02-§2 4-2.4 圆与圆的位置关系（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦“圆与圆的位置关系”核心知识点，从直线与圆位置关系延伸，通过题组形式构建学习支架，涵盖位置关系判断、公切线、公共弦及综合应用，帮助学生逐步深化对圆与圆位置关系的理解。 其亮点在于以具体例题为载体，通过坐标法分析圆心距与半径关系，培养数学思维的逻辑推理能力，利用表格总结公切线条数与位置关系，强化数学语言的模型意识。如多选题结合公共弦、公切线综合判断，发展学生批判性思维，创新题型中一组圆的内切问题激发探究兴趣。学生能提升分析解决问题能力，教师可借助分层练习实施精准教学。

第一章 直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §2　圆与圆的方程 2.4　圆与圆的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　圆与圆的位置关系 1.[2026江西部分校联考]圆A:(x+1)2+y2=1与圆B:(x-2)2+y2=m(0<m≤16)的位置关系不可能是( ) A.内含　　    B.相交　　     C.外切　　    D.内切     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析    圆A的圆心A(-1,0),半径为1,圆B的圆心B(2,0),半径为 ,且 ∈(0,4],则|AB|=3. 当0<m<4时,|AB|> +1,此时两圆相离; 当m=4时,|AB|= +1,此时两圆外切; 当4<m<16时, -1<|AB|< +1,此时两圆相交; 当m=16时,|AB|= -1,此时两圆内切. 综上,这两个圆的位置关系不可能是内含. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025福建龙岩月考]若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-4)2+(y-a)2=16有3条公切线,则a= ( ) A.-3　　    B.3　　     C.3或-3　　    D.5     C     解析　圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2的圆心C2(4,a),半径r2=4,因为两圆有3条公切线,所以两圆外切, 则|C1C2|=r1+r2,即 =5,解得a=±3. 第1讲　描述运动的基本概念 规律总结 圆与圆的位置关系与公切线条数 位置 关系 内含 内切 相交 外切 外离 公切线 条数 0 1 2 3 4 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏盐城六校联盟联考]在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),点A(-2,0),若圆 C上存在点M,满足|MA|2+|MO|2=4,则r的取值范围是( ) A.(0,2 +1]　　    B.(0,2 -1] C.[2 -1,2 +1]　　    D.[2 +1,+∞)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设M(x,y),则|MA|= ,|MO|= . 因为|MA|2+|MO|2=4, 所以(x+2)2+y2+x2+y2=4(设动点坐标,几何关系代数化),即(x+1)2+y2=1, 所以点M的轨迹是以N(-1,0)为圆心,1为半径的圆. 又因为点M在圆C上,所以圆C与圆N有公共点,所以|r-1|≤|CN|≤r+1,即|r-1|≤2 ≤r+1,解得2 -1≤r≤ 2 +1. 故r的取值范围为[2 -1,2 +1]. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026江西南昌新民外语学校月考]已知圆C1:(x-3)2+y2=1,C2:x2+(y-a)2=16,则下列结论正确的 有 ( ) A.若圆C1和圆C2外离,则a>4 B.若圆C1和圆C2外切,则a=±4 C.当a=0时,圆C1和圆C2有且仅有一条公切线 D.当a=-2时,圆C1和圆C2相交     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得C1(3,0),C2(0,a),r1=1,r2=4,则|C1C2|= . 若圆C1和圆C2外离,则|C1C2|= >r1+r2=5,解得a>4或a<-4,故A错误; 若圆C1和圆C2外切,则|C1C2|= =5,解得a=±4,故B正确; 当a=0时,|C1C2|=3=r2-r1,则圆C1和圆C2内切,所以圆C1和圆C2有且仅有一条公切线,故C正确; 当a=-2时,r2-r1=3<|C1C2|= <5=r1+r2, 所以圆C1和圆C2相交,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西全南中学月考]已知直线l1:mx-y-3m+1=0与l2:x+my-3m-1=0相交于点P,线段AB是圆C:(x+1)2+ (y+1)2=4上的一条动弦,且|AB|=2 ,则| + |的最小值是____________.     4 -2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由直线l1和l2的方程知l1⊥l2,l1过定点F(3,1),l2过定点G(1,3), 设P(x,y),由|PF|2+|PG|2=|FG|2得(x-2)2+(y-2)2=2, ∴点P的轨迹方程为(x-2)2+(y-2)2=2. 作CD⊥AB于点D, 则|CD|= =1, 故点D的轨迹方程为(x+1)2+(y+1)2=1, 则| + |=| + + + |=2| + |=2| |, ∵圆(x-2)2+(y-2)2=2和圆(x+1)2+(y+1)2=1的圆心距为 =3 >1+ ,∴两圆外离, 故|PD|的最小值为3 -1- =2 -1, 故| + |的最小值为4 -2. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　两圆的公共弦与公切线 6.[2025河北张家口期中]已知圆C1:x2+y2-2x=0,圆C2:x2+y2+mx-4y+n=0,若圆C2平分圆C1的周长,则m+n=  ( ) A.2　　    B.-2　　     C.1　　    D.-1     B     解析　圆C1与圆C2的方程作差,可得两圆的公共弦所在的直线方程为(m+2)x-4y+n=0, 圆C1的标准方程为(x-1)2+y2=1,则圆心C1(1,0), 因为圆C2平分圆C1的周长,所以公共弦所在直线过点C1(1,0), 因此m+2+n=0,所以m+n=-2. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[易错题][多选题][2024江西景德镇一中期中]已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),则下列说 法不正确的是 ( ) A.若两圆相切,则r=3 B.若两圆的公共弦所在的直线方程为3x-4y-2=0,则r=5 C.若两圆的公共弦长为2 ,则r=  D.若两圆在交点处的切线互相垂直,则r=4     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(3,-4),半径为r,则|C1C2|=5. 对于A,当两圆外切时,|C1C2|=r1+r, 即5=2+r,解得r=3; 当两圆内切时,|C1C2|=r-r1,即5=r-2,解得r=7,故两圆相切时,r=3或r=7,故A中说法错误. 对于B,两圆方程相减,得公共弦所在的直线方程为6x-8y+r2-29=0, 又因为公共弦所在的直线方程为3x-4y-2=0,所以r2-29=-4,所以r=5,故B中说法正确. 对于C,圆心C1(0,0)到直线6x-8y+r2-29=0的距离d= = , 因为两圆的公共弦长为2 ,所以2 =2 ,所以d=1, 即 =1,解得r2=19或r2=39, 即r= 或r= ,故C中说法错误. 对于D,若两圆在交点处的切线互相垂直,则满足r2+ =|C1C2|2,即r2+4=25,所以r= ,故D中说法错误. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　本题A选项容易出错,当已知两圆相切时,要分内切和外切两种情况讨论. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026广东八校联盟联考]已知M是圆O:x2+y2=a2(a>0)上的动点,点N满足 =(a,λa)(λ>0),记点N的轨迹 为C,若圆O与轨迹C的公共弦所在直线的方程为2x+y-5=0,则a+λ=_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设M(x0,y0),N(x,y), 则 =(x-x0,y-y0)=(a,λa), 所以 即  因为M是圆O:x2+y2=a2(a>0)上的动点,所以 + =a2,即(x-a)2+(y-λa)2=a2, 所以轨迹C的方程为(x-a)2+(y-λa)2=a2. 联立  ①-②得2x+2λy-(λ2+1)a=0, 所以圆O与轨迹C的公共弦所在直线的方程为2x+2λy-(λ2+1)a=0, 由题意知 解得  则a+λ= . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026重庆第八中学月考]已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-2)2+(y-1)2=9. (1)求圆O与圆M的公共弦所在直线l的方程及公共弦长; (2)求圆O与圆M的公切线的交点P的坐标,并求公切线方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)圆O的圆心O(0,0),半径为1,圆M的圆心M(2,1),半径为3, 圆M:(x-2)2+(y-1)2=9,即x2-4x+y2-2y=4, 圆O与圆M的方程相减可得公共弦所在的直线l的方程为4x+2y+3=0. 点O到l的距离为 = , 所以公共弦长为2 = . (2)由图易知,圆O与圆M的一条公切线的方程为x=-1. 易得直线OM的方程为y= x, 第1讲　描述运动的基本概念 联立 得交点P . 设另一条公切线的方程为y+ =k(x+1),即kx-y+k- =0, 则点M(2,1)到此公切线的距离d= =3,解得k=- , 所以另一条公切线的方程为y+ =- ×(x+1),即3x+4y+5=0,此时点O(0,0)到公切线的距离为1,满足题意. 综上,两圆的公切线方程为x=-1和3x+4y+5=0. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §2　圆与圆的方程 2.4　圆与圆的位置关系 第1讲　描述运动的基本概念 题组　圆与圆的位置关系的综合应用 1.[2025江苏镇江三校期中联考]在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在点P,满足其关 于x轴的对称点Q在圆C2:(x-2)2+y2=4上,则r的取值范围是( ) A.[ -2, +2]　　    B.[3,7] C.( -2, +2)　　    D.(3,7)     A     解析　若圆C1上存在点P,其关于x轴的对称点Q在圆C2上, 则只需圆C1关于x轴的对称圆(记为C)与圆C2有交点即可. 易得对称圆C的方程为x2+(y+1)2=r2(r>0), 圆C和圆C2的圆心分别为(0,-1),(2,0),半径分别为r和2,所以两圆圆心距为|CC2|= = , 因为两圆有交点,所以有|r-2|≤|CC2|≤r+2,即|r-2|≤ ≤r+2,又因为r>0,所以 -2≤r≤ +2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河南青桐鸣大联考]已知动点A(t1,2 -t1),B(t2,2 -t2),M,N为圆O:x2+y2=9上两动点,且|MN|=3,C 为线段MN的一个三等分点,若∃t1,t2∈R,使得 · =0,则|AB|的取值范围为( ) A.[ ,+∞)　　    B.[ ,3 ] C.[2 ,+∞)　　    D.[2 ,6 ]     C     解析    思路分析 　　①由余弦定理求得|OC|= →确定点C的轨迹是以O为圆心, 为半径的圆E. 　　②由A,B两点的坐标确定A,B所在直线的方程. 　　③CA⊥CB→C在以AB为直径的圆F上. 　　④圆E与圆F有公共点→|AB|的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接OM,ON,OC,圆O的圆心O(0,0),半径为3,由|MN|=3知△MON为等边三角形,不妨取|CM|=1, 在△MOC中,由余弦定理得|OC|= = , 所以点C在以O为圆心, 为半径的圆(记为圆E)上. 由动点A(t1,2 -t1),B(t2,2 -t2)可知A,B均为直线x+y-2 =0上的动点. 因为 · =0,所以CA⊥CB, 则∠ACB=90°, 则点C在以AB为直径的圆(记为圆F)上,则圆E与圆F有公共点. 原点O到直线x+y-2 =0的距离d= =2 , 当圆心F为直线x+y-2 =0上离原点O最近的点,且两圆外切时, 圆F的半径取得最小值,为2 - = ,所以|AB|min=2 . 第1讲　描述运动的基本概念 AB的中点F为直线x+y-2 =0上的动点,|OF|∈[2 ,+∞), 故对任意|AB|>2 ,总存在 - ≤|OF|≤ + ,故|AB|无最大值, 所以|AB|的取值范围为[2 ,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江西抚州月考]已知圆C1:x2+y2-2x-4y-7=0和圆C2:(x+3)2+(y+1)2=12交于两点,点P在圆C1上运动,点 Q在圆C2上运动,则下列说法正确的是 ( ) A.圆C1和圆C2关于直线8x+6y-5=0对称 B.圆C1和圆C2的公共弦的长为2  C.|PQ|的取值范围为[0,5+2 ] D.若M为直线x-y+8=0上的动点,则|PM|+|MQ|的最小值为 -4      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,两圆方程相减,得两圆公共弦所在直线的方程为8x+6y+5=0, 又因为圆C1:x2+y2-2x-4y-7=0可化为(x-1)2+(y-2)2=12,其半径与圆C2的半径相等, 所以圆C1和圆C2关于公共弦所在直线8x+6y+5=0对称,因此A错误; 对于B,易得圆C1的圆心为C1(1,2),半径R=2 , 圆C2的圆心为C2(-3,-1),半径r=2 , 圆心C1到直线8x+6y+5=0的距离d= = ,所以两圆公共弦的长为2 = ,因此B错 误; 对于C,由上述分析得圆C1和圆C2的圆心距为|C1C2|= =5, 由两圆相交知当点P和点Q重合时,|PQ|的值最小,为0, 当P,Q,C1,C2四点共线且P,Q分别在两端时,|PQ|的值最大,为|C1C2|+R+r=5+4 , 第1讲　描述运动的基本概念 所以|PQ|的取值范围为[0,5+4 ],因此C错误; 对于D,如图,   设C1关于直线x-y+8=0的对称点为A(m,n),则  解得 即A(-6,9), 第1讲　描述运动的基本概念 连接AC2交直线x-y+8=0于点M,连接MC1, 则当Q,P分别为MC2与圆C2,MC1与圆C1的交点时,|PM|+|MQ|取得最小值, 则|PM|+|MQ|≥|MC1|+|MC2|-2 -2 =|C2A|-4 = -4 = -4 ,即|PM|+|MQ|的最小 值为 -4 ,因此D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江西南昌中学月考]设有一组圆Ck:x2+y2-2kx-2ky+k2=0(k≠0),若圆Cm和圆Cn是Ck这组圆中的两个 圆,且圆Cm和圆Cn相切,m+n= ,则|m-n|=_________.     1     第1讲　描述运动的基本概念 解析　将圆Ck的方程化为标准形式为(x-k)2+(y-k)2=k2,则圆Ck的圆心为(k,k),半径为|k|,故圆Ck与坐标轴相 切. 若m,n异号,则两圆圆心距为 = |m-n|, 两圆的半径之和为|m|+|n|=|m-n|, 显然 |m-n|>|m-n|,故圆Cm和圆Cn外离,不符合题意. 若m,n同号,因为m+n= ,所以m>0,n>0且m≠n, 圆Cm的圆心为(m,m),半径为m,圆Cn的圆心为(n,n),半径为n. 两圆圆心距为 = |m-n|,两圆的半径之和为|m+n|=m+n,半径之差为|m-n|, 显然 |m-n|≠|m-n|, 故圆Cm和圆Cn不可能内切,只能外切, 所以 |m-n|=m+n= ,解得|m-n|=1. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西阶段性练习]已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:x2-2 ax+y2-2ay+4a-1=0,a≠0且a≠ . (1)证明:圆C1与C2相切; (2)若圆C1与C2内切,求公切线的方程; (3)若a> ,且a≠1,圆C3与C1内切于点A ,且圆C2与C3的面积之积为π2,若经过点C2,C3的直线交圆C2 于点S(异于点A),交圆C3于点T(异于点A),证明:以ST为直径的圆过定点. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)证明:圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1, 将圆C2的方程化为标准形式为(x- a)2+(y-a)2=(2a-1)2, 得圆心C2( a,a),半径r2=|2a-1|, 则|C1C2|= = =2|a|. 当a> 时,r2=2a-1,|C1C2|=2a, 则|C1C2|=r1+r2,两圆外切; 当0<a< 时,r2=1-2a,|C1C2|=2a, 则|C1C2|=r1-r2,两圆内切; 当a<0时,r2=1-2a,|C1C2|=-2a, 则|C1C2|=r2-r1,两圆内切. 第1讲　描述运动的基本概念 综上,当a≠0且a≠ 时,圆C1与C2相切. (2)联立  可得 x+y-2=0, 设直线l的方程为 x+y-2=0, 则点C1到直线l的距离为d1= =1=r1, 点C2到直线l的距离为d2= =|2a-1|=r2, 所以直线l与圆C1,C2均相切,所以l为圆C1与C2的公切线, 故圆C1与C2的公切线方程为 x+y-2=0. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)证明:联立 解得  所以圆C1与C2的切点为A , 又圆C3与C1内切于点A , 所以直线C2C3(记为l1)过点C1(0,0),A , 所以直线l1的方程为y= x. 当a> 且a≠1时,r2=2a-1, 因为圆C2与C3的面积之积为π2, 第1讲　描述运动的基本概念 所以π(2a-1)2×π =π2(r3为圆C3的半径),则r3= . 易得直线l1的倾斜角为30°, 设 =(2r2cos 30°,2r2sin 30°), =(-2r3cos 30°,-2r3sin 30°), 可得S ,T , 则以ST为直径的圆的方程为  + · =0, 整理得x2+y2- × x- y+ =0,即(x2+y2)(2a-1)-(4a2-2a-1)( x+y)+8a2-14a+3=0, 将其整理为关于a的二次多项式,得[-4( x+y)+8]a2+[2(x2+y2)+2( x+y)-14]a-[x2+y2-( x+y)-3]=0, 第1讲　描述运动的基本概念 所以  即  解得 或  所以以ST为直径的圆恒过点 , . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　利用多个圆内切,考查两圆的位置关系 6.[多选题][2026安徽蚌埠怀远第一中学月考]如图,有一组圆Ck(k∈N+)都内切于点P(-2,0),圆C1:(x+3)2+ (y-1)2=2,设直线x+y+2=0与圆Ck在第二象限的交点为Ak,若|AkAk+1|= ,则下列结论正确的是 ( ) A.圆Ck的圆心都在直线x+y+2=0上 B.圆C9的方程为(x+7)2+(y-5)2=50 C.若k≥9,则圆Ck与y轴有交点 D.设直线x=-2与圆Ck在第二象限的交点为Bk(k≥2),则|BkBk+1|=2     ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　圆C1的圆心C1(-3,1),直线PC1的方程为x+y+2=0, 由两圆内切,连心线必过切点,得圆Ck的圆心都在直线PC1上,即圆Ck的圆心都在直线x+y+2=0上,故A正确; 显然|PAk|= (k+1),设点Ak(xk,yk), 则  结合xk<-2,解得xk=-k-3,yk=k+1, 因此圆Ck的圆心Ck ,半径为 = (k+1), 故圆Ck的方程为 + = , 则圆C9的方程为(x+7)2+(y-5)2=50,故B正确; 第1讲　描述运动的基本概念 圆心Ck到y轴的距离为 = , 由 ≤ (k+1),解得k≥3+4 , 又k∈N+,所以当k≥9时,圆Ck与y轴有交点,故C正确; 对于 + = ,令x=-2,得y=k+1或y=0,则点Bk的纵坐标为k+1,因此|BkBk+1|=1,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 $