于D,由直线方程可得直线在x轴、y轴上的截距分别为m,2m+2, ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积S= |m||2m+2|=|m||m+1|= D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026湖北武汉第二中学月考]已知m∈R,若过定点A的动直线l1:x-my+m-2=0和过定点B的动 直线l2:mx+y-4+2m=0交于点P(P与A,B不重合),则以下说法正确的是 ( ) A.|AB|=5 B.|PA|2+|PB|2为定值 C.S△PAB的最大值为  D.2|PA|+|PB|的最大值为5      ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,直线l1:x-my+m-2=0可化为x-2+m(1-y)=0,所以l1恒过定点A(2,1), 直线l2:mx+y-4+2m=0可化为m(x+2)+(y-4)=0,所以l2恒过定点B(-2,4), 故|AB|= =5,A正确; 对于B,因为1×m+(-m)×1=0, 所以l1⊥l2,可得PA⊥PB,因此|PA|2+|PB|2=|AB|2=25,为定值,B正确; 对于C,S△PAB= |PA||PB|≤ × = × = ,当且仅当|PA|=|PB|= 时等号成立, 所以S△PAB的最大值为 ,C错误; 对于D,设∠PAB=θ,因为PA⊥PB,所以θ为锐角,则|PA|=5cos θ,|PB|=5sin θ, 所以2|PA|+|PB|=5(2cos θ+sin θ)=5 sin(θ+φ),其中tan φ=2,当sin(θ+φ)=1时,2|PA|+|PB|取得最大值,为5 , (当|PA|,|PB|的系数不相等时,引进变量θ,实质是通过三角换元求解)故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　利用新定义,考查两条直线的交点和点线距问题 6.[2026江苏兴化中学开学考试]过点A(x0,y0)作斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,若k1k2=μ(μ≠0),则称直线l1,l2是 KA(μ)定积直线或 (μ)定积直线. (1)已知直线a:y=kx,直线b:y=- x,其中k≠0,是否存在点A,使得直线a,b是KA(μ)定积直线?请说明理由; (2)在△OPM中,O为坐标原点,点P与点M均位于第一象限,且点M(x0,y0)在二次函数y=x2-3的图象上.若直 线OP与OM是K(0,0)(1)定积直线,直线OP与PM是KP(-2)定积直线,直线OM与直线PM是  定积直 线,求点P的坐标; (3)已知直线m与n是K(-2,4)(-4)定积直线,设点O(0,0)到直线m,n的距离分别为d1,d2,求d1d2的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)存在点A(0,0),使得直线a,b是KA(μ)定积直线,理由如下: 由题意可得ka·kb=k· =- , 由 解得  则直线a,b的交点为(0,0), 故存在点A(0,0),使得直线a,b是KA(μ)定积直线,且μ=- . (2)由题意得kOP·kOM=1,kOP·kPM=-2,kOM·kPM=- . 设直线OM的斜率为λ(λ≠0), 则kOP= ,kPM=-2λ, 第1讲　描述运动的基本概念 则λ·(-2λ)=- ,得λ2 =1, 则λx0=1或λx0=-1. 易得直线OM的方程为y=λx, 因为点M(x0, -3)在直线OM上, 所以 -3=λx0. 因为点M位于第一象限,所以 -3=λx0=1,解得x0=2或x0=-2(舍去), 所以λ= ,M(2,1), 所以直线OP的方程为y= x,即y=2x,直线PM的方程为y=-2λ(x-2)+1, 即y=-x+3,由 得  第1讲　描述运动的基本概念 所以点P的坐标为(1,2). (3)设直线m:y-4=t(x+2),即tx-y+2t+4=0, 直线n:y-4=- (x+2),即4x+ty+8-4t=0,其中t≠0, 则d1d2= ·  = =8  =8 =8 , 因为t2+17+ ≥2 +17=25,当且仅当t2= ,即t2=4时等号成立, 所以0≤8 <8,即0≤d1d2<8,故d1d2的取值范围为[0,8). 第1讲　描述运动的基本概念 $